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Unidad 9 Desarrollo desigual a escala planetaria

9.4 ¿En qué medida repercute la acumulación de capital en la tasa de crecimiento del nivel de vida?

Los ejemplos de la sección anterior revelan que el crecimiento del capital por trabajador fue importante para el aumento de la producción por trabajador y del nivel de vida a lo largo de los siglos xix y xx, pero que el progreso tecnológico también fue relevante para mitigar el problema de la caída de la productividad de los bienes de capital. Para dilucidar estos efectos con datos y tener en cuenta su contribución al aumento del PIB de la población (y, por tanto, de la mano de obra), retomamos aquí la función de producción.

Consideración de más factores de producción

Para ver un ejemplo de una función de producción con más de dos factores de producción, lee la sección 2.4 de la Economía 2.0: microeconomía.

factor de producción
Cualquier input que se introduce en un proceso de producción se denomina factor de producción. Los factores de producción pueden incluir maquinaria y equipos (normalmente denominados capital), mano de obra, tierra, energía y materias primas.

Para interpretar los datos es necesario reparar en que la mano de obra y los bienes de capital no son los únicos factores de producción que existen. Una forma de escribir una función de producción más general sería seguir considerando \(F\) como la tecnología de producción, pero de manera que incluya una lista más amplia de factores de producción, es decir, las grandes categorías de recursos que se combinan para obtener la producción. Por ejemplo:

\[Y = z F(K, N, E, R, L, …)\]

También cabe la posibilidad de considerar la mano de obra cualificada y no cualificada como factores de producción separados si creemos que contribuyen al crecimiento de manera diferente. De forma análoga, podríamos dividir el capital en varios factores de producción, como robots, computadoras y bienes de otros tipos.

donde \(E\) es la energía, \(R\) representa las materias primas, \(L\) es la tierra, etcétera. Para lograr una descripción integral podríamos ir más allá y tener en cuenta que el factor de la mano de obra agregada, \(N\), depende no solo del tamaño de la población activa, sino también de la sanidad, la educación, el esfuerzo de los empleados y las horas de trabajo.

Para ahondar en cómo se mide la calidad de la gestión y para practicar analizando algunos datos, lee Project 6 de Doing Economics.

El término \(z\) representa cualquier elemento que influya en la cantidad de producción de formas diferentes a como lo hacen los factores de producción recién enumerados; o sea, es la productividad total de los factores (PTF), la cual incluye el estado actual de la tecnología, aunque se puede interpretar de un modo más amplio. Así, la cantidad de producción que se puede lograr con una cantidad determinada de factores estará condicionada por la calidad de la gestión dentro de las empresas que conforman la economía, el nivel de competencia entre ellas y la disponibilidad de bienes públicos (como el conocimiento) e infraestructuras (por ejemplo, sistemas de transporte y comunicación).

Lo ideal sería contar con datos de todos los factores de producción para medir \(z\), lo que permitiría usar este tipo de función de producción para calcular cuánto depende la tasa de crecimiento de la producción del aumento de todos esos elementos. Sin embargo, lo habitual es que solo dispongamos de datos de los agregados de bienes de capital y mano de obra, esta última medida como el número de trabajadores. Aun así, a partir de ellos podemos obtener cierta información sobre su contribución al crecimiento de la producción empleando una función de producción «aproximada»:

\[Y = \tilde{z}\tilde{F}(K, N)\]

Esta es idéntica a la función de producción teórica con la que empezamos, pero ahora la interpretamos de un modo diferente. La función, \(\tilde{F}\) (que se lee «F tilde»), refleja cómo se combinan los bienes de capital y la mano de obra para obtener la producción. El término PTF, \(\tilde{z}\), indica la contribución de todo lo demás (el resto de los factores de producción, la calidad de la gestión, el estado de la tecnología, los ajustes en formación, etcétera).

Descomposición del crecimiento de la producción​​

Igual que en la sección anterior, damos por supuesto que la función \(\tilde{F}\) tiene rendimientos constantes a escala e inferimos que cuando \(Y = \tilde{z}\tilde{F}(K, N)\):

  • Si \(\tilde{z}\) aumenta de un año para otro, mientras el capital, \(K\), y la mano de obra, \(N\), se mantienen igual, entonces la producción aumenta en la misma proporción que \(\tilde{z}\). En otras palabras, la tasa de crecimiento de la producción, \(g^Y\), es igual a la tasa de mejora de la productividad total de los factores, \(g^z\).
  • Si \(K\) aumenta mientras permanecen constantes \(\tilde{z}\), \(N\) y otros factores de producción, es de esperar que la producción crezca, si bien a un ritmo más lento debido a la caída de la productividad del capital: \(g^Y < g^K\).

De manera análoga, si crece la mano de obra, \(N\), sin que haya ningún aumento en \(\tilde{z}\) o \(K\), es de esperar que descienda la productividad laboral y, por tanto, \(g^Y < g^N\).

En general, cuando \(\tilde{z}\), \(K\) y \(N\) varían a ritmos diferentes, podemos analizar cómo crece la producción con el paso del tiempo mediante la suma de todos los efectos:

\[\begin{align*} \text{tasa de crecimiento de la producción} &= \text{tasa de crecimiento de PTF} \\ & ~+ \text{media ponderada de la tasa de crecimiento de } K \text{ y } N \\ g^Y &= g^z + \beta g^K + (1-\beta) g^N \end{align*}\]

Aquí, \(𝛽\) (la letra griega beta minúscula) representa la incidencia del aumento de las existencias de capital sobre la producción cuando todo lo demás permanece constante. Depende de las propiedades de la función de producción, pero asumimos que tendrá un valor positivo e inferior a 1 (debido a que refleja el efecto de la caída de la productividad). La ampliación de esta sección explica con más detalle cómo inferir esa ecuación.

\(𝛽 = 0,4\) es una estimación típica a partir de estudios empíricos de las funciones de producción agregada.

Esta relación se puede utilizar para estudiar los datos de crecimiento de países diferentes. Pero sigue habiendo un problema: no existe ninguna forma práctica de medir el crecimiento de la productividad total de los factores (PTF), \(g^z\). No obstante, si suponemos un valor razonable para \(𝛽\), podemos determinar qué porción del crecimiento de la producción se debe a la tasa de crecimiento del capital y la mano de obra. La parte restante, o residuo, nos da una estimación indirecta del crecimiento de la productividad total de los factores (PTF). La figura 9.7a muestra un ejemplo, suponiendo que \(𝛽 = 0,4\).

En la penúltima columna, la tabla revela qué cantidad del crecimiento de la producción es atribuible a un aumento combinado del capital y la mano de obra, y la última columna muestra el residuo, es decir, la parte del crecimiento que no está incluida ahí. En China, por ejemplo, la producción creció una media del 5,9 % anual a lo largo de un periodo de 60 años; una parte considerable de ese crecimiento (el 4,6 %) se puede atribuir al capital y la mano de obra. Dicho de otro modo, algo menos de tres cuartas partes del crecimiento que se produjo durante ese periodo de 60 años se puede interpretar como resultante del aumento de la mano de obra y las existencias de capital. El 1,3 % restante del crecimiento de la producción debe atribuirse a otras fuentes: el progreso tecnológico junto con el aumento de otros factores, como la energía o a las aportaciones de avances en educación o infraestructuras.

País Tasas medias de crecimiento anual porcentual compuesto, 1960–2019 Aportación del capital y la mano de obra
0,4 gK + 0,6 gN		 Residuo (PTF) = gY − (0,4 gK + 0,6 gN)
PIB real, gY Capital, gK Empleo, gN
China 5,9 8,9 1,7 4,6 1,3
Corea del Sur 7,0 7,4 2,4 4,4 2,6
Estados Unidos 3,0 2,7 1,4 1,9 1,2

Figura 9.7a Contabilización del crecimiento de la producción, 1960–2019.

Penn World Tables 10.01 (1960–2019):
- número de personas en activo (en millones) [variable «emp»];
- PIB real a precios nacionales constantes de 2017 (en millones de dólares estadounidenses de 2017) [variable «rgdpna»];
- masa (o stock) de capital a precios nacionales constantes de 2017 (en millones de dólares estadounidenses de 2017) [variable «rnna»].

Corea del Sur se asemeja mucho a China, aunque tiene una tasa media de crecimiento más alta, y la productividad total de los factores (PTF) abarca una proporción mayor del mismo. Estados Unidos (con un PIB por trabajador mucho más elevado en 1960) creció más despacio y (en términos relativos) sigue teniendo un residuo más alto: menos de la mitad del crecimiento de la producción se debió al capital y la mano de obra.

