Unidad 9 Desarrollo desigual a escala planetaria
9.3 Bienes de capital y tecnología
- función de producción
- Una función de la producción es una descripción gráfica o matemática de la relación existente entre la cantidad de factores de un proceso de producción y la cantidad obtenida del producto final. Cuando se usa para representar la producción en el conjunto de la economía, se describe como una función de producción agregada.
- productividad laboral o de la mano de obra
- Medida de la eficacia de la mano de obra como factor de un proceso productivo. Normalmente, se calcula dividiendo la producción total entre el número de unidades de mano de obra (por ejemplo, horas o trabajadores) que se han utilizado para obtenerla o, dicho de otro modo, el producto medio de la mano de obra.
- capital, bienes de capital
- Los bienes de capital (a veces abreviados como capital) son los factores duraderos, que se emplean en la producción, que no son trabajo y cuyo uso tiene un coste (por ejemplo, maquinaria, equipos, edificios). No incluyen algunos factores esenciales (como aire o conocimientos) que se utilizan en la producción y que tienen un coste cero para el usuario.
Para plantearnos de qué manera y por qué razón crecen la renta y el nivel de vida de un país con el paso del tiempo podemos partir de la función de producción agregada, que resume cómo se transforman los factores en producción (y renta) agregada. En el modelo macroeconómico que desarrollamos en las unidades 1 a 3 recurrimos a los supuestos simplificadores de que la mano de obra es el único factor de la economía y que la producción por trabajador, \(\lambda\), es fija. La función de producción es \(Y=\lambda N\), donde \(Y\) representa la producción, y \(N\) es el empleo total. En esta situación hipotética, la producción solo puede aumentar si se emplea a más trabajadores o si aumenta la productividad laboral, \(\lambda\), por ejemplo, debido a una mejora en la calidad educativa y formativa. La sección 2.4 muestra cómo repercute esto en la producción, el desempleo y la desigualdad.
Para obtener una idea más completa sobre cómo cambia la economía es necesario incluir otros factores de producción. Cuánto se produce también depende de factores como:
- bienes de capital, como herramientas (incluidas las digitales), maquinaria y edificios;
- energía, como carbón, petróleo, gas o energías renovables, como la eólica y la solar;
- tierra;
- otros recursos ambientales, como agua, bosques o minerales;
- infraestructuras públicas, como carreteras, vías ferroviarias y redes digitales.
También depende de las tecnologías utilizadas para transformar factores de producción en bienes producidos.
La función de producción: mano de obra, bienes de capital y tecnología
Para comenzar, supondremos que solo hay dos factores de producción: bienes de capital (\(K\)) y mano de obra (\(N\)). A partir de esto, podríamos escribir la función de producción como \(Y = F(K, N)\), y considerar la función \(F\) como la tecnología de producción: empleando esta tecnología, se combinan cantidades diferentes de \(K\) y \(N\) para obtener bienes producidos. Sin embargo, también queremos tener en cuenta posibles cambios tecnológicos. De modo que, en lugar de usar esa fórmula, escribiremos la función de producción así:
\[Y = z F(K, N)\]- productividad total de los factores, PTF
- Si en un proceso de producción aumenta la cantidad de bienes que se pueden producir sin que se dé ningún otro cambio en los factores de producción (inputs), decimos que ha aumentado la productividad total de los factores (PTF). Por ejemplo, si los factores de producción consisten en bienes de capital \((K)\) y mano de obra \((N)\), podemos escribir la función de producción como \(Y = zF(K,N)\), donde \(z\) representa la PTF.
- intensidad en capital
- La intensidad en capital de un proceso de producción es la cantidad de capital utilizada por unidad de mano de obra empleada. Por tanto, si los bienes producidos se obtienen usando \(K\) unidades de capital y \(N\) trabajadores, la intensidad en capital se mide con \(K/N\).
donde \(z\) representa el estado actual de la tecnología. El progreso tecnológico hace que \(z\) aumente, lo que significa que ahora se puede producir más con la misma cantidad de bienes de capital y mano de obra que antes. Entonces decimos que ha aumentado la productividad total de los factores. Así, por ejemplo, si \(z\) se incrementa un 1 %, pero \(K\) y \(N\) permanecen constantes, la economía genera un 1 % más de producción (crece un 1 %).
