Unidad 6 El sector financiero: deuda, dinero y mercados financieros
6.9 Introducción de los mercados financieros en el modelo
El endeudamiento y el ahorro (préstamo) permiten que los hogares consuman cuando tienen pocos o ningunos ingresos, algo que beneficia a todo el mundo posibilitando suavizar el consumo. El endeudamiento también permite que la población invierta y genere ingresos futuros.
Hemos aprendido que el sistema bancario ofrece una vía para el préstamo y el endeudamiento y proporciona dinero que sirve como medio de intercambio y como unidad de cuenta. Pero el valor de la moneda se deteriora con la inflación, y los bancos comerciales pagan poco o ningún interés por los depósitos. Las personas que quieren ahorrar para su jubilación no suelen conservar su capital en forma de dinero. En general, el dinero representa una fracción muy reducida de los activos de un hogar, aunque esto difiere entre los hogares ricos y los pobres, tal como revelarán los datos de la sección 6.11.
Para entender los procedimientos que se emplean para pedir préstamos, ahorrar e invertir en la economía en su conjunto es necesario ir más allá del sistema bancario y abarcar la inmensa variedad de activos alternativos, reales y financieros, así como los mercados en los que se comercia con estos activos.
La gente acumula riqueza para ahorrar o invertir para el futuro, y puede guardarla en forma de activos reales o financieros. Los activos reales que constituyen la riqueza agregada de una economía incluyen gran variedad de activos productivos, como bienes de capital, terrenos e inmuebles. Las empresas poseen muchos de estos activos, pero, puesto que las empresas pertenecen a los hogares, estos últimos en conjunto son los propietarios últimos de la riqueza agregada. También hay muchos tipos de activos financieros que incluyen los bonos y acciones, así como depósitos bancarios.
El sector financiero, incluyendo los mercados financieros, es importante para canalizar el ahorro de los hogares hacia la inversión por parte de las empresas en activos productivos que incrementarán la riqueza agregada dentro de la economía. Asimismo, permite que los hogares obtengan préstamos a largo plazo para comprar un activo real, una vivienda, que es el activo más importante para muchos hogares, así como capital productivo e inmuebles para pequeños negocios.
Mercados financieros y activos financieros
En los mercados financieros, ahorradores y prestatarios compran y venden activos financieros llamados valores negociables; en particular, bonos y acciones (introducidos en la sección 6.3). Cuando las empresas quieren conseguir fondos para invertir en activos productivos, pueden vender acciones propiedad de la empresa, pueden reinvertir los beneficios ya obtenidos o pueden pedir prestado. Las empresas más grandes piden préstamos mediante la emisión de bonos (igual que hace el Estado).
La emisión (es decir, la venta) de un bono es una manera de pedir prestado. Pero, a diferencia de un préstamo bancario, un bono es una forma de deuda con la que se puede comerciar. El prestamista que compra el bono en un primer momento puede verdérselo a otra persona. Tanto los bonos del Estado como los bonos corporativos (es decir, los bonos que emiten las empresas) se compran y venden en el mercado de valores de renta fija. La empresa paga los cupones a quien tenga la propiedad del bono en cada momento dado hasta que llega su vencimiento. Cuando las empresas financian sus actividades a través de préstamos (ya sean préstamos bancarios o bonos), se habla de financiación por deuda.
De igual manera, las acciones (también conocidas como participaciones o valores) se negocian en el mercado de valores. El término participaciones alude simplemente a una parte del patrimonio neto, y la palabra valores es sinónima de acciones.
Cuando una empresa vende acciones por primera vez, se habla de oferta pública inicial (u OPI). Como los accionistas son copropietarios de la empresa, legalmente son dueños de los beneficios que esta obtenga. Los accionistas no tienen derecho a recibir pagos regulares, pero la empresa puede decidir abonarles parte de los beneficios conseguidos en forma de dividendos. Los beneficios no distribuidos (o ganancias retenidas) se reinvierten en las actividades que estén en marcha. Si la reinversión resulta rentable, el patrimonio neto (capital social) de la empresa aumenta, y cada acción incrementa su valor.