La figura 9.7b muestra una forma alternativa de analizar los mismos datos: qué parte del crecimiento de la producción por trabajador se debe al aumento del capital por trabajador. En la ampliación 9.4 que consta al final de esta sección explicamos que la ecuación anterior para contabilizar el crecimiento se puede reformular para afirmar que la tasa de crecimiento de la producción per cápita es igual al crecimiento de la productividad total de los factores \(g^z\) más \(𝛽\) por la tasa de incremento del capital per cápita. La figura 9.7b muestra estas tasas de crecimiento y el residuo cuando \(𝛽\) vale 0,4.

País Tasas medias de crecimiento anual porcentual compuesto, 1960–2019 Aportación del capital por trabajador (0,4 × su tasa de crecimiento) Residuo (PTF) = gY − (0,4 gK + 0,6 gN)
PIB por trabajador Capital por trabajador
China 4,2 7,1 2,8 1,3
Corea del Sur 4,5 5,0 2,0 2,5
Estados Unidos 1,6 1,3 0,5 1,1

Figura 9.7b Contabilización del crecimiento de la producción por trabajador, 1960–2019.

Estas estimaciones del residuo son casi iguales, aunque no idénticas, a las de la tabla anterior (difieren porque estamos trabajando con promedios, y los incrementos del capital no siempre se producen al mismo ritmo exacto que los aumentos de la mano de obra). La tabla de la producción por trabajador refleja las sendas de crecimiento ilustradas en la figura 9.8.

Este gráfico muestra la relación entre el capital por persona y la producción por persona en Corea del Sur y China desde comienzos de la década de 1950 hasta 2019. El eje horizontal muestra el capital por persona PPA en dólares estadounidenses de 2017, con un intervalo que va de 0 a 70 000. El eje vertical muestra la producción por persona PPA en dólares estadounidenses de 2017, con un intervalo que va de 0 a 20 000. La trayectoria de cada país se muestra como una línea compuesta de puntos de datos anuales. La curva de Corea del Sur comienza en 1953 y crece de forma constante hasta superar el valor de 19 000 en la producción por persona en 1993, con un capital por persona algo inferior a 65 000. La trayectoria de China empieza en 1952 y se mantiene bastante plana hasta finales de la década de 1970, cuando comenzaron las reformas económicas. La curva se vuelve más empinada tras el ingreso de China en la OMC en 2001. En 2019, China casi alcanza los 14 000 dólares de producción por persona y supera los 60 000 dólares de capital por persona. Se han indicado algunos años, como 1952, 1978, 1990, 2001 y 2019 en el caso de China, y 1953, 1970, 1990 y 1993 en el caso de Corea del Sur.
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Figura 9.8 Crecimiento a largo plazo de la producción y el capital en China y Corea del Sur.

Robert C. Feenstra, Robert Inklaar y Marcel P. Timmer. 2015. «The Next Generation of the Penn World Table». American Economic Review 105(10): pp. 3150–3182. Nota: Cada punto representa un dato para un intervalo temporal de un año.

La figura 9.8 muestra datos de China y de Corea del Sur en el mismo formato que la figura 9.6b. Se centra en el periodo transcurrido desde la década de 1950 para dos países que experimentaron un crecimiento veloz de «palo de hockey» durante esos años. Entre 1953 (el fin de la guerra de Corea) y 1970 cayeron los bienes de capital por persona en Corea del Sur y, en cambio, subió la producción per cápita, lo que evidencia la importancia de la introducción de tecnologías nuevas, las mejoras en educación y los factores que contribuyen al aumento de la productividad total de los factores.

La serie de datos de China llega hasta 2019, año en que su ratio entre capital y mano de obra era tan alta como lo había sido en Corea del Sur un cuarto de siglo antes, entre 1992 y 1993. Sin embargo, la productividad de China solo llegaba a las tres cuartas partes del nivel que había alcanzado en Corea. El crecimiento en China tiene mucha más intensidad en capital que en Corea del Sur. De acuerdo con el análisis de contabilización del crecimiento durante el periodo entre 1960 y 2019, la aportación del «residuo» al crecimiento en Corea del Sur es mayor que en China. Una interpretación posible es que China ha tenido menos éxito que Corea del Sur al intentar acceder a la mejor tecnología y los mejores conocimientos organizativos con un nivel determinado de intensidad en capital.