Con esta función de producción hay tres elementos capaces de provocar un crecimiento de la economía: el progreso tecnológico (un incremento de \(z\)), la acumulación de capital (\(K\) aumenta) y el crecimiento del empleo (\(N\) aumenta). La mano de obra podría crecer como consecuencia de una participación mayor de la población activa, por ejemplo, o debido a un aumento del número de trabajadores migrantes.
En el caso de la economía agregada, tiene lógica suponer que, si todos los factores de producción aumentan en la misma proporción con un estado tecnológico dado, entonces los bienes producidos también lo harán. Por ejemplo, si se duplica la población activa y también lo hace el número de fábricas que la tiene empleada, así como la cantidad de máquinas que ella utiliza, entonces la economía producirá dos veces más. En otras palabras, la función \(F\) tiene unos rendimientos constantes a escala.
Un aumento de \(z\) incrementa el rendimiento en la misma proporción, pero ¿qué sucede si crecen los bienes de capital, \(K\)? ¿Qué ocurre, por ejemplo, si \(K\) aumenta, mientras que \(z\) y \(N\) permanecen constantes? Con una tecnología de rendimientos constantes \(F(K, N)\) podemos responder esta pregunta centrándonos en la producción por trabajador, \(Y/N\), es decir, en la productividad laboral:
Tecnología de rendimientos constantes
Con una tecnología de rendimientos constantes, \(Y=z F(K, N)\), y si \(z\) se mantiene constante, la producción por trabajador (\(Y/N\)) depende únicamente del capital por trabajador, \(K/N\), y no del nivel de empleo. \(K/N\) mide la intensidad en capital de la producción.
La producción por trabajador es: \(\frac{Y}{N} = z \frac{1}{N} F(K,N)\).
Con rendimientos constantes: \(\frac{1}{N}F(K,N)=F(\frac{1}{N} K, \frac{1}{N} N)\).
Por tanto, \(\frac{Y}{N} = zF(\frac{K}{N}, 1)\).
Cuando \(z\) es constante, esta es tan solo una función de \(\frac{K}{N}\).
Charlie Chaplin evidenció en Tiempos modernos , película de 1936, que existe un límite para la cantidad de máquinas que es capaz de usar un trabajador.
Cuando \(K\) aumenta, pero \(N\) no cambia, crece el capital por trabajador (digamos, el número de máquinas que utiliza cada uno). Sería esperable que la producción subiera, pero en menor medida que el incremento de \(K/N\). Por ejemplo, si ahora los trabajadores usan el doble de máquinas, pasan menos tiempo con cada una de ellas, de modo que la cantidad de producción no se multiplica por dos. A medida que \(K/N\) continúa aumentando, la introducción de equipos adicionales tiene una incidencia cada vez menor: los trabajadores están demasiado ocupados utilizando el equipo que ya tienen como para hacer un buen uso de los nuevos.
Ten en cuenta que \(\text{PMeK} = \frac{Y}{K} = \frac {\frac{Y}{N}}{\frac{K}{N}}\).
- producto medio
- El producto medio de un factor de producción es la producción total dividida entre la cantidad total del factor. Por ejemplo, el producto medio de un trabajador (también conocido como productividad del trabajo) es la producción total dividida entre el número de trabajadores empleados para producirla.
La figura 9.4 ilustra la relación entre la producción por trabajador (\(Y/N\)) en el eje vertical, y los bienes de capital por trabajador (\(K/N\)) en el eje horizontal (es decir, la función de producción por trabajador). En el punto A, cada trabajador usa equipos que cuestan 16 000 dólares y genera 12 800 dólares de producción. El producto medio del capital (PMeK) equivale a \(12~800/16~000 = 0,8\). En el punto B, el capital por trabajador asciende a más del doble (36 000 dólares). La producción ha subido, pero solo hasta 19 200, así que la productividad del capital es mucho menor: \(\text{PMeK} = 0,53\).