Las ganancias retenidas son la principal fuente de financiación de los proyectos de inversión en empresas muy consolidadas. Las pequeñas y medianas empresas recurren a préstamos bancarios, y las startup (o empresas emergentes) suelen financiarse a través de inversores de riesgo. Si una startup tiene éxito, sale a bolsa con una OPI, y los inversores iniciales que la financiaron con capital riesgo pueden recibir un pago elevado a cambio de ceder su parte de la propiedad. Cuando las empresas financian sus actividades a través de la venta de acciones nuevas (con OPI o financiación con capital riesgo) o a través de ganancias retenidas, se habla de financiación con capital social.
Aunque los mercados de bonos y de valores permiten que las empresas obtengan fondos a través de la emisión de nuevos bonos y acciones, la mayor parte de la actividad bursátil se efectúa con bonos y acciones ya existentes. Como resultado, los activos financieros con los que se comercia en los mercados financieros cambian de precio casi de minuto en minuto. Como veremos, esto depara a veces una volatilidad considerable en las tasas de rendimiento de las inversiones financieras.
La importancia del sector financiero
La figura 6.13 ayuda a hacerse una idea del papel que desempeña el sector financiero dentro de la economía en términos generales. Muestra que tanto los bancos como los mercados financieros permiten que los hogares canalicen sus ahorros hacia diferentes formas de capital productivo.
Tasas de rendimiento: renta, ganancias de capital e inflación
Para cualquier inversor, la elección entre diferentes activos (ya sean financieros o reales) dependerá de lo que espere obtener a cambio en el futuro: en otras palabras, de la tasa de rendimiento. Este concepto se aplica a cualquier forma de activo, ya sea real o financiero.
En el caso de un depósito bancario garantizado, la tasa de rendimiento es simplemente igual al tipo de interés, pero esta equivalencia entre tipos de interés y tasas de rendimiento es, en realidad, la excepción más que la regla.
Por ejemplo, en la sección 6.4 definimos la tasa de rendimiento como la cantidad real que devuelve el prestatario comparada con el préstamo inicial:
\[\begin{align*}
&\text{tasa de rendimiento de préstamos } = \\
&\frac{\text{cantidad total que devuelve realmente el prestatario – préstamo}}{\text{préstamo}}
\end{align*}\]
Por tanto, la tasa de rendimiento es igual al tipo de interés si el préstamo se devuelve según lo acordado; pero si hay un riesgo de impago, la tasa es más baja.
Esta fórmula para la tasa de rendimiento de un préstamo se puede reordenar de la siguiente manera:
Se trata de la misma definición de la sección 6.4 modificada sumando 1 a ambos lados de la ecuación.
\[1 + \text{tasa de rendimiento}=\frac{\text{cantidad total que devuelve el prestatario}}{\text{préstamo}}\]
Esta expresión es, en realidad, un caso particular de una fórmula general sencilla de recordar para la tasa de rendimiento de cualquier activo o inversión:
Con algunas operaciones matemáticas comprobarás que esta fórmula es igual a la definición que dimos en la sección 6.4. Si separas la fracción del segundo miembro en los dos términos que la conforman, verás que el segundo término es igual a −(préstamo/préstamo) = −1. Si entonces sumas 1 a cada miembro de la ecuación, obtendrás la nueva fórmula.
\[1 + \text{tasa de rendimiento}=\frac{\text{lo que obtienes}}{\text{lo que inviertes}}\]
Por ejemplo, supongamos que haces un depósito de 100 dólares en el banco durante un año, y que el banco te paga intereses por esa cuenta bancaria. Si al final del año el saldo en esa cuenta es de 110 dólares, la fracción es 110/100 = 1,10, de modo que la tasa de rendimiento es del 10 %. Lo mismo sucede si compras acciones de una empresa por valor de 1000 dólares y no recibes ningún dividendo por ellas, pero las vendes un año después por 1100 dólares. Y si Julia planta 30 unidades de grano y cosecha 45 unidades, su tasa de rendimiento es del 50 %.
