2단원 기술과 인센티브

심화학습 2.4 생산함수

이 절의 주요 부분에서 사용되었던 고정비율기술은 몇몇 문제를 분석하는 데 편리하지만, 실제로는 다른 생산요소들은 그대로 두고 하나의 생산요소의 투입량만을 변화시켜 생산량을 조절할 수 있는 경우가 많다. 예를 들어 1.6절의 곡물 생산 기술의 예에서는 토지 면적을 일정하게 유지하면서 농부 수를 늘릴 때 더 많은 곡물이 생산된다고 가정했다.

올리브 오일 생산에서 다른 생산요소의 투입량을 고정시킨 상태에서 노동자 수를 조절할 수 있다고 가정해보자. 즉, 주어진 양의 기계와 에너지를 가지고 노동자 수를 늘리거나 줄이면서 더 노동집약적으로 혹은 덜 노동집약적으로 생산을 할 수 있다고 해보자. 마찬가지로 노동자 수를 변화시키지 않더라도 더 많은 기계를 추가하면 생산량이 더 늘어날 수 있다고 해보자.

설명을 간단하게 하기 위해 자본(기계)과 에너지는 고정된 비율로 사용된다고 가정하자. 이렇게 가정하면 에너지의 양을 알면 사용되는 자본(기계)의 양도 알 수 있다. 이제 생산함수를 두 가지 생산요소의 함수로 나타낼 수 있다.

\[Y = f (N, E)\]

기업이 선택할 주요 생산요소는 노동자 수(\(N\))와 에너지 투입량(\(E\))이다. 나머지는 자동으로 결정된다. 그림 E2.1a는 이러한 생산함수의 하나의 예로, 몇 가지 가능한 생산요소의 조합과 그에 따른 산출량을 보여준다.

이 표에 따르면 이 기술은 앞선 예와 마찬가지로 규모수익불변의 성질을 갖는다. 이는 표에서 A, C, F행을 비교하여 확인할 수 있다. 하지만 이런 표를 통해서는 더 많은 조합을 추가해보더라도 특정한 생산요소의 투입량을 다른 생산요소의 투입량보다 더 많이 변화시킬 때 오일 생산량이 어떻게 변하는지를 파악하기가 쉽지 않다.

생산함수를 그림 E2.1b와 같은 3차원 그래프로 나타내면 관계를 더 잘 이해할 수 있다. 노동자 수(\(N\))는 x축(빨간색)에, 에너지의 투입량(\(E\))은 y축(녹색)에 표시되어 있다. 이 두 축은 그래프의 바닥면을 형성하며, 바닥면의 각 점은 \(N\)과 \(E\)의 다양한 조합을 나타낸다. 그런 다음 각 투입 요소의 조합에 대응하는 올리브 오일의 생산량을 바닥으로부터의 높이로 z축(파란색)에 따라 표시할 수 있다. \(N\)과 \(E\)의 모든 조합에 대응하도록 높이를 표시하면 부드러운 곡면이 형성된다. 그림에서 곡면은 \(N\)과 \(E\)가 증가함에 따라 오르막 언덕처럼 보인다. 위의 표에 제시되어 있는 각 점들이 곡면 상에 표시되어 있다.

이 그림은 예상대로 노동력과 에너지가 더 많이 사용될수록 더 많은 오일이 생산된다는 것을 보여준다. 둘째로, 다른 생산요소를 고정시킨 상태에서 하나의 생산요소만을 증가시키도 산출량이 증가하지만, 두 투입 요소을 함께 증가시킬 때보다는 그 증가 속도가 느리다. 예를 들어 \(N\)=2이고 \(E\)=200인 점 A에서 출발하여 언덕을 오른다고 상상해보자. 점 C로 올라가는 것(즉 두 생산요소를 모두 증가시키는 것)이 \(E\)=200에서 그려진 선을 따라 가는 것보다 더 가파르다.

가변 생산요소가 하나인 생산함수

생산요소 중 일부는 다른 생산요소들보다 쉽게 투입량을 조절할 수 있는 경우가 많다.

예를 들어, 소규모 올리브 오일 생산자가 현재 두 명의 노동자를 고용하고 있으며 그림 E2.1c의 점 B에서 하루에 309리터의 올리브 오일을 생산하고 있다고 가정해보자. 올리브 오일의 가격이 상승하여 생산자는 설비 확장을 하고 싶지만, 당장은 더 많은 기계를 구입할 자금을 마련할 수 없다고 해보자. 따라서 생산을 늘릴 수 있는 유일한 방법은 현재의 기계 수와 에너지 투입량 600을 유지하면서 추가 노동자를 고용하는 것이다. 그림 E2.1c에서 점 B와 F를 통과하는 선, 즉 \(E\)=600에 해당하는 선은 고용이 증가함에 따라 산출량이 어떻게 변할지를 보여준다. 그림 E2.1c의 상단 그림에서 보이는 것과 같은 방식으로 이 선을 따라 언덕을 수직으로 잘라내어 단면을 만들어 보면 하단 그림과 같은 2차원 그래프를 얻을 수 있다.