El producto medio del capital en B se muestra en el diagrama: es la pendiente de la recta que va desde el origen hasta el punto B. Sin necesidad de efectuar ningún cálculo, se ve con claridad que es inferior al PMeK en A: la línea que parte del origen se aplana a medida que se avanza a lo largo de la función de producción. La forma curva de la función de producción refleja la propiedad «Charlie Chaplin»: a medida que aumenta la intensidad en capital, \(K/N\), disminuye el producto medio del capital.
Figura 9.4 La función de producción: la productividad del capital cae a medida que aumenta la intensidad en capital.
Como resultado de la disminución del PMeK, ninguna economía será capaz de mantener el crecimiento de la producción por trabajador simplemente añadiendo más capital del mismo tipo. A la larga, la productividad del capital se vuelve tan escasa que no vale la pena invertir más con el nivel de tecnología existente.
El progreso tecnológico
- renta de innovación
- Cantidad de beneficios por encima del coste de oportunidad del capital que obtiene la persona que innova al introducir tecnologías, formas organizativas o estrategias de marketing novedosas.
- destrucción creativa
- Denominación de Joseph Schumpeter para aludir al proceso mediante el cual las viejas tecnologías y las empresas que no se adaptan son barridas por otras nuevas porque no pueden competir en el mercado. Desde su perspectiva, la quiebra de empresas no rentables es creativa porque libera mano de obra y bienes de capital para que puedan emplearse en nuevas combinaciones.
Pero los cambios tecnológicos que aumentan la productividad del capital permiten un crecimiento económico sostenido. Las empresas tienen incentivos para desarrollar y adoptar tecnologías nuevas: pueden obtener rentas de innovación si las incorporan antes que sus rivales. Las empresas que no innovan (o no copian innovaciones de otros) son incapaces de vender su producto a un precio superior al coste de producción y acaban fracasando. La unidad 2 del volumen de microeconomía explica que este proceso de destrucción creativa ha conducido a un aumento del nivel de vida. El progreso tecnológico y la acumulación de bienes de capital se complementan entre sí: cada uno de ellos proporciona las condiciones necesarias para que el otro avance.
- Nuevas tecnologías requieren máquinas nuevas: la acumulación de bienes de capital es una condición necesaria para que la tecnología avance, tal como sucedió con la máquina hiladora Jenny, por ejemplo.
- Los avances tecnológicos son necesarios para mantener el proceso de acumulación de bienes de capital: gracias a ellos sigue siendo rentable la introducción de métodos de producción con una intensidad en capital cada vez mayor. La figura 9.5 ilustra el efecto de una mejora tecnológica, modelizada como un aumento de \(z\). Esto rota hacia arriba la función de producción. Cada trabajador genera más producción con un nivel dado de bienes de capital, es decir, aumenta la productividad del capital (en este ejemplo concreto, la producción aumenta un 50 % en cada nivel de capital).
Figura 9.5 El progreso tecnológico unido a la inversión incrementa la producción al mismo tiempo que mantiene la productividad del capital.
Por ejemplo, si partimos del punto A, con un capital por trabajador de 16 000 dólares y un PMeK de 0,75, la adopción de una tecnología nueva incrementa la productividad del capital, lo que fomenta la inversión neta. Las empresas pueden aumentar hasta 36 000 dólares el capital por trabajador sin perder productividad: en el punto C, la producción por persona es mucho mayor que en A, y el PMeK sigue siendo 0,75. La economía ha crecido debido a una combinación de progreso tecnológico e inversión en capital. Las nuevas tecnologías también pueden consistir en formas novedosas de organizar el trabajo. Un buen ejemplo lo ofrece la revolución gerencial de comienzos del siglo xx denominada taylorismo, que promovió una reorganización más eficiente de la mano de obra y los bienes de capital e introdujo nuevos sistemas de supervisión para que los trabajadores rindieran más. En tiempos más recientes, la revolución de las tecnologías de la información (TIC) ha permitido que un ingeniero esté conectado con máquinas y con miles de técnicos más de cualquier parte del mundo. Por tanto, la revolución de las TIC rota hacia arriba la función de producción, lo que aumenta el producto medio del capital en todos los niveles de capital por trabajador.