Si inviertes en un activo que se comprará y venderá en mercados (ya sean financieros o inmobiliarios), un factor crucial para la tasa de rendimiento será la variación del precio de mercado del activo.
En la ampliación 6.9 mostramos que «lo que obtienes» se puede dividir en dos partes: el valor del activo cuando lo vendes y cualquier ingreso que recibas mientras sea de tu propiedad: por ejemplo, la liquidación de intereses, los pagos de cupones de un bono o los dividendos de una acción.
Esto nos permite descomponer la tasa de rendimiento porcentual en dos términos:
\[\text{tasa de rendimiento } (\%) = \text{ganancia o pérdida de capital } (\%) + \text{ingreso } (\%)\]
- ganancia de capital
- Cuando el valor de mercado de un activo aumenta, su propietario obtiene una ganancia de capital igual a la diferencia entre el precio de mercado actual y el anterior.
La pérdida o ganancia de capital es el cambio de valor (la diferencia entre el precio futuro y el actual) y el ingreso es la renta anual, ambos expresados como porcentaje de la inversión inicial («lo que inviertes» = el precio actual).
Ten en cuenta que cualquier activo cuyo valor futuro dependa de los precios de mercado futuros es una inversión de riesgo, incluso cuando el componente de renta está garantizado, puesto que los precios de mercado son inciertos. Como veremos, tanto con activos financieros (por ejemplo, bonos y acciones) como con activos reales (viviendas, por ejemplo), la volatilidad de las fluctuaciones de precio (y, por tanto, de la ganancia o la pérdida de capital) es crucial para el aumento del riesgo de las inversiones.
- tipo de interés real
- Tipo de interés que se ha corregido con la inflación esperada, es decir, el tipo de interés nominal menos la tasa de inflación prevista. Representa cuántos bienes futuros se obtienen por los bienes no consumidos en el presente. Véase también: tipo de interés nominal, tipo de interés.
La ampliación de esta sección revela cómo se deriva esta fórmula. Es análoga a la que se emplea para calcular el tipo de interés real en la ecuación de Fisher (lee la sección 5.2) con la salvedad de que la ecuación de Fisher suele emplear la tasa de inflación esperada en lugar de la real.
Fíjate también en que en el caso de los activos financieros, donde «lo que obtienes» y «lo que inviertes» se mide en términos monetarios, la relación entre ambos nos da la tasa de rendimiento nominal. Para corregir el efecto de la inflación, calculamos la tasa de rendimiento real usando una simple aproximación.
\[\text{tasa de rendimiento real} \approx \text{tasa de rendimiento nominal} − \text{tasa de inflación}\]
Activos de riesgo, tasas de rendimiento esperadas y primas de riesgo
En la sección anterior mostramos que, con muchos activos, «lo que obtienes» es incierto. En estos casos, se puede calcular la tasa de rendimiento esperada, es decir, lo que esperas obtener como promedio de todos los resultados posibles.
- prima de riesgo
- Los activos de riesgo tienen que ofrecer una tasa más alta de rentabilidad que los activos sin riesgo para compensar al comprador. La prima de riesgo es la diferencia entre el rendimiento del activo de riesgo y del activo sin riesgo.
Pero la decisión de cada inversor individual también suele depender del nivel de riesgo implicado: la variabilidad de los posibles resultados. Algunos activos no implican ningún riesgo (como una cuenta de ahorro que ofrece un tipo de interés garantizado). La inversión directa en activos productivos suele conllevar más riesgos (como, por ejemplo, comprar una furgoneta para poner en marcha un negocio de mensajería), y lo mismo ocurre con las acciones y muchos otros activos financieros y reales. Si dos activos tienen el mismo rendimiento esperado, lo más probable es que elijas el menos arriesgado. Así que, en general, los inversores elegirán activos de riesgo únicamente si esperan obtener una tasa de rendimiento más alta que con otras alternativas más seguras. La diferencia entre la tasa de rendimiento esperada de los activos de riesgo y de los activos seguros se llama prima de riesgo.
