Unidad 9 Desarrollo desigual a escala planetaria

9.2 Medición del crecimiento económico: escalas logarítmicas y tasas de crecimiento

Para analizar y comparar el crecimiento de las economías, primero hay que entender cómo se mide el crecimiento económico.

La tasa de crecimiento (del PIB per cápita o de cualquier otra cantidad) se refiere al cambio porcentual. En la sección 3.5 presentamos la fórmula para calcular cambios porcentuales:

\[\text{tasa de crecimiento del PIB per cápita} = \frac{\text{variación del PIB per cápita}}{\text{nivel original del PIB per cápita}} \times 100\]

crecimiento en forma de palo de hockey

Durante la mayor parte de la historia, el nivel de vida apenas ha cambiado de un año a otro. Sin embargo, en los dos últimos siglos, muchos países han pasado a mostrar un patrón de renta (medida por el PIB) con una tasa media de crecimiento anual del 2 % o mayor. Esto se conoce como crecimiento en forma de palo de hockey debido a que la representación gráfica de la variación del PIB con el paso del tiempo se asemeja a un palo de hockey sobre hielo: casi plana durante un largo periodo, seguida de un quiebre repentino hacia arriba. El crecimiento en forma de palo de hockey se observa también en otras variables, como, por ejemplo, en la concentración de CO₂ en la atmósfera. Véase también: producto interior bruto.

Apliquemos este cálculo a Corea del Sur, China e India. La figura 9.3 muestra cómo han crecido estos países. El gráfico superior revela que los tres eran países muy pobres en 1960, pero que, en las décadas subsiguientes, experimentaron el típico crecimiento en forma de palo de hockey que se observó por primera vez en Gran Bretaña durante la Revolución Industrial.

El PIB per cápita en China era de 1057 dólares en 1960 y de 9658,42 dólares en 2010, de modo que la tasa de crecimiento a lo largo de ese periodo es:

\[\begin{align*} \text{tasa de crecimiento del PIB per cápita} &= \frac{\text{variación del PIB per cápita}}{\text{nivel original del PIB per cápita}} \\ &= \frac{9658,42 - 1057}{1057} \times 100 \\ &= 814 \ \% \end{align*}\]

Si aplicamos el mismo cálculo a India (cuyo PIB per cápita pasó de 1200 dólares en 1960 a 4525,75 dólares en 2010) y a Corea del Sur (de 1547,69 dólares en 1960 a 31 537,77 dólares en 2010), obtenemos tasas de crecimiento del 277 % y el 1938 %, respectivamente.

escala logarítmica

Los gráficos suelen elaborarse usando escalas lineales: los puntos indicados en cada eje mantienen entre sí una distancia fija, de tal manera que, a medida que nos movemos de un punto al siguiente, la variable en cuestión crece en una cantidad constante. Sin embargo, si se emplea una escala logarítmica, el desplazamiento de un punto al siguiente representa un incremento proporcional constante. Por ejemplo, si una escala logarítmica de base dos comienza en el origen con un valor 50, entonces los puntos siguientes indicados a lo largo de ese eje tendrán los valores 100, 200, 400, 800… Las escalas logarítmicas son útiles con variables que tienden a cambiar de forma proporcional, como la producción agregada. Si la producción crece a un ritmo constante (por ejemplo, un 3 % al año) y se representa en un gráfico en función del tiempo con una escala logarítmica en el eje vertical, entonces el gráfico resultante será una línea recta.

Estos cálculos revelan la tasa de crecimiento a lo largo de un periodo completo, pero cada país no crecía al mismo ritmo cada año. Esto se ve en el gráfico inferior de la figura 9.3. Para facilitar la comparación de las tasas de crecimiento a lo largo del tiempo, empleamos una escala logarítmica: los valores del eje vertical crecen en un factor constante, en lugar de hacerlo en una cantidad constante. El gráfico superior de la figura 9.3 ilustra el PIB per cápita usando una escala lineal: los valores del eje vertical aumentan en una cantidad constante (5000 dólares). El gráfico inferior muestra los mismos datos del PIB per cápita, pero usando una escala logarítmica: los valores del eje vertical aumentan multiplicados por 2 (500 $, 1000 $, 2000 $, y así sucesivamente).

En una escala logarítmica, distancias verticales iguales representan cambios porcentuales iguales o proporciones iguales y, por lo tanto, una línea recta indica una tasa de crecimiento constante.

En la figura 9.3, la escala logarítmica con base 2 ayuda a visualizar cuántas veces se ha doblado el PIB per cápita. Si el PIB per cápita se duplica cada década, la línea resultante será recta y creciente. Si, en lugar de doblarse, se cuadruplica cada década (es decir, si la tasa de crecimiento es el doble de la anterior), la línea seguirá siendo recta, pero el doble de empinada hacia arriba. Por tanto, cuando se usa una escala logarítmica, una línea más empinada significa un ritmo de crecimiento más veloz.