- crecimiento convergente
- Expresión que se emplea cuando una economía con un PIB relativamente bajo experimenta un periodo de crecimiento rápido que acerca su renta a la de los países de renta alta. Véase también: convergencia.
- convergencia
- Término que se emplea cuando un país con un PIB inicial bajo experimenta un crecimiento convergente hasta alcanzar una senda de crecimiento similar a la de los países de renta alta. Véase también: crecimiento convergente.
Para analizar cómo han configurado el mundo el progreso tecnológico y la acumulación de capital, comparamos países líderes en tecnología con países más rezagados. La figura 9.6a muestra el aumento del PIB per cápita en el transcurso de 150 años en cuatro países; empleamos una escala logarítmica para que la pendiente de cada línea mida el ritmo de crecimiento. A partir de la unidad 1 del volumen de microeconomía, sabemos que las economías ascendieron por la curva con forma de palo de hockey en momentos muy diferentes. Gran Bretaña fue líder en tecnología desde la Revolución Industrial hasta el comienzo de la Primera Guerra Mundial, momento en el que Estados Unidos tomó el relevo. Hasta el fin de la Segunda Guerra Mundial, el nivel de vida en Japón y Taiwán se mantuvo mucho más bajo, aunque aumentó a un ritmo similar al de los países líderes; a partir de entonces, estos dos países experimentaron un periodo de veloz crecimiento convergente hasta que a finales del siglo xx lograron la convergencia con los situados a la cabeza. Durante el último cuarto de siglo, Taiwán prácticamente ha anulado la distancia que lo separaba de Estados Unidos en cuanto a PIB per cápita, mientras que la senda de crecimiento de Japón se ha ido alejando de la de Estados Unidos.
Figura 9.6a Países líderes en tecnología, crecimiento convergente y convergencia, 1865–2023.
Jutta Bolt y Jan Luiten van Zanden. 2024. «Maddison-Style Estimates of the Evolution of the World Economy: A New 2023 Update». Journal of Economic Surveys: pp. 1–41.
La figura 9.6b muestra la relación entre la producción por trabajador y el capital por trabajador en los mismos cuatro países de la figura 9.5 para poder comparar.
Si nos centramos en primer lugar en Gran Bretaña, la figura muestra la trayectoria que siguió este país a medida que aumentaban tanto la intensidad en capital como la productividad a lo largo del tiempo transcurrido desde 1760 (extremo inferior izquierdo del gráfico) hasta 1990, cuando la producción por trabajador fue más de siete veces superior. En Estados Unidos, la productividad superó la de Reino Unido en 1910, y se ha mantenido por encima de ella desde entonces. En 1990, Estados Unidos tuvo una productividad y una intensidad en capital más altas que Reino Unido.
Figura 9.6b Sendas de crecimiento a largo plazo de economías seleccionadas, 1760–1990.
Robert C. Allen. 2012. «Technology and the Great Divergence: Global Economic Development Since 1820». Explorations in Economic History. 49(1): pp. 1–16. Nota: Los puntos señalan datos de cada década específica a menos que se indique otra cosa.
Reino Unido
Estados Unidos de América
Japón y Taiwán
John Habakkuk, especialista en historia económica, ha afirmado que los trabajadores de las fábricas estadounidenses de finales del siglo xix tenían salarios altos porque contaban con la posibilidad de trasladarse al oeste del país para convertirse con facilidad en agricultores de sus propias tierras. En respuesta a esos salarios elevados, los propietarios de las fábricas tuvieron un incentivo para desarrollar e introducir tecnologías que ahorraran mano de obra.
La figura 9.6b muestra que las economías que son ricas en la actualidad fueron subiendo su productividad laboral (el rendimiento por trabajador) con el paso del tiempo a medida que aumentó su intensidad en capital. Por ejemplo, si consideramos el caso de Estados Unidos, el capital por trabajador (medido en dólares estadounidenses de 1985) pasó de 4325 dólares en 1880 a 14 407 dólares en 1953 y a 34 705 en 1990. Junto a esta mayor intensidad en capital, la productividad laboral estadounidense creció de 7400 dólares en 1880 a 21 610 dólares en 1953 y a 36 771 en 1990.