Ampliación 6.9 Descomposición de las tasas de rendimiento de activos
Para analizar la tasa de rendimiento de una inversión suele ser de utilidad descomponerla en cada uno de los efectos derivados de distintos factores. En esta ampliación ilustramos dos descomposiciones. En primer lugar, una tasa de rendimiento expresada en términos nominales se puede descomponer en la tasa real y en la tasa de inflación; además, mostramos que esta es la base de la ecuación de Fisher que usamos en la unidad 5. En segundo lugar, la tasa de rendimiento de un activo negociable se puede descomponer en una «ganancia/pérdida de capital» derivada de la variación del precio de mercado y un componente de renta.
En el texto principal de esta sección introdujimos la definición general de la tasa de rendimiento, que viene dada por
\[1 + \text{tasa de rendimiento}=\frac{\text{lo que obtienes}}{\text{lo que inviertes}}\]
La tasa de rendimiento se calcula a lo largo de cualquier intervalo temporal, pero lo habitual es comparar la tasa de rendimiento anual que tienen diferentes activos, por lo que, en estos casos, el periodo es de un año. Pero, con independencia de la duración del periodo, la fórmula siempre se aplica de la misma manera: el denominador es la cantidad que inviertes ahora, y el numerador es la cantidad que obtienes al final del periodo.
Si inviertes parte de tu riqueza en un activo cualquiera, la tasa de rendimiento es la tasa proporcional de cambio de esa porción de tu riqueza al final de un periodo específico, es decir, el cambio como proporción de la inversión inicial. Un rasgo clave de los rendimientos en general es que no hay ninguna garantía de que el rendimiento vaya ser positivo: tal como te recordará la letra pequeña cuando compres un activo, el valor de tu riqueza puede subir o bajar.
Para entender por qué, empezaremos definiendo los cambios porcentuales. Por ejemplo, el cambio porcentual de los niveles de precios (la inflación) viene dado por \(\pi = \frac{\Delta P}{P_0}\), donde \(\Delta P = P_1 – P_0\). Introduce esta definición en el segundo miembro de la ecuación siguiente para obtener la expresión del primer miembro: \(\frac{P_1}{P_0} = \frac{P_0 + \Delta P}{P_0} = \frac{P_0}{P_0} + \frac{\Delta P}{P_0} = 1 + \pi\).
Podemos usar expresiones similares para otras tasas de cambio proporcionales en economía. Por ejemplo, la tasa de crecimiento, \(g\), del PIB y la tasa de inflación, \(\pi\) (la tasa de aumento del nivel general de precios, \(P\), por lo común el IPC) concuerdan con:
\[1 + g = \frac{Y_1}{Y_0} \text{ y } 1 + \pi = \frac{P_1}{P_0}\]
Fíjate en que, aunque solemos considerar que \(g\) y \(\pi\) son tasas de crecimiento y, por tanto, valores positivos, ambos pueden ser también negativos: \(g\) puede ser negativo si la producción cae con una recesión (si \(Y_1\) es menor que \(Y_0\)); y \(\pi\) puede ser negativo si se da una caída de los precios (deflación).
Tasa de rendimiento nominal y real
Por lo común, los rendimientos se miden en términos nominales: tanto el numerador como el denominador de la fracción se miden en unidades monetarias. Pero lo que importa al inversor es el valor real de lo que obtiene en términos de poder adquisitivo y, por tanto, el rendimiento real.
En las siguientes operaciones matemáticas, usaremos la notación RoRn para referirnos al rendimiento nominal y RoRr para indicar el rendimiento real.
Si el valor de lo invertido en el activo aumenta de \(X_0\) (lo que inviertes) a \(X_1\) (lo que obtienes) en términos nominales, la tasa de rendimiento nominal RoRn viene dada por
\[1+ \text{RoR}_\text{n} = \frac{X_1}{X_0}\]
Pero, si la inflación es positiva y el nivel de precios crece con una tasa \(\pi\) desde \(P_0\) hasta \(P_1\) durante el mismo periodo, entonces el valor real de tu riqueza (en términos de poder adquisitivo) cambia de \(X_0/P_0\) a \(X_1/P_1\). La tasa de rendimiento real de tu inversión, RoRr, es inferior a la tasa de rendimiento nominal, RoRn.
Para calcular RoRr, es necesario hallar la tasa de aumento de \(X/P\). Si \(X\) crece más deprisa que \(P\), \(X/P\) aumentará, de modo que RoRr tendrá un valor positivo. Pero si \(P\) aumenta más deprisa que \(X\), RoRr tendrá un valor negativo.
Por tanto, la tasa de rendimiento real, RoRr, cumple la expresión:
\[1 + \text{RoR}_\text{r} = \frac{X_1 / P_1}{X_0 / P_0} = \frac{X_1 / X_0}{P_1 / P_0}\]
Para pasar de la segunda expresión a la tercera usamos dos reglas fundamentales para operar con fracciones: 1) dividir entre una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa, así que \(\frac{X_1 / P_1}{X_0 / P_0} = \frac{X_1}{P_1} \times \frac{P_0}{X_0}\), y 2) al multiplicar fracciones, podemos cambiar el orden de los factores tanto en el numerador como en el denominador de cada fracción, de manera que \(\frac{X_1}{P_1} \times \frac{P_0}{X_0} = \frac{X_1}{X_0} \times \frac{P_0}{P_1}\). Por último, si volvemos a aplicar la regla 1) a la inversa, obtenemos \(\frac{X_1}{X_0} \times \frac{P_0}{P_1} = \frac{X_1 / X_0}{P_1 / P_0}\), que es la tercera expresión.
Al aplicar las definiciones anteriores, el numerador de la fracción en la última expresión del segundo miembro es igual a 1 + RoRn, el rendimiento nominal, y el denominador es igual a \(1+ \pi\). Por tanto:
\[1 + \text{RoR}_\text{r} = \frac{1 + \text{RoR}_\text{n}}{1 + \pi}\]
o, lo que es equivalente, si restamos 1 a cada miembro:
\[\text{RoR}_\text{r} = \frac{1 + \text{RoR}_\text{n}}{1 + \pi} - 1\]
Esta expresión es exacta, de modo que si calculas rendimientos reales con datos reales e introduces una fórmula en una hoja de cálculo u otro programa informático, esta es la expresión que debes emplear. Sin embargo, para entender mejor esta expresión, también podemos usar la aproximación que dimos en el texto principal de esta sección y que deducimos a continuación.
Una aproximación útil
Para simplificar la expresión de RoRr, podemos emplear un truco matemático habitual; siempre podemos expresar el número 1 como una fracción cuando el numerador y el denominador son idénticos. En este caso, podemos aprovechar el hecho de que \(\frac{1 + \pi}{1 + \pi}=1\), y reemplazar la expresión del primer miembro por la fórmula exacta de RoRr, lo que nos da
\[\text{RoR}_\text{r} = \frac{1 + \text{RoR}_\text{n}}{1 + \pi} - \frac{1+\pi}{1+\pi}\]
Y ahora podemos aplicar otra regla de las fracciones que dice que si dos fracciones tienen el mismo denominador, podemos fundirlas en una sola fracción, lo que da lo siguiente:
\[\text{RoR}_\text{r} = \frac{1 + \text{RoR}_\text{n} - (1+\pi)}{1+\pi}\]
Ahora podemos simplificar el numerador cancelando 1 y −1:
\[\text{RoR}_\text{r} = \frac{\text{RoR}_\text{n} - \pi}{1 + \pi}\]
Esta expresión sigue siendo una definición exacta del rendimiento real (así que si usaras datos reales también podrías emplearla, aunque a costa de usar unas pocas teclas más). Pero, al menos en países con una tasa de inflación bastante baja, el valor de \(1+ \pi\) se acerca a uno, de modo que la división del numerador de esta razón entre \(1+\pi\) apenas altera el resultado. Por tanto, cuando la inflación es baja, obtenemos la siguiente aproximación:
\[\text{RoR}_\text{r} \approx \text{RoR}_\text{n} - \pi\]
O, lo que es equivalente, tal como se indica en el texto principal:
\[\text{tasa de rendimiento real} \approx \text{tasa de rendimiento nominal} - \text{tasa de inflación}\]
¿En qué medida es buena esta aproximación?