Ejercicio 9.4 Cálculos del crecimiento de la producción

Descarga los datos empleados para confeccionar las figuras 9.7a y 9.7b de la página web Penn World Table (selecciona el formato «Excel»).

Elige tres países que no estén en la figura 9.7a y que tengan datos del PIB (la variable «rgdpna») para el intervalo de 1960 a 2019. Con los países elegidos:

  1. Usa la fórmula de la tasa de crecimiento anual compuesto (TCAC, en la sección 9.2) para calcular dicha tasa para el PIB real (la variable «rgdpna»), el capital («rnna») y la mano de obra («emp») entre 1960 y 2019.
  2. Utiliza las tasas de crecimiento calculadas en la pregunta 1 para hallar por separado la aportación del capital (0,4 \(\times\) la tasa de crecimiento del capital) y de la mano de obra (0,6 \(\times\) la tasa de crecimiento de la mano de obra), así como la suma de ambas (como en la figura 9.7a). Calcula también las aportaciones por separado del capital y la mano de obra para los países que constan en la figura 9.7a.
  3. Emplea tus respuestas de la pregunta 2 para hallar el residuo (el crecimiento de la productividad total de los factores o PTF). Para los países que has elegido y los de la figura 9.7a, comenta similitudes y diferencias en cuanto al residuo, así como las contribuciones del capital y la mano de obra al crecimiento de la producción.

Un enigma: ¿Por qué no fluye la inversión hacia los países pobres?

El análisis expuesto en esta sección plantea un gran enigma que analizamos en las próximas secciones: ¿por qué algunos países no logran alcanzar a aquellos que son líderes en tecnología? De acuerdo con las cifras de la función de producción del modelo, cuando el capital por trabajador es bajo, la productividad del capital es alta. El producto medio del capital es aún mayor cuando se utiliza una tecnología nueva (la función de producción rota hacia arriba, como en la figura 9.5).

En un mundo en el que los dueños de las empresas de los países ricos pueden elegir dónde invertir sus beneficios y, además, conocen la tecnología más novedosa y saben cómo organizar los procesos de producción, tendría sentido que invirtieran sus beneficios en países pobres, donde la productividad del capital es mayor. La función de producción indica que, con una inversión en capital dada, el aumento de la producción por trabajador y, por tanto, de los beneficios sería más elevada.

Pero lo que observamos en el mundo es que, en lugar de que el capital fluya sobre todo hacia los países con los ingresos más bajos, la inversión de las empresas en maquinaria y equipos en países extranjeros (lo que se conoce como inversión extranjera directa) se dirige principalmente hacia países que tienen un nivel similar (alto) de PIB per cápita y salarios.

La figura 9.9 revela que más del 50 % de la inversión extranjera directa de Estados Unidos durante la primera década de este siglo fue a parar a países con salarios más altos en el sector manufacturero que en Estados Unidos. Antes de retomar el enigma sobre por qué la inversión no fluye de los países ricos a los pobres, lo que conllevaría que (todos) los países pobres alcanzaran su mismo nivel de desarrollo, es necesario explicar algo más sobre el ahorro y la inversión en una economía cerrada, donde los bienes, servicios y el capital no traspasan fronteras.

Este gráfico de barras horizontales muestra la distribución total de la inversión extranjera directa de Estados Unidos entre 2001 y 2012, repartida entre los países que en el sector manufacturero tienen salarios más altos o más bajos que Estados Unidos. El eje horizontal representa el porcentaje total de inversión extranjera directa de Estados Unidos con un intervalo que va del 0 % al 100 %. La barra está dividida en dos partes de color más intenso: la sección izquierda (53,7 %) representa los países con salarios en el sector manufacturero más altos que en Estados Unidos; y la sección derecha (46,3 %) representa los países con salarios más bajos. Dentro de cada sección se indican países y áreas geográficas mediante segmentos verticales, y la anchura de cada segmento representa el porcentaje de inversión que cada país recibe de Estados Unidos. Por ejemplo, Reino Unido recibe el 11,5 %; Países Bajos, el 10,7 %; Latinoamérica, el 12,0 %; y el resto de Europa, el 13,8 %.
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Figura 9.9 Inversión extranjera directa: inversión de empresas estadounidenses en otros países teniendo en cuenta si los salarios son más bajos o más altos que en EE. UU. (2001–2012).

UNCTAD Bilateral FDI Statistics, 2014.