Consideremos ahora Japón y Taiwán. En 1990, el capital por trabajador en Japón no solo era superior al de Estados Unidos, sino que, además, casi doblaba el de Gran Bretaña. Japón había alcanzado este nivel en menos de la mitad del tiempo que había tardado Gran Bretaña. En 1990, Taiwán también tenía más intensidad en capital que Gran Bretaña. El liderazgo logrado por Estados Unidos en cuanto a producción en serie e industrias basadas en la ciencia se fue erosionando a medida que otras economías invirtieron en educación e investigación y adoptaron sus mismas técnicas de gestión.1
A diferencia del modelo de la figura 9.5, que muestra por separado la variación de la función de producción y el aumento de la intensidad en capital, los datos de la figura 9.6b aúnan ambos efectos. En el modelo, el aumento de \(K/N\) por sí solo tiene el efecto de reducir el producto medio del capital (PMeK), lo que se compensa en parte con la rotación hacia arriba de la función de producción. Esta es la razón por la que los gráficos con datos históricos de la figura 9.6b muestran curvas menos pronunciadas (menos cóncavas) que las que trazamos en la figura 9.5.
La interpretación de la figura 9.6b empleando el modelo de la función de producción de la figura 9.4 evidencia que todas las economías adoptaron métodos de producción más intensivos en capital a medida que creció su riqueza. Aun así, a pesar de que tanto Japón como Taiwán experimentaron un progreso tecnológico considerable, el hecho de que el rendimiento por trabajador en cada nivel de intensidad en capital permaneciera por debajo del de Estados Unidos y Gran Bretaña significa que ambos mantuvieron una función de producción más baja.
En resumen:
- El aumento de la cantidad de bienes de capital por trabajador contribuye a incrementar la producción por trabajador, lo que permite elevar el nivel de vida.
- El progreso tecnológico desplaza hacia arriba la función de producción, estimulada ante la perspectiva de obtener rentas de innovación.
- Esto compensa en parte la disminución de los rendimientos medios en función del capital, lo que, de no ser así, limitaría la acumulación de capital.
Pregunta 9.2 Elige las respuestas que sean correctas
Lee los siguientes enunciados sobre una función de producción con una tecnología de rendimientos constantes \((Y = z F(K, N))\) y elige las opciones que sean correctas.
- Para duplicar la producción con una tecnología de rendimientos constantes, es necesario doblar también el número de máquinas (\(K\)).
- De acuerdo con la definición de la función, la producción aumentará en proporción a \(z\).
- La mejora tecnológica rota la función de producción, por lo que esta sigue mostrando un producto medio del capital decreciente. Sin embargo, el producto medio del capital en cada punto de la función es ahora mayor.
- Las mejoras tecnológicas rotan la función de la producción, de modo que el producto medio del capital en cada punto de la función es ahora más elevado.
Ejercicio 9.3 Explicación del progreso tecnológico de Estados Unidos
La figura 9.6b muestra que el PIB por trabajador y el capital por trabajador han ido cambiando con el paso del tiempo en Estados Unidos. Lee el artículo «The Rise and Fall of American Technological Leadership: The Postwar Era in Historical Perspective», de Richard Nelson y Gavin Wright, y úsalo para explicar por qué Estados Unidos se convirtió en el país líder en tecnología en el siglo xx. Utiliza los siguientes conceptos en tu respuesta:
- la función de producción (variaciones siguiéndola y desplazándola);
- tecnologías para ahorrar mano de obra;
- rentas de innovación;
- investigación y desarrollo;
- educación y competencia.
Ampliación 9.3 La función de producción y el rendimiento de la inversión en capital
En el texto principal de esta sección hemos analizado qué implicaciones tiene una disminución de la productividad del capital (medida a través del producto medio del trabajo) para el crecimiento de la producción. En esta ampliación introducimos otra medida de la productividad (el producto marginal) y utilizamos el análisis matemático para averiguar las propiedades de la función de producción con rendimientos constantes. En concreto, demostramos que tanto el producto medio como el producto marginal disminuyen con la intensidad en capital. Utilizamos estas propiedades para evidenciar que el crecimiento de la producción se puede mantener combinando la inversión en bienes de capital con el progreso tecnológico.