Si se comparan los dos gráficos de la figura 9.3, se ve lo útil que resulta la escala logarítmica para leer la tasa de crecimiento de manera directa en la inclinación de la línea. Cuando se emplea una escala lineal, las líneas crecientes (gráfico superior) dificultan la valoración visual de las tasas de crecimiento. En Corea del Sur hubo cuatro décadas de crecimiento veloz (antes de que se frenara a partir del año 2000). En China es evidente que el crecimiento se aceleró desde el comienzo de las reformas a finales de la década de 1970, que se detuvo hacia finales de la década de 1990 y que recuperó el veloz ritmo anterior coincidiendo con la entrada de China en la Organización Mundial del Comercio (OMC) en 2001. El crecimiento se ha frenado en tiempos más recientes. En India, el periodo de reformas comenzó en 1991, alrededor de una década más tarde que en China, y la tasa de crecimiento aumentó. Desde la década de 2000, ha tenido una tasa de crecimiento más rápida. La diferencia inicial en cuanto a renta entre estos tres países también es difícil de apreciar en el gráfico superior, pero la escala logarítmica del gráfico inferior revela que la renta de Corea del Sur en 1960, que rondaba los 1500 dólares anuales, era un 30 % más alta que la de India y un 45 % mayor que en China.

Tasas de crecimiento anual compuesto

A veces queremos tener un solo número que resuma la tasa media de crecimiento a lo largo de varios años. Como el cálculo de la media de las tasas de crecimiento anuales puede ser engañoso, usamos, en su lugar, la tasa de crecimiento anual compuesto (TCAC). Para calcular la tasa de crecimiento anual compuesto no se usan promedios, sino que se emplea el principio de la composición. Y este suele aplicarse con periodos prolongados, como varias décadas.

La tasa de crecimiento anual compuesto es la tasa de crecimiento anual porcentual constante que se necesitaría para que una variable creciera desde su valor inicial hasta su valor final durante el periodo especificado:

\[\text{TCAC (en %)} = \left[\left(\frac{\text{valor final}}{\text{valor inicial}}\right)^{\frac{1}{\text{número de años}}} - 1\right] \times 100\]

Si empleamos a modo de ejemplo los valores del PIB per cápita de China en 1960 y 2010, obtenemos:

\[\text{TCAC (en %)} = \left[\left(\frac{\text{9658,42}}{\text{1057}}\right)^{\frac{1}{\text{50}}} - 1\right] \times 100 = 4,52 \ \%\]

La tasa de crecimiento anual compuesto brinda una tasa media de crecimiento suavizada que resulta útil para comparar comportamientos globales entre diferentes periodos o países. En términos conceptuales viene a ser como hallar la pendiente de la línea que conecta el punto de partida y el punto final en un gráfico usando una escala logarítmica.

La TCAC también ayuda a identificar si la economía de un país ha crecido más rápido o más despacio de lo habitual. Así, por ejemplo, si el PIB real per cápita de China subió un 6 % este año, pero en promedio aumentó un 4,52 % entre 1960 y 2010, entonces podemos decir que el comportamiento del crecimiento de la economía este año está por encima de la media a largo plazo.

El hecho de que se trate de un valor compuesto es importante: si no se tuviera en cuenta, resultarían cifras muy diferentes para la tasa de crecimiento. Siguiendo con el ejemplo de China, si tomáramos la media de la tasa de crecimiento durante el mismo periodo (del 814 %, según el cálculo efectuado con anterioridad), obtendríamos:

\[\text{tasa de crecimiento del PIB per cápita} = \frac{1}{50}(814) = 16,28 \ \%\]

En este caso, no usar el valor compuesto arroja un resultado casi cuatro veces mayor que la tasa real de crecimiento anual.

La regla del 70 con tasas de crecimiento

Otra forma de interpretar las tasas de crecimiento consiste en emplear la regla del 70: si la economía crece a un ritmo constante (en línea recta en una escala logarítmica), entonces el número de años que tardará en duplicarse el PIB real ascenderá a 70 dividido entre la tasa de crecimiento anual en forma de porcentaje (por ejemplo, con una tasa de crecimiento constante de un 2 % anual, el valor se duplicará al cabo de 35 años, es decir, en una generación).

La regla del 70 funciona bien con tasas de crecimiento más bien bajas y estables. Sin embargo, puede inducir a error cuando:

• las tasas de crecimiento son elevadas: la regla pierde precisión con tasas de crecimiento más altas porque tiende a exagerar el tiempo real de duplicación hallado a partir de la fórmula de la tasa de crecimiento anual compuesto o el cálculo directo;
• las tasas de crecimiento son volátiles o cambiantes: con esta regla se asume una tasa de crecimiento constante. Si esta experimenta grandes fluctuaciones o aumenta o disminuye a menudo a lo largo del periodo, la aplicación de esta regla empleando tan solo la tasa inicial o la tasa media puede arrojar una estimación muy pobre del tiempo real que tardó (o tardará) en duplicarse;
• se usa con periodos muy breves de tiempo: la regla del 70 se concibió como un recurso práctico para periodos largos, como décadas, y no para unos pocos años.

Por ejemplo, la regla del 70 no sería precisa si se aplicara a los países de la figura 9.3 durante el periodo indicado, ya que todos crecieron con rapidez y con tasas de crecimiento cambiantes. Si usamos la tasa de crecimiento anual compuesto de China, obtenemos que hacen falta 70/4,52 = 15,49 años para que se duplique su PIB per cápita de 1960, cuando, en realidad, tardó en hacerlo 22 años (2128 dólares en 1982); y, después, necesitó 13 años para volver a doblarse (3999,73 dólares en 1995).