Leibniz 7.4.1 Samavoittokäyrät ja niiden kulmakertoimet

Yrityksen voitto on sen tulojen (hinta kerrottuna myydyllä määrällä) ja kokonaiskustannusten erotus. Jos tiedämme yrityksen kustannusfunktion \(C(Q)\), voimme määritellä sen samavoittokäyrät eli saman voiton tuottavat hinnan \(P\) ja määrän \(Q\) yhdistelmät. Tässä Leibniz-osiossa johdamme samavoittokäyrän yhtälön, selitämme sen muotoa ja selvitämme sen kulmakertoimen.

Taloudellinen voitto on tulot vähennettyinä kustannuksilla. Ajattomien Autojen kaltaisen teollisuusyrityksen voitto riippuu tuotantomäärästä (\(Q\)) ja hinnasta (\(P\)), jolla kukin tuotosyksikkö myydään. Voiton merkintä on \(\Pi,\) niin kuin ennenkin. Jos yrityksen kustannusfunktio on \(C(Q)\), sen voiton voi kirjoittaa muuttujien \(P\) ja \(Q\) funktiona:

\[\Pi = PQ - C(Q)\]

Samavoittokäyrät ovat \(Qp\)-tason käyriä, joista jokainen vastaa tiettyä voittotasoa. Tyypillisen samavoittokäyrän yhtälö on muotoa

\[PQ - C(Q) = k,\]

jossa \(k\) on voittotasoa edustava vakio. Jokaiselle muuttujan \(k\) arvolle on eri käyrä. Esitämme samavoittokäyrät kaaviossa niin, että \(P\) on pystyakselilla. Siksi yhtälö kannattaa kirjoittaa muotoon, jossa \(P\) on muuttujan \(Q\) funktio:

\[P = \frac{C(Q) + k}{Q}\]

Yhtälö kertoo, että jos \(k\) kasvaa, myös \(P\) kasvaa kaikilla muuttujan \(Q\) arvoilla. Tämä tarkoittaa, että samavoittokäyrien kaaviossa ylempänä olevat käyrät vastaavat korkeampia voittotasoja. Tämä näkyy omena-kanelimurojen (kuvio 7.4) ja Ajattomien Autojen (kuvio 7.10) kaavioissa, jotka on kopioitu tähän kuvioiksi 1 ja 2.

Selitämme nyt, miksi näiden yritysten samavoittokäyrät ovat kaaviossa esitetyn muotoisia. Voittoa \(k\) vastaavan samavoittokäyrän yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

\[P = \frac{C(Q)}{Q} + \frac{k}{Q}\]

tai yhtäpitävästi

\[P = \text{AC} + \frac{k}{Q}\]

Katsotaan ensin nollavoittokäyrää, jossa \(k = 0\). Kun sijoitamme lausekkeen \(k = 0\) edellä mainittuun yhtälöön, näemme, että nollavoittokäyrä on keskikustannuskäyrä. Kaikissa tämän käyrän alapuolella olevissa pisteissä yritys tekisi tappiota. Kanelimurojen keskikustannus on vakio: jokaisen paunan tuottaminen maksaa kaksi euroa kokonaismäärästä riippumatta. Nollavoittokäyrä on vaakasuora hinnan arvolla \(P = 2\). Ajattomilla Autoilla on U:n muotoinen keskikustannuskäyrä ja samaten U:n muotoinen nollavoittokäyrä.

Katsotaan nyt käyriä, jotka vastaavat positiivista voittoa, \(k\gt0.\) Silloin samavoittokäyrä kertoo, että \(P\) on AC + \(k/Q\). Huomaa, että kun \(k/Q\) on korkea, \(Q\) on pieni ja

\[\frac{d}{dQ} \left( \frac{k}{Q} \right) = - \frac{k}{Q^2} \lt0, \quad \frac{d^2}{dQ^2} \left( \frac{k}{Q} \right) = \frac{2k}{Q^3} \gt0\]

Siten \(k/Q\) on muuttujan \(Q\) laskeva konveksi funktio.

Samavoittokäyrien muoto riippuu termistä \(k/Q\) ja AC-käyrän muodosta. Omena-kanelimurojen tapauksessa ratkaisu on yksinkertainen. AC on vaakasuora ja samavoittokäyrien yhtälö on \(P = 2+k/Q\). Samavoittokäyrät ovat siis laskevia ja konvekseja, niin kuin \(k/Q\), kuten näemme kuviosta 1.

Ajattomien Autojen keskikustannuskäyrä on U:n muotoinen ja siten konveksi. Sen minimi on pisteessä B, jossa \(Q = 40\) euroa. Myös voittoa \(k\gt0\) vastaavan samavoittokäyrän on oltava konveksi, koska kahden konveksin funktion summa on aina konveksi (funktioiden summan \(f(x) + g(x)\) toinen derivaatta on \(f''(x) + g''(x)\), joka on positiivinen, jos \(f''(x)\) ja \(g''(x)\) ovat positiivisia).

