Leibniz 3.7.1 Tulo- ja substituutiovaikutuksen matematiikkaa

Työaikapäätöksissä tuntipalkan muutoksen vaikutus päätöksentekoon voidaan jaotella graafisesti tulovaikutukseksi ja substituutiovaikutukseksi. Tässä Leibniz-osiossa esitämme jaottelun matemaattisesti.

Työaikapäätösten mallissamme päätöksentekijä valitsee hyötynsä maksimoivan kulutustason \(c\) ja vapaa-ajan määrän \(t\), kun kulutus riippuu työtuloista. Päätöksen voi ilmaista matemaattisesti rajoitettuna optimointiongelmana:

\[\begin{align*}\text{maksimoi}\ U(t,\ c) \text{ niin että}\ c=w(24-t)+I \end{align*},\]

jossa \(w\) on tuntipalkka ja \(I\) työajasta riippumattomat tulot (esimerkiksi tuntemattoman hyväntekijän lahjoitus).

Ratkaisemme ongelman hyötyfunktiolle

\[U(t,\ c) = tc\]

määrittääksemme optimaalisen vapaa-ajan määrän. Sen jälkeen selvitämme, miten ratkaisu muuttuu palkan \(w\) muuttuessa, ja jaottelemme muutoksen tulo- ja substituutiovaikutukseksi.

Ensimmäisen kertaluvun optimiehdon mukaan rajamuunnossuhteen on oltava yhtä suuri kuin rajasubstituutiosuhteen: MRT = MRS. Alaluvussa 3.7 totesimme, että päätöksentekijän rajamuunnossuhde on \(w\). Sen näkee suoraan mahdollisuuksien rajan yhtälöstä, joka on budjettirajoite \(c=w(24-t)+I\). Rajamuunnossuhde on mahdollisuuksien rajan kulmakertoimen itseisarvo:

\[\text{MRT} = \left|\frac{dc}{dt}\right|=w\]

Rajasubstituutiosuhde saadaan aiemmissa Leibniz-osioissa käyttämästämme kaavasta:

\[\text{MRS} = \left| \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial c} \right.\right| = \frac{c}{t}\]

Ensimmäisen kertaluvun optimiehdosta MRS = MRT seuraa tällöin, että \(c/t=w\) eli \(wt-c=0\). Ratkaisemme muuttujien \(t\) ja \(c\) optimaaliset arvot ensimmäisen kertaluvun optimiehdon ja budjettirajoitteen muodostamasta yhtälöparista:

\[wt - c = 0,\ \ c = w\left( 24 - t \right) + I\]

Yhtälöparin ratkaisu on

\[t = 12 + \frac{I}{2w}, \quad c = 12w + \frac{I}{2}.\]

Vapaa-ajan optimaalinen määrä on toisin sanoen tuntipalkan ja lisätulojen funktio, jonka osittaisderivaatat ovat

\[\frac{\partial t}{\partial w} = - \frac{I}{2w^2} \lt0 , \quad \frac{\partial t}{\partial I} = \frac{1}{2w} \gt0.\]

Osittaisderivaatoista näemme, miten päätöksentekijän valitsema vapaa-ajan määrä muuttuu palkan ja tulojen muuttuessa. Epäyhtälö \(\partial t/\partial I \gt0\) kertoo, että tuotantofunktiossa vapaa-aika \(t\) lisääntyy, jos tulot \(I\) kasvavat ja palkka pysyy ennallaan. Epäyhtälö \(\partial t/\partial w\lt0\) taas kertoo, että vapaa-aika \(t\) vähenee, jos palkka \(w\) kasvaa ja tulot pysyvät ennallaan.

Toisin sanoen osittaisderivaatan \(\partial t/\partial w\) mukainen palkankorotuksen kokonaisvaikutus on negatiivinen, kun tulot \(I\) eivät muutu. Kokonaisvaikutus voidaan jaotella tulo- ja substituutiovaikutukseksi. Seuraavassa esimerkissä laskemme molemmat.