Porcentaje de inversión dependiendo de los salarios en el sector manufacturero: Esta es una versión simplificada del mismo gráfico de barras horizontales de la figura 9.9 donde solo se muestra la división entre los países que en el sector manufacturero tienen salarios más altos que Estados Unidos (el 53,7 % del total) y los países que tienen salarios más bajos (el 46,3 %). Cada sección se representa mediante bloques de color uniforme sin etiquetas de países. La barra está dividida en dos grandes secciones de color más intenso a lo largo del eje que va del 0 % al 100 %, de manera que la sección de la izquierda representa los países con salarios más altos, y la sección derecha muestra los países con salarios más bajos. La anchura de cada segmento refleja la parte que le corresponde del total de la inversión extranjera directa de Estados Unidos.
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Porcentaje de inversión dependiendo de los salarios en el sector manufacturero

Este gráfico muestra el porcentaje de inversión de empresas estadounidenses en otros países separado entre los países con salarios más altos y más bajos que en Estados Unidos en el sector manufacturero. El 53,7 % de la inversión estadounidense va a parar a países con salarios mayores en el sector manufacturero, y el 46,3 % de la inversión de Estados Unidos se destina a países con salarios menores en el sector manufacturero.

Países con salarios más altos en el sector manufacturero: Esta barra horizontal del gráfico se centra en la sección izquierda de la figura 9.9 para mostrar los países a los que fue a parar la inversión extranjera directa de Estados Unidos y cuyos salarios en el sector manufacturero son más altos que allí. El eje horizontal muestra el porcentaje total de la inversión extranjera directa de Estados Unidos con un intervalo que va del 0 % al 100 %, aunque esta figura solo muestra el 53,7 % de esa inversión, que fue a parar a países con salarios altos. Cada segmento individual muestra el porcentaje de inversión en países como Reino Unido (11,5 %), Países Bajos (10,7 %), Luxemburgo (8,7 %), Canadá (7,6 %), Suiza (4,0 %), Australia (3,8 %) y otros. El porcentaje más bajo dentro de este grupo le correspondió a Austria, con un 0,2 %. Cada segmento vertical es proporcional al porcentaje de inversión que recibió el país.
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Países con salarios más altos en el sector manufacturero

Entre los países con salarios más altos en el sector manufacturero, el mayor porcentaje de inversión va a parar a Reino Unido (11,5 %), y el menor, a Austria (0,2 %).

Países con salarios más bajos en el sector manufacturero: Este gráfico de barras horizontales muestra las dos categorías de países: los que tienen salarios más altos y más bajos que Estados Unidos en el sector manufacturero, pero se centra en los que tienen salarios más bajos y recibieron el 46,3 % de toda la inversión extranjera directa de Estados Unidos. Dentro de este grupo, América Latina recibió el 12,0 %; el resto de Europa, el 13,8 %; el resto de Asia, el 10,4 %; y también se indican otros países individuales, como China (1,0 %), India (0,9 %) y África (1,7 %). Los segmentos de la barra son proporcionales al porcentaje de inversión. Esta versión incluye todos los datos, pero pone el énfasis en los países receptores con sueldos bajos, a diferencia de la figura 9.9b.
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Países con salarios más bajos en el sector manufacturero

Entre los países con salarios más bajos en el sector manufacturero, el mayor porcentaje de inversión tiene lugar en el resto de Europa (13,8 %), seguida de América Latina (12,0 %). El menor porcentaje de inversión se sitúa en India (0,9 %).

Ampliación 9.4 Contabilización del crecimiento

En esta ampliación usamos el análisis matemático para examinar el crecimiento continuado en el tiempo y mostrar cómo deducir las ecuaciones para contabilizar el crecimiento de la producción y de la producción per cápita a partir de una función de producción \(Y = z F(K, N)\) cuando el capital y la mano de obra tienen rendimientos constantes a escala. Asimismo demostramos que con rendimientos constantes, las ponderaciones de la contabilidad del capital y la mano de obra suman 1.

Esta es la tasa de crecimiento proporcional; el resultado podría ser 0,03, por ejemplo. Al multiplicar por 100 se obtiene la tasa de crecimiento en forma de porcentaje \((0,03 \times 100 = 3 \ \% )\).