하단 그림은 에너지가 600으로 고정된 상태에서 올리브 오일 생산량을 노동만의 함수로 나타낸 것이다. 이 생산함수는 1.6절의 곡물 생산함수(그림 1.8c)와 유사한 곡선 형태(오목한 형태)를 가지고 있다. 두 경우 모두에서 노동자 수의 증가에 따라 산출량이 비례적으로 증가하지 않는데, 이는 생산요소 중 하나가(1단원의 경우 토지, 여기서는 에너지) 고정되어 있기 때문이다. 그림 E2.1c의 경우, 에너지와 이에 대응하는 자본이 고정된 상태에서 노동자의 수가 증가하면 노동자 1인당 기계의 수가 감소하는데 이에 따라 노동자 1인당 생산량도 감소한다.

노동의 평균생산이 체감하는 생산함수

경제학 교과서를 보면 여러 예에서 그림 E2.1c와 같은 생산함수가 나온다. 토지, 건물, 기계와 같은 생산요소들은 변경하기 어려운 경우가 있기 때문에, 이들 생산요소가 고정된 채로 노동 투입만을 변경했을 때 어떤 일이 일어날지를 알아보기 위해서이다. 일반적으로 노동 투입이 증가함에 따라 생산량도 증가하지만, “고정된” 생산요소들이 노동생산성을 제한하게 되어 노동자 1인당 생산량은 하락한다.

일반적으로 노동 투입량(노동자 수 또는 노동시간으로 측정될 수 있다)을 \(x\)로, 산출량(예를 들어 올리브 오일의 리터)을 \(y\)로 나타내면, 생산함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[y = f(x)\]

\(f(x)\)는 어떤 함수 형태를 가져도 무방하지만, 적절한 생산함수가 되려면 다음과 같은 성질을 갖고 있어야 한다. 첫째, 생산요소의 투입량이 0이면 산출량도 0이고, 투입량이 0 이상이면 산출량도 양수의 값을 갖는다.

\[f(0)=0, \quad x>0\text{일 때 } f(x)>0\]

둘째, 함수는 증가함수이다. 즉, \(x\)가 증가함에 따라 \(y\)도 증가한다. 따라서 미분으로 표시되는 함수의 기울기는 양의 값을 갖는다. 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\frac{dy}{dx}>0\]

혹은 다음과 같이 표기하기도 한다.

\[f'(x)>0\]

만약 생산함수가 올리브 오일 예에서처럼 전형적인 오목한 형태를 취한다면 \(x\)가 증가함에 따라 함수의 기울기 \(f’(x)\)는 감소한다. 즉 2차 미분값이 음수이다.

\[f''(x)<0\]

그림 E2.1d는 곡선의 기울기가 감소하도록 그려져 있다. 두 점 B와 F에서 접선을 그려 두 기울기를 비교할 수 있다. 기울기는 여전히 양수이지만 오른쪽으로 이동할수록 완만하게(즉 양수의 크기가 작아지게) 변한다.

노동의 평균생산(APL)은 총생산량 \(y\)를 노동 투입량으로 나눈 값이다.

\[\text{APL}=\frac{f(x)}{x}\]

예를 들면 그림 E2.1d의 점 B에서 기업은 두 명의 노동자를 고용하여 하루에 309리터의 올리브 오일을 생산한다. 이때 점 B에서 노동의 평균생산은 원점과 B점을 이은 직선의 기울기로 나타낼 수 있다.

\[\begin{align*} \text{노동의 평균생산} &= \frac{\text{총생산량}}{\text{총 노동자수}} \\ &= \frac{\text{309리터}}{\text{노동자 2명}} \\ &= \text{노동자 1인당 약 155리터} \end{align*}\]

노동의 평균생산체감

노동 투입이 증가함에 따라 노동 한 단위당 산출량(평균생산)이 감소하는 생산 과정의 성질.

올리브 오일 예시에서와 마찬가지로, 전형적인 오목한 형태를 가진 모든 생산함수는 노동의 평균생산체감이라는 성질을 갖는다. 이 곡선을 따라 이동할수록 생산함수는 더 평평해지고, 따라서 APL이 감소한다. 점 F에서 노동 평균생산은 480/6 = 노동자 1인당 80리터로 떨어졌다.

우리는 두 가지 다른 기울기를 사용하여 생산함수를 설명했다. 하나는 함수의 기울기 \(f′(x)\)이고 다른 하나는 원점으로부터의 직선의 기울기, 즉 APL\(=f(x)/x​\)이다.

만약 생산함수가 평균생산이 체감하는 성질을 가지고 있다면, 그 함수의 기울기 f′(x)는 항상 APL보다 작아야 한다는 것을 보일 수 있다. 몫의 법칙을 사용하여 \(x\)에 대해 평균생산을 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

\[\frac{d\text{APL}}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{x}\right) = \left(\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}\right)\]

만약 평균생산이 감소하면 위 식의 부호는 음의 값을 갖는다. 따라서

\[\begin{align*} \frac{d\text{APL}}{dx} < 0 \Rightarrow xf'(x)-f(x) < 0 \end{align*}\] \[\begin{align*} \Rightarrow f'(x) < \frac{f(x)}{x} \end{align*}\]

즉, 생산함수의 기울기는 평균생산보다 작다.

더 읽어보기 : 다음 책의 7.3절(특히 127 페이지)와 8.2절을 참고할 수 있다. Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4th ed., 2015 or 5th ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.