Si la tasa de inflación es baja, la aproximación se acerca mucho al valor real. Por ejemplo, si el rendimiento nominal RoRn = 8 % y la tasa de inflación es del 2 %, entonces la aproximación arroja el siguiente resultado:
\[\text{RoR}_\text{r} \approx \text{RoR}_\text{n} - \pi = 0,08 \text{ } – \text{ } 0,02 = 8 \text{ %} - 2 \text{ %} = 6 \text{ %}\]
En comparación, la fórmula exacta da:
\[\text{RoR}_\text{r} = \frac{\text{RoR}_\text{n} - \pi}{1 + \pi} = \frac{0,08 \text{ } – \text{ } 0,02}{1,02} = 0,588 = 5,88 \text{ %}\]
Por tanto, con cualquier tasa de inflación positiva, la aproximación siempre se pasa del valor real; pero con una inflación baja, el resultado aproximado se acerca mucho al rendimiento real.
Aun así, como veremos en la unidad 7, muchos países tienen tasas de inflación muy superiores al 2 %. Cuanto más alta es la tasa de inflación, peor es la aproximación. Por ejemplo, con un rendimiento nominal RoRn = 56 % y una tasa de inflación del 50 %, la aproximación volvería a dar como resultado \(\text{RoR}_\text{r} \approx 56 \text{ %} - 50 \text{ %} = 6 \text{ %}\), pero la respuesta correcta sería:
\[\text{RoR}_\text{r} = \frac{\text{RoR}_\text{n} - \pi}{1 + \pi} = \frac{0,56 \text{ } – \text{ } 0,05}{1,5} = \frac{0,06}{1,5} = 4 \text{ %}\]
Aunque la aproximación sigue indicando con acierto que el rendimiento real es positivo, el resultado aproximado es mucho menos preciso. Esta es la razón por la que al efectuar cálculos con datos reales siempre deberías usar la fórmula exacta en lugar de la aproximación.
Ejercicio A6.1 Aproximación a los rendimientos reales
Accede a la página web de la tasa de inflación del Fondo Monetario Internacional y elige un país para cada una de las cuatro categorías de inflación que aparecen en su mapa (0–3 %, 3–10 %, 10–25 % y 25 % o superior).
Supón que el rendimiento real de un activo calculado con la fórmula aproximada y la tasa de inflación de cada uno de esos países siempre es del 7 %.
- Utiliza la fórmula exacta con cada uno de estos países para calcular la tasa de rendimiento real y calcula cuánto se aparta el valor real de la tasa de rendimiento aproximada. Comenta tus respuestas.
- Expresa en términos matemáticos (con una fórmula) la diferencia entre la tasa de rendimiento aproximada y la tasa de rendimiento real (aproximada menos real). Utiliza esa expresión matemática para explicar por qué (1) la aproximación siempre se queda por debajo del valor real y (2) la aproximación es más precisa con tasas de inflación más bajas (positivas).