Al igual que en la parte principal de esta sección, escribimos la función de producción como:
\[Y = z F(K, N)\]donde \(K\) y \(N\) son el capital y la mano de obra, y \(z\) representa el estado actual de la tecnología.
Producto medio y producto marginal
Tanto la mano de obra como los bienes de capital contribuyen a la producción. Una forma de medir en qué grado son productivos consiste en hallar la productividad media, es decir, cuántas unidades de producción se obtienen por cada unidad de mano de obra empleada o por cada bien de capital utilizado:
\[\text{Producto medio de la mano de obra (PMeL)} = \frac {Y}{N} = \frac{z F(K,N)}{N}\] \[\text{Producto medio del capital (PMeK)} = \frac {Y}{K} = \frac{z F(K,N)}{K}\]En general, el producto medio de la mano de obra y el producto medio del capital dependen tanto de \(K\) como de \(N\): por ejemplo, si \(K\) aumenta mientras \(N\) permanece constante, lo habitual es que el PMeL crezca (los trabajadores son más productivos cuando cada uno dispone de más capital con el que trabajar). En cambio, si \(N\) aumenta mientras \(K\) no varía, el PMeL caerá (ya que cada trabajador tendrá menos capital con el que trabajar).
También podemos medir la productividad marginal de \(N\) y \(K\): es decir, la ratio a la que aumenta la producción en respuesta a un incremento pequeño de uno de los factores. Al igual que otras cantidades marginales (como, por ejemplo, el coste marginal), el producto marginal se puede calcular utilizando el análisis matemático a partir de la derivada parcial:
\[\text{Producto marginal de la mano de obra (PMgL)} = \frac {\partial Y}{\partial N} = \frac{z \partial F(K,N)}{\partial N}\] \[\text{Producto marginal del capital (PMgK)} = \frac {\partial Y}{\partial K} = \frac{z \partial F(K,N)}{\partial K}\]A menudo analizamos las funciones de producción asumiendo que, aunque pueda haber dos o más factores, solo varía uno de ellos, por lo común, la mano de obra. Tal como se muestra en las ampliaciones 2.4 y 5.4 del volumen de microeconomía, esto permite elaborar un gráfico para ilustrar cómo aumenta la producción con la mano de obra mientras el resto de los factores permanece constante. En cada punto de la función, el producto marginal de la mano de obra es la pendiente de la función, y el producto medio de la mano de obra es la pendiente de una línea que va desde el origen hasta la función. Este supuesto es el mismo que empleamos en las unidades 1 a 4: la producción agregada depende tan solo de la mano de obra, porque se da por hecho que las existencias de capital se mantienen fijas a corto plazo.
Modelizar el crecimiento de la producción con rendimientos constantes a escala
- rendimientos constantes a escala
- Cuando la producción presenta rendimientos constantes a escala, aumentar todos los factores de producción en la misma proporción incrementa la cantidad producida en la misma proporción. La forma de la curva de costes medios a largo plazo de una empresa depende tanto de los rendimientos a escala en la producción como del efecto de la escala sobre los precios que paga por sus factores. Véase también: rendimientos crecientes a escala, rendimientos decrecientes a escala.
Para explicar cómo crece la producción a largo plazo debemos permitir que varíen otros factores, además de la mano de obra. Pero el análisis se simplifica si aceptamos el importante supuesto de que el proceso de producción tiene rendimientos constantes a escala; o sea, si todos los factores se incrementan en la misma proporción, entonces la producción también aumenta en esa misma medida. Para la función de producción \(Y = z F(K, N)\) podemos expresar la propiedad de los rendimientos constantes diciendo que, para cualquier número positivo, \(\lambda\):
\[F(\lambda K, \lambda N) = \lambda F(K,N)\]A menudo tiene sentido suponer que hay rendimientos constantes a escala siempre que se consideren todos los factores. Para ver por qué es importante esto último, supongamos que la producción de cereales requiere en realidad tres factores: bienes de capital, mano de obra y tierra. Si duplicáramos la cantidad de estos tres factores, tendría lógica afirmar que la producción se doblaría: en la práctica, podríamos obtener el doble de cereales con dos instalaciones idénticas. En cambio, si analizamos la producción en una instalación particular, podemos dejar de lado la cantidad de tierra, puesto que siempre se mantendrá constante, y escribir la producción como una función del capital y la mano de obra. En este caso, duplicar la mano de obra y el capital no daría como resultado el doble de producción, porque habría que usar la tierra de un modo más intensivo.
