Leibniz 22.2.2 Miten monopolitoimija asettaa ylituoton maksimoivat verot

Veronasetantamallissamme diktaattori on poliittinen monopolitoimija ja haluaa maksimoida poliittiset ylituottonsa. Veroja asettaessaan hänellä on kuitenkin rajoitteena valtakausisuora: mitä enemmän kunakin vuonna kannetaan veroja, sitä lyhyemmän ajan hän voi odottaa pysyvänsä vallassa. Tässä osiossa ratkaisemme diktaattorin rajoitetun optimointiongelman matemaattisesti ja selvitämme optimaalisen verotason.

Leibniz-osiossa 22.2.1 johdimme valtakausisuoran diktaattorille, joka voi menettää valta-asemansa tuloksista johtuvista syistä (liiasta verottamisesta) tai tuloksista riippumattomista syistä. Hänen odotettu valtakautensa \(D\) laskee sitä mukaa kuin kunkin vuoden verot \(T\) kasvavat, joten kesto on verojen vähenevä funktio: \(D=f(T)\).

Diktaattorin ylituotto \(R\) riippuu sekä valtakaudesta \(D\) että veroista \(T\). Julkisten palvelujen tuottamisen kustannus on \(C\), joten vuotuinen poliittinen ylituotto on \(T - C\). Kun odotettu valtakausi on \(D\), odotettu kokonaistuotto on

\[R(D,\ T)=(T-C)D.\]

Diktaattorin rajoitettu optimointiongelma on:

\[\text{maksimoi }(T-C)D \text{ huomioimalla ehto }D=f(T)\]

Ratkaisemme ongelman korvaamalla ensin valtakauden \(D\) rajoitteella, joten ylituotto on \((T-C)f(T)\). Sitten derivoimme verojen \(T\) suhteen ja saamme ensimmäisen kertaluvun ehdon:

\[f(T)+f'(T)(T-C)=0\]

Ensimmäinen termi on veron yhden yksikön noston rajahyöty. Diktaattori saa ylimääräisen ylituottoyksikön valtakautensa \(f(T)\) ajalta. Toinen termi on negatiivinen, koska \(f(T)\) on vähenevä funktio. Se edustaa diktaattorille ylituoton nostamisen rajakustannusta eli sitä, että hän saa ylituottoa \(T-C\) lyhyemmältä ajalta.

Diktaattorin optimaalinen verotaso \(T^*\) toteuttaa tämän yhtälön. Kun \(T^*\) on tiedossa, voimme määrittää vastaavan keston yhtälöstä \(D^*=f(T^*)\). Havainnollistamme tätä esimerkillä.

Tekstin kuvio 22.6, joka on kopioitu tähän kuvioksi 1, valaisee diktaattorin optimointiongelman ratkaisua.

Ratkaisu \((D^*,\ T^*)\) on kuvion pisteessä B, jossa valtakausisuora sivuaa samatuottokäyrää. Osoittaaksemme, että tämä piste on se, johon päädyimme yllä matemaattisesti, voimme järjestellä ensimmäisen kertaluvun ehdon uudelleen:

\[-\frac{1}{f'(T)}=\frac{T-C}{D}\]

Tässä muodossa ensimmäisen kertaluvun ehto kertoo saman asian kuin kaavio: pisteessä B kestokäyrän kulmakerroin on sama kuin samatuottokäyrän kulmakerroin. Voimme laskea kulmakertoimet:

• Olemme kirjoittaneet valtakausisuoran muotoon \(D^*=f(T^*)\), josta seuraa, että \(dD/dT=f'(T)\). Kuvioon olemme kuitenkin piirtäneet suoran niin, että \(T\) on pystyakselilla, joten kulmakerroin on \(dT/dD= 1/f'(T)\). Koska \(f'(T)\) on kaikilla ajan \(T\) arvoilla negatiivinen, yllä olevan yhtälön vasen puoli on valtakausisuoran kulmakertoimen itseisarvo. Voimme tulkita sen verotuksen ja keston rajamuunnossuhteeksi (MRT).
• Samatuottokäyrän yhtälö on \(R(D,\ T)=k\), jossa \(k\) on vakio. Laskemme kulmakertoimen käyttämällä samaa menetelmää kuin käytimme Leibniz-osiossa 3.2.1 samahyötykäyrille. Tässä tapauksessa on kuitenkin helpompaa kirjoittaa samatuottokäyrä muotoon \(T=C+k/D\) ja sitten derivoida, jolloin saadaan \(dT/dD=-k/D^2=-(T-C)/D\). Siten yllä olevan yhtälön oikea puoli on samatuottokäyrän kulmakertoimen itseisarvo, joka voidaan tulkita diktaattorin verotulojen ja valtakauden rajasubstituutiosuhteeksi (MRS).

Esimerkki

Emme täsmentäneet edellä kestokäyrän muotoa. Olettakaamme, että se on kuvion 1 tapaan lineaarinen. Yhtälön voi silloin kirjoittaa muodossa \(D=f(T)\), jossa

\[f(T)=D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C)\]

ja \(s\) on positiivinen vakio. Derivoimalla muuttujan \(f\) voit varmentaa, että \(s=-1/f'(T)\), joten \(s\) edustaa kuvion 1 suoran (eli rajamuunnossuhteen MRT) kulmakertoimen itseisarvoa. Tällä valtakausisuoralla ensimmäisen kertaluvun ehdosta \(f(T)+f'(T)(T-C)=0\) tulee:

\[D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C) -\frac{1}{s}(T-C)=0\]

Kun se ratkaistaan, saadaan:

\[T^*=C+\frac{s}{2} D^\text{max}\]

Koska \(D^*=f(T^*)\):

\[D^*= \frac{1}{2} D^\text{max}\]

Huomaa, että diktaattorin valitsema verotaso nousee, kun valtakausisuora jyrkkenee (eli kun \(s\) kasvaa). Tilanne on sama kuin voittoa maksimoivalla yrityksellä, joka asettaa hinnan korkeammaksi, kun kysyntäkäyrä on joustamaton (jyrkkä). Tässä tapauksessa kuitenkin vastaava odotettu valtakausi on sama riippumatta siitä, mikä valtakausisuoran kulmakerroin \(s\) on. Palaamme tähän Leibniz-osiossa 22.3.1.