Esimerkki

Kuvitellaan, että \(w = 16\) ja \(I= 160\). Sijoittamalla nämä arvot edellä johtamiimme muuttujien t ja c lausekkeisiin saamme optimaalisen vapaa-ajan ja kulutuksen yhdistelmän:

\[t_0 = 12 + \frac{160}{2 \times 16} =17, \quad c_0 = 12 \times 16 + \frac{160}{2} = 272\]

Hyödyksi tulee \(U_0=t_0 \times c_0 =17 \times 272 = 4~624\).

Oletetaan, että palkka nousee arvoon 25 mutta tulot pysyvät ennallaan. Ratkaisemme ensin palkankorotuksen kokonaisvaikutuksen vapaa-aikaan ja erottelemme sitten tulo- ja substituutiovaikutuksen.

1. Palkankorotuksen kokonaisvaikutus

Kun \(w=25\) ja \(I=160\), muuttujien \(t\) ja \(c\) optimaaliset arvot ovat

\[t_1 = 12 + \frac{160}{2 \times 25} =15,2, \quad c_1 = 12 \times 25 + \frac{160}{2} = 380.\]

Hyöty kasvaa arvoon \(U_1=15,2 \times 380 = 5~776\).

Kun palkka kasvaa arvosta 16 arvoon 25 ja tulot pysyvät ennallaan arvossa 160, kokonaisvaikutuksen seurauksena vapaa-aika vähenee:

\[t_1-t_0=15,2-17=-1,8\]

2. Miten suuri tulojen muutos johtaisi samaan hyödyn muutokseen?

Kuvitellaan, että palkka olisikin pysynyt ennallaan ja tulot kasvaneet arvoon \(J\). Kokonaishyöty 5 776 edellyttää, että \(J\) toteuttaa yhtälön

\[\left(12 + \frac{J}{32}\right)\left(192 + \frac{J}{2}\right) = 5~776.\]

Yhtälön voi kirjoittaa muotoon \((384 + J)^2 = 64 \times 5~776\). Ottamalla yhtälön molemmista puolista neliöjuuren (vain positiivinen neliöjuuri on taloustieteellisesti mielekäs) saamme \(384 + J = 608\), joten \(J=224\).

Jos palkka pysyy ennallaan arvossa 16, tulojen kasvu arvosta 160 arvoon 224 tuottaisi saman vaikutuksen hyötyyn kuin palkankorotus arvosta 16 arvoon 25.

3. Lasketaan tulovaikutus

Laskemme tulovaikutuksen ratkaisemalla, miten palkan muutosta vastaava tulojen muutos vaikuttaisi vapaa-aikapäätökseen.

Jos tulot ovat 224 ja palkka 16, optimaalinen vapaa-ajan määrä on

\[t_2 = 12 + \frac{224}{2 \times 16} =19.\]

Tämä on palkankorotuksen tulovaikutus. Palkankorotus lisää hyötyä arvoon 5 776. Jos sama hyödyn lisäys olisi saavutettu tulojen lisäyksellä, vapaa-ajan määrä olisi muuttunut arvosta \(t_0=17\) arvoon \(t_2=19\). Tulovaikutus on \(t_2-t_0=19-17=+2\).

4. Lasketaan substituutiovaikutus

Palkankorotuksen kokonaisvaikutuksena vapaa-ajan määrä muuttuu arvosta \(t_0\) arvoon \(t_1\). Koska kokonaisvaikutus on tulovaikutuksen (muutos arvosta \(t_0\) arvoon \(t_2\)) ja substituutiovaikutuksen summa, substituutiovaikutus on muutos arvosta \(t_2\) arvoon \(t_1\).

Tulovaikutus	\(t_2-t_0=+2\)
Substituutiovaikutus	\(t_1-t_2=-3,8\)
Kokonaisvaikutus	\(t_1-t_0=-1,8\)

Substituutiovaikutus on vaikutus päätöksentekijän valitsemaan vapaa-ajan määrään, kun hänen palkkansa muuttuu arvosta 16 arvoon 25 ja tulot muuttuvat samalla siten, että hyöty pysyy vakiona arvossa 4 624.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luvut 14.1, 17.1 ja 17.3). Manchester: Manchester University Press.