Jos \(0\lt Q\lt40\), sekä \(C(Q)/Q\) että \(k/Q\) ovat muuttujan \(Q\) laskevia funktioita, joten samavoittokäyrä on laskeva. Jos \(Q\) on suuri, termin \(k/Q\) derivaatta on lähellä nollaa. Siten samavoittokäyrän kulmakerroin on melkein sama kuin termin \(C(Q)/Q\) kulmakerroin: samavoittokäyrä on nouseva (niin kuin keskikustannuskäyräkin). Siten termin \(k\gt0\) samavoittokäyrä on keskikustannuskäyrän tapaan U:n muotoinen. Funktion minimi on jokin piste, jossa \(Q\) on positiivinen.

Olkoon \(Q^*\) funktion minimoiva \(Q\) arvo. Huomaa, että muuttuja \(Q^*\) riippuu vakiosta \(k\). Tiedämme, että kaikki samavoittokäyrät ovat laskevia, kunnes \(Q = 40\), joten \(Q^* \gt 40\): samavoittokäyrän minimi on pisteessä, jossa \(k\gt0\) on nollavoittokäyrän alimman kohdan oikealla puolella. Samaan tapaan näemme, että jos \(k\) kasvaa, myös \(Q^*\) kasvaa: suurempia voittoja vastaavien samavoittokäyrien minimi on vielä enemmän oikealla (kuvio 2).

Olemme nyt selittäneet, miksi Ajattomien Autojen samavoittokäyrät ovat U:n muotoisia. Toinen kuviosta 2 näkyvä ominaisuus on se, että rajakustannuskäyrä kulkee samavoittokäyrien alimpien kohtien kautta. Osoitimme Leibniz-osiossa 7.3.1, että tämä pätee keskikustannuskäyrälle (nollasamavoittokäyrälle), koska \(\text{MC} - \text{AC}\) on aina etumerkiltään sama kuin keskikustannuskäyrän kulmakerroin. Sovellamme nyt samaa menettelyä muiden samavoittokäyrien kulmakertoimiin.

Voittoa \(k\gt0\) vastaavalla samavoittokäyrällä

\[\frac{dP}{dQ} = \frac{d} {dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) - \frac{k}{Q^2}\]

Tällöin \(dP/dQ\) on kahden termin erotus. Ensimmäinen termi on keskikustannuskäyrän kulmakerroin; osoitimme Leibniz-osiossa 7.3.1 (osamäärän derivoimissääntöä käyttämällä), että se on \((\text{MC} - \text{AC)}/Q\). Tiedämme samavoittokäyrän yhtälöstä, että \(k/Q = P - \text{AC}\). Siksi

\[\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{MC} - \text{AC}}{Q} - \frac{P - \text{AC}}{Q}\]

Oikeaa puolta sieventämällä näemme, että

\[\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{MC} - P}{Q}\]

Tämä yhtälö kertoo, että samavoittokäyrän kulmakerroin missä tahansa pisteessä on \(P = \text{AC}+ k/Q\). Kun \(Q\) on pieni, \(P\) on suuri – rajakustannusta MC suurempi – ja käyrä on laskeva. Kun siis \(Q\) kasvaa, \(P\) laskee; tätä jatkuu, kunnes \(P\lt \text{MC}\). Ajattomien Autojen tapauksessa päädymme lopulta pisteeseen, jossa \(P = \text{MC}\). Siinä pisteessä yhtälöstä näkee, että kulmakerroin on nolla: olemme samavoittokäyrän alimmassa kohdassa. Rajakustannuskäyrä on nouseva ja kulkee tämän pisteen kautta. Tämän pisteen jälkeen \(\text{MC} \gt P\) ja samavoittokäyrä ovat nousevia.

Entä omena-kanelimurot? Koska muropaunan yksikkökustannus on 2 euroa tuotantotasosta riippumatta, sekä rajakustannus että keskikustannus ovat 2 euroa. Nollasamavoittokäyrä ei ole vain keskikustannuskäyrä vaan myös rajakustannuskäyrä. Mikä tahansa samavoittokäyrä voidaan kirjoittaa muotoon \(P = \text{MC}+ k/Q\). Jos \(k \gt 0\), niin \(P \gt \text{MC}\). Kulmakerroin on toisin sanoen aina negatiivinen. Kuten kuvio 1 kertoo, kaikki positiiviset samavoittokäyrät ovat laskevia mutteivät koskaan kohtaa rajakustannuskäyrää.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luku 8). Manchester: Manchester University Press.