Para ilustrar las implicaciones de los rendimientos constantes nos centraremos en un tipo particular de función. La función de producción Cobb–Douglas con rendimientos constantes a escala en capital y mano de obra tiene la siguiente forma:
\[Y= zF(K,N)= zK^{b}N^{1-b}\]donde \(b\) es una constante que toma valores entre 0 y 1. Para confirmar que esto tiene rendimientos constantes:
\[\begin{align*} F(\lambda K, \lambda N) &= (\lambda K)^{b}(\lambda N)^{1-b} \\ &= \lambda^{b} K^{b}\lambda ^{1-b}N^{1-b} \\ &=\lambda^{b}\lambda^{1-b}K^{b}N^{1-b} \\ & =\lambda F(K,N) \end{align*}\]Tal como se expone en la parte principal de esta sección, la producción por trabajador es una función en exclusiva de la intensidad en capital (cuando la tecnología, \(z\), se mantiene constante):
\[\text{Producción por trabajador} = \frac{Y}{N} =zK^{b}N^{-b}=z\left(\frac{K}{N}\right)^b\]Esta propiedad significa que la producción por trabajador tiene la misma función de intensidad en capital con independencia del número de trabajadores. Por tanto, permite reflejar los rasgos de la función de producción en una ecuación más simple que la utilizada al principio. Si llamamos \(y\) a la producción por persona \(Y/N\) y \(k\) a la intensidad en capital \(K/N\), entonces la ecuación para la producción por trabajador es:
\[y = zk^b\]Además, puesto que \(Y=Ny\) y que \(K=Nk\), la ratio entre \(Y\) y \(K\) es igual que la ratio entre \(y\) y \(k\), sea cual sea el valor de \(N\). Por tanto, el producto medio del capital (PMeK) viene dado por:
\[\text{PMeL} = \frac{Y}{K}= \frac{y}{k} = zk^{b-1}\]De manera análoga, la ratio entre un cambio en \(Y\) y un cambio en \(K\) es igual a la ratio de los cambios correspondientes en \(y\) y \(k\). El producto marginal del capital es:
\[\text{PMgK} = \frac{\partial Y}{\partial K} = \frac{dy}{dk} = bzk^{b-1}\]La figura A9.1 (de manera similar a la figura 9.4) muestra el gráfico de la producción por trabajador \(y\) como una función de \(k\), y el producto medio y marginal del capital en los puntos A y B. En cada punto, el PMeK es \(y/k\), la pendiente de la línea que va hasta el origen, y el PMgK es \(dy/dk\), la derivada de la curva.
Figura A9.1 La función de producción Cobb–Douglas expresada por trabajador.
Producto medio y producto marginal decrecientes
En la figura A9.1, el producto medio del capital es decreciente, y el producto marginal también desciende: tanto el PMeK como el PMgK disminuyen a medida que aumenta la intensidad en capital. Esto se comprueba a partir de las expresiones algebraicas: \(\text{PMeK}=zk^{b-1}\), que decrece a medida que aumenta \(k\):
\[\frac{d\text{PMeK}}{dk}=(b-1)zk^{b-2}<0 \text{ ya que }b<1\]y lo mismo sucede con el producto marginal del capital (PMgK).
Además, \(\text{PMgK} = b\text{PMeK}\), lo que confirma que el producto marginal siempre es inferior al producto medio: la pendiente de la tangente es menor que la pendiente de la línea discontinua.
Implicaciones económicas
Si se utiliza una función de producción agregada con rendimientos constantes a escala en mano de obra y capital, el análisis por trabajador ayuda a entender por qué invertir en bienes de capital podría no bastar por sí solo para aumentar la producción. Tal como se expuso en la parte principal de esta sección, invertir para incrementar el capital por trabajador elevará la producción, pero reducirá la productividad del capital medida por el producto medio (PMeK).