Recuerda de la sección 9.2 que la tasa de crecimiento de la producción a lo largo de un periodo de tiempo se define como la variación de la producción durante ese periodo expresada como una proporción (o porcentaje) de la producción al comienzo del periodo. Si se usa \(\Delta\) para indicar el cambio, la tasa de crecimiento se puede escribir como \(g=\frac {1}{Y}\Delta Y\).

En esta ampliación trabajaremos en tiempo continuo, de manera que podamos usar el análisis matemático para examinar tasas de crecimiento. La tasa de crecimiento (proporcional) de la producción (\(g^Y\)) se define como:

\[g^Y = \frac{1}{Y}\frac{dY}{dt}\]

que viene a ser igual a la definición anterior cuando el periodo de tiempo es muy breve. El empleo del análisis matemático refleja el cambio continuo que experimenta la producción a lo largo del tiempo (en lugar de saltar de un año al siguiente) como una proporción de la producción actual.

La ecuación para contabilizar el crecimiento

Si la función de producción es \(Y = z F(K, N)\), y tanto \(z\) como \(K\) como \(N\) cambian con el tiempo, podemos hallar cómo cambia \(Y\) derivando la función de producción respecto del tiempo, \(t\):

\[\frac{dY}{dt} = \frac{dz}{dt}F(K, N) + \frac{\partial Y}{\partial K}\frac{dK}{dt} + \frac{\partial Y}{\partial N}\frac{dN}{dt}\]

Puesto que \(\partial Y/\partial K\) y \(\partial Y/\partial N\) son los productos marginales del capital y de la mano de obra, podemos reescribir esta expresión así:

\[\frac{dY}{dt} = \frac{dz}{dt}F(K, N) + \text{PMgK}\frac{dK}{dt} + \text{PMgL}\frac{dN}{dt}\]

La tasa de crecimiento proporcional de la producción es \(g^Y=\frac{1}{Y}\frac{dY}{dt}\), y las tasas de crecimiento de \(K\), \(N\) y \(z\) se pueden escribir de manera análoga. Por tanto, podemos dividir ambos miembros de la ecuación anterior entre \(Y\) y aprovechar el hecho de que \(\frac{F(K, \ N)}{Y} = \frac{1}{z}\) para obtener:

\[\begin{align*} g^Y &= \frac{1}{z}\frac{dz}{dt} + \frac{\text{PMgK}}{Y}\frac{dK}{dt} + \frac{\text{PMgL}}{Y}\frac{dN}{dt} \\ &= \frac{1}{z}\frac{dz}{dt} + \left(\frac{\text{PMgK} \times K}{Y}\right) \frac{1}{K}\frac{dK}{dt} + \left(\frac{\text{PMgL} \times N}{Y}\right) \frac{1}{N}\frac{dN}{dt} \\ \Rightarrow g^Y &= g^z + \left(\frac{\text{PMgK} \times K}{Y}\right)g^K + \left(\frac{\text{PMgL} \times N}{Y}\right) g^N \end{align*}\]

Esta ecuación revela que la tasa de crecimiento de la producción es una suma ponderada de la tasa de crecimiento de la tecnología, del capital y de la mano de obra, con independencia de la forma de la función \(F(K, N)\). Sin embargo, las ponderaciones (o pesos) de \(g^K\) y \(g^N\) (los términos entre paréntesis) variarán en general con los niveles de \(K\) y de \(N\).

Si la función de producción tiene rendimientos constantes a escala, podemos demostrar en términos matemáticos que esas ponderaciones siempre suman 1 (un resultado que se demuestra al final de esta ampliación). De modo que si escribimos \(\beta\) para el peso de \(g^K\), entonces el de \(g^N\) es \((1–\beta)\):

\[g^Y = g^z + \beta g^K + (1-\beta)g^N\]

Esta es la ecuación para contabilizar el crecimiento en tiempo continuo, pero también es aproximadamente cierta en tiempo discreto, cuando se trata de periodos temporales breves. En la parte principal de esta sección hemos usado la versión en tiempo discreto para explicar los datos de la figura 9.7a.

Ejercicio A9.2 Contabilizar el crecimiento con una función de producción Cobb–Douglas

Supón que la función de producción es de tipo Cobb–Douglas, con rendimientos constantes a escala:

\[Y= zF(K,N)= zK^{b}N^{1-b}\]

Calcula el producto marginal del capital y de la mano de obra y, después, demuestra que, en esta función de producción, las ponderaciones de \(g^K\) y \(g^N\) en la ecuación para contabilizar el crecimiento son constantes y suman 1.