Tipo de interés nominal y real: la ecuación de Fisher
En la unidad 5 introdujimos la ecuación de Fisher, que relaciona el tipo de interés nominal con el real:
\[r \approx i - \pi^E\]
En esta ecuación, \(r\) es el tipo de interés real, \(i\) es el tipo de interés oficial y \(\pi^E\) es la tasa de inflación esperada. Esta relación es un caso especial de nuestra aproximación más general para la tasa de rendimiento real. El tipo de interés oficial no implica ningún riesgo en términos nominales, por lo que, en este caso, el rendimiento nominal es igual al tipo de interés nominal, \(\text{RoR}_\text{n} = i\). Pero el rendimiento real de una inversión que paga el tipo de interés oficial sigue siendo de riesgo debido a la inflación (tal como se ve en la figura 6.17). De modo que, si usamos nuestra aproximación, el rendimiento real de esa inversión vendría dado por:
\[\text{RoR}_\text{r} \approx i - \pi\]
Entonces, podemos interpretar el tipo de interés real como el rendimiento real esperado de una inversión que paga el tipo de interés oficial, \(i\). Si volvemos a utilizar nuestra aproximación, podemos escribir la ecuación de Fisher así:
\[\text{RoR}_\text{r}^E \approx i - \pi^E\]
Así, por ejemplo, si estás pensando en abrir una cuenta de ahorro libre de riesgo, conocerás el tipo de interés nominal, pero lo que querrás saber en realidad es cuánto valdrán tus ahorros dentro de un año en términos de poder adquisitivo. Si cuentas con una estimación de la tasa de inflación, \(\pi\), para el próximo año, podrás usar la ecuación anterior para calcular tu tasa de rendimiento real esperada para esa cuenta de ahorro. Pero, como la inflación siempre es incierta, el tipo de interés real, \(r\), siempre es una estimación. En general, esto es lo que entendemos por «tasa de interés real» en macroeconomía, y se calcula usando la inflación esperada porque esa es la información de la que disponen los ahorradores y prestatarios cuando toman su decisión y, por tanto, la que determina los resultados económicos.
Ganancias de capital y renta
Supongamos ahora que inviertes en un activo que puede comprarse y venderse en un mercado y que lo conservas durante un año. Podría ser un activo real, como un coche o una casa, o un activo financiero, como una acción de una empresa.
Lo que inviertes, \(X_0\), es simplemente el precio, \(p_0\), que pagas por él, o sea, su valor actual de mercado. Pero podemos separar en dos partes \(X_1\), es decir, «lo que obtienes»:
\[X_1 = p_1 + y\]
\(p\) no debe confundirse con \(P\), que es la designación que hemos usado para representar el IPC, o sea, el nivel general de precios.
donde, \(p_1\), es el precio del activo al cabo de un año (la cantidad que obtendrías si lo vendieras entonces) e \(y\) es la renta que recibes del activo durante el año: por ejemplo, la liquidación de intereses, los pagos de cupones de un bono o los dividendos de una acción.
Al sustituir esta expresión en el numerador de nuestra fórmula para el rendimiento nominal, se obtiene:
\[1 + \text{RoR}_\text{n} = \frac{X_1}{X_0} = \frac{p_1+y}{p_0}\]
Si sumamos y restamos \(p_0\) en el numerador de la fracción del segundo miembro, obtenemos \(1+ \text{RoR}_\text{n} = \frac{p_1 - p_0 + y + p_0}{p_0}\).
Si ahora separamos la fórmula del segundo miembro en dos fracciones, resulta que la segunda fracción sencillamente es igual a 1: \(1 + \text{RoR}_\text{n} = \frac{p_1 - p_0 + y}{p_0} + \frac{p_0}{p_0} = \frac{\Delta p}{p_0} + \frac{y}{p_0} + 1\)
Si restamos 1 a cada miembro de la ecuación, obtenemos la respuesta.
Si reordenamos la fórmula y escribimos \(\Delta p = p_1 - p_0\) para la variación del precio a lo largo del año y efectuamos algunos cambios adicionales, podemos descomponer la tasa de rendimiento nominal en:
\[\text{RoR}_\text{n} = \frac{\Delta p}{p_0} + \frac{y}{p_0}\]
Que, expresado en palabras, nos da la descomposición del texto principal:
\[\text{tasa de rendimiento } (\%) = \text{ganancia o pérdida de capital } (\%) + \text{renta } (\%)\]
donde la ganancia de capital, \(\Delta p\), y la renta, \(y\), se expresan como porcentaje de la inversión, \(p_0\). Tal como señalamos en el texto principal, con muchos activos sucede que el riesgo del rendimiento está condicionado sobre todo por las ganancias o las pérdidas de capital. Entonces, el rendimiento nominal se puede corregir con la inflación para obtener el rendimiento real. Como alternativa, la misma descomposición se aplica al rendimiento real si todas las variables de la expresión matemática ya están medidas en términos reales.