- coste de oportunidad del capital
- Renta que un inversor podría haber recibido, por unidad de gasto en inversión, invirtiendo en otra cosa.
Ahora sabemos que el producto marginal del capital también desciende a medida que \(k\) crece, y esto es importante porque ayuda a explicar cuánta inversión podemos esperar. Si baja el producto marginal de los bienes de capital, los aumentos adicionales de \(k\) aportarán cada vez menos a la producción. Esto significa que disminuye el rendimiento de la inversión en bienes de capital. Si ese rendimiento cae por debajo del coste de oportunidad del capital (es decir, el beneficio que los inversores pueden esperar al dedicar sus fondos a otros usos alternativos), no habrá ningún incentivo para seguir invirtiendo en ellos.
La figura A9.2 ilustra cómo puede haber crecimiento como resultado del progreso tecnológico. Supongamos que la economía está en equilibrio en el punto A: con este nivel de capital por trabajador, el rendimiento de la inversión (representado por el producto marginal en A) es igual al coste de oportunidad del capital. Los inversores no estarán dispuestos a financiar un nivel más alto de \(k\) porque el rendimiento más allá de A a lo largo de la función de producción sería demasiado reducido. Ahora supongamos que mejora la tecnología (\(z\)), lo que rota hacia arriba la función de producción. Con el nivel actual de bienes de capital por trabajador, el producto marginal es ahora más elevado: el rendimiento de la inversión en el punto A′ es mayor que el coste de oportunidad del capital. Así que la inversión aumenta, y la economía crece a lo largo de la nueva función de producción. A medida que aumenta \(k\), cae el PMeK. El crecimiento continuará hasta que el rendimiento de la inversión vuelva a ser igual al coste de oportunidad del capital.
Figura A9.2 La función de producción Cobb–Douglas: una mejora tecnológica.
La figura A9.2 ilustra una función de producción Cobb–Douglas (con \(b = \frac{1}{2}\)). En este caso, el crecimiento continúa hasta llegar al punto C. Para entender por qué, reparemos en primer lugar en que C se encuentra sobre la misma línea que parte del origen que A, lo que significa que los PMeK en los puntos C y A son iguales. A partir de \(\text{PMgK}=b\text{PMeK}\) sabemos que los PMgK también son iguales en ambos puntos. Por tanto, si el PMgK es igual al coste de oportunidad del capital en A, C es el punto en el que el rendimiento de la inversión en capital ha vuelto a caer hasta igualarse con el coste de oportunidad.
Imaginemos ahora el efecto de un progreso tecnológico continuo, o sea, una subida constante de \(z\) a lo largo del tiempo. A medida que mejora la tecnología, los rendimientos más altos de la inversión deparan un aumento constante de la intensidad en capital y un incremento proporcional de la producción manteniendo un producto medio del capital constante. En la figura A9.2, la economía crece a lo largo de la línea que parte del origen y pasa por A y C, sobre la que tanto el PMeK como el PMgK se mantienen constantes. Una función de producción Cobb–Douglas unida al progreso tecnológico da rendimientos constantes de la intensidad en capital, lo que permite un crecimiento constante y continuado a lo largo del tiempo.
Ejercicio A9.1 Rendimientos a escala, producto medio, producto marginal
Para cada una de las siguientes funciones, di si tiene rendimientos constantes a escala y calcula el PMeK y el PMgK:
- \(F(K, L) = 5K + 2L\)
- \(F(K, L) = 3 K^{0,7} L^{0,5}\)
- \(F(K, L) = A \left(K^2 + L^2 \right)^{1/2}\), donde \(A\) es una constante
- \(F(K, L) = A e^{4K + 7L}\), donde \(A\) es una constante
- \(F(K, L) = 6 \log(K) + \log(L)\)
-
Richard R. Nelson y Gavin Wright. 1992. «The Rise and Fall of American Technological Leadership: The Postwar Era in Historical Perspective». Journal of Economic Literature 30(4): pp. 1931–1964. ↩