Contabilizar el crecimiento por trabajador

La producción por trabajador es \(y = Y/N\), de modo que podemos aprovechar que la tasa de crecimiento proporcional de la producción se puede escribir como \(g^Y=\frac{1}{Y}\frac{dY}{dt}\) para calcular la tasa de crecimiento por trabajador de la siguiente manera:

\[\begin{align*} g^{Y/N} &= \frac{1}{Y/N} \frac{d}{dt} \left( \frac{Y}{N} \right) = \frac{N}{Y} \left( \frac{N \frac{dY}{dt} - Y \frac{dN}{dt}}{N^2} \right) \\ &= \frac{1}{Y} \frac{dY}{dt} - \frac{1}{N} \frac{dN}{dt} = g^Y - g^N \\ \Rightarrow g^y &= g^Y - g^N \end{align*}\]

Por tanto, la tasa de crecimiento de la producción por trabajador es igual a la diferencia entre la tasa de crecimiento de la producción y la del empleo. La producción por trabajador solo aumenta si la producción crece más deprisa que el empleo. De la misma manera, puesto que \(k = K/N\), la tasa de crecimiento del capital por trabajador es \(g^k = g^K - g^N\).

Consideremos ahora la ecuación para contabilizar el crecimiento de la producción \(Y\):

\[g^Y = g^z + \beta g^K + (1-\beta)g^N\]

Podemos reescribirla para expresarla en términos de cuánto crece por trabajador restando \(g^N\) a ambos miembros de la ecuación:

\[\begin{align*} g^Y - g^N &= g^z + \beta g^K + (1-\beta-1)g^N \\ &= g^z + \beta (g^K - g^N) \\ \Rightarrow g^y &= g^z + \beta g^k \end{align*}\]

Esta es la ecuación para contabilizar el crecimiento por trabajador, la misma que aplicamos con los datos de la figura 9.7b.

Demostración de que las ponderaciones para contabilizar el crecimiento suman uno cuando los rendimientos son constantes

Si no tienes mucha práctica derivando funciones y ecuaciones con varias variables, es mejor que te saltes esta subsección.

Más arriba hemos demostrado que, en general, cuando \(Y = z F(K, N)\):

\[g^Y = g^z + \left(\frac{\text{PMgK} \times K}{Y}\right)g^K + \left(\frac{\text{PMgL} \times N}{Y}\right)g^N\]

Ahora empleamos un truco matemático para demostrar que las ponderaciones en las tasas de crecimiento de \(K\) y \(N\) suman uno cuando la función de producción tiene rendimientos constantes a escala en \(K\) y \(N\). Recuerda en primer lugar que la definición matemática de los rendimientos constantes a escala es que al multiplicar los factores de producción por \(\lambda\) se obtiene el efecto de que la producción se multiplica por \(\lambda\):

\[\lambda Y=zF(\lambda K, \lambda N)\]

Dado que esta ecuación se da con todos los valores (positivos) de \(\lambda\), podemos derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a \(\lambda\) (usando la regla de la cadena para el segundo miembro) para obtener:

\[Y=z\left(F_1(\lambda K, \lambda N)\times K+ F_2(\lambda K, \lambda N)\frac{\text{PMgK}\times N}{Y}\right)\]

donde \(F_1\) y \(F_2\) son las derivadas parciales de \(F(K,N)\) con respecto a sus dos variables. Esta ecuación también es válida para todos los valores de \(\lambda\), en particular cuando \(\lambda=1\). Al sustituir \(\lambda=1\), obtenemos:

\[Y=z\left(F_1(K, N)\times K+N F_2(K, N)\times N\right)\]

Este resultado es un caso particular del teorema de Euler de las funciones homogéneas. La versión más general del teorema se demuestra exactamente de la misma manera.

Ahora bien, puesto que \(zF_1(K,N)\) y \(zF_2(K,N)\) son productos marginales del capital y la mano de obra, sabemos que:

\[\begin{align*} Y &= K\text{PMgK}+N \text{PMgL} \\ \Rightarrow 1 &= \frac{\text{PMgK}\times K}{Y}+\frac{\text{PMgL}\times N}{Y} \end{align*}\]

Retomando la ecuación para contabilizar el crecimiento, esta expresión nos dice que las ponderaciones suman uno.