Unidad 9 Desarrollo desigual a escala planetaria

9.8 Estancamiento de los países pobres en un crecimiento bajo y posibilidades para crecer rápido

La economía simple formada tan solo por grano de la sección 9.5 ayuda a entender qué puede desencadenar un proceso de crecimiento sostenido de la producción per cápita en una economía, de tal manera que pase de unos niveles de renta bajos a unos medios o altos. En ese lugar señalamos que una cosecha excepcional proporciona recursos para invertir que no exigen reducir el consumo. De ahí podemos generalizar que es más probable que sea sostenible ahorrar lo suficiente para incrementar el nivel de capital por trabajador (ya sea por imposición de las autoridades públicas o por elección de los hogares) cuando no implica una reducción del consumo actual. Las razones guardan relación tanto con la psicología individual como con los procesos políticos.

Otro mecanismo capaz de provocar un aumento de la inversión sin una caída simultánea del consumo medio consiste en introducir cambios en las instituciones que desplacen la distribución de la renta para que deje de estar en manos de terratenientes y otras élites que ahorran e invierten en activos (como casas palaciegas y monumentos) y vaya a parar a capitalistas que necesitan invertir para sobrevivir a la competencia de otros capitalistas. Se cree que la tasa de crecimiento en las economías europeas de finales del siglo xviii y comienzos del siglo xix aumentó debido, en parte, a cambios institucionales de este tipo, lo que animó a las personas adineradas a hacer un uso distinto de los recursos que tenían a su cargo. Antes de 1700, los edificios más grandes de muchas ciudades europeas eran iglesias; después de 1800, los edificios más grandes eran fábricas.

El modelo de la dinámica del crecimiento

modelo de la dinámica del crecimiento: Modelo económico en el que una variable cambia (crece) con el tiempo de tal manera que la tasa de crecimiento en un periodo depende de forma sistemática de la tasa de crecimiento en periodos anteriores.
crecimiento exógeno: Crecimiento de la producción agregada (PIB) que ocurre como resultado de efectos independientes y no intencionados, por ejemplo, debido al aprendizaje con la práctica. Se contrapone al crecimiento endógeno, que se da como resultado de acciones intencionadas de los agentes económicos.
crecimiento endógeno: Crecimiento de la producción agregada (PIB) que ocurre como resultado de acciones intencionadas de los agentes económicos, por ejemplo, debido a inversiones para incrementar las existencias de capital o inversiones en I+D para mejorar el proceso de producción. Se contrapone al crecimiento exógeno, que se da debido a efectos no intencionados, como el aprendizaje con la práctica.

En esta sección nos apoyamos en el modelo de la economía basada en granos de cereal de la sección 9.5, pero eliminamos el supuesto simplificador de que la producción aumenta a un ritmo constante con el capital (el grano plantado) para dar cabida a tecnologías más generales. Igual que antes, solo hay un bien (el grano) que se produce, se consume y se invierte por parte de una población fija de agricultores. Desarrollaremos un modelo que distingue entre dos fuentes de crecimiento: el crecimiento exógeno y el crecimiento endógeno. También explicaremos por qué lo llamamos modelo de la dinámica del crecimiento. El crecimiento exógeno ocurre al margen de las decisiones de inversión que adopten los agricultores. Supongamos, por ejemplo, que, con independencia del nivel de inversión, la producción puede aumentar si se aprenden e instauran métodos de producción mejores; esto se conoce como aprendizaje con la práctica (o «learning by doing») y a través de otras personas. Puede que los agricultores descubran a partir de la experiencia (u observando los cultivos colindantes) que plantar un poco antes da como resultado una cosecha más abundante. El crecimiento exógeno suele denominarse cambio tecnológico, pero debería considerarse algo mucho más amplio porque reflejará no solo avances tecnológicos, sino también el sistema institucional de la economía. La facilidad o dificultad con que se comparten o difunden formas novedosas de hacer las cosas por toda la economía depende de la naturaleza de los derechos y las prácticas de propiedad intelectual, del nivel y la naturaleza de la escolarización y de la organización del proceso de producción. El crecimiento endógeno surge de las decisiones que toman los agricultores para invertir parte de su grano como capital con el fin de incrementar la producción futura.

Para entender cómo se combinan el crecimiento endógeno y el exógeno podemos usar la ecuación para contabilizar el crecimiento, que relaciona la tasa de aumento de la producción con las tasas de incremento de los factores de producción y el progreso tecnológico (lo cual se explica en la sección 9.4). El aumento de los bienes producidos, $g^Y$, es la suma del progreso tecnológico, $g^z$, y una media ponderada de las tasas de aumento de los factores de producción. Aquí interpretamos $g^z$ de un modo más amplio como crecimiento exógeno, con el fin de incluir el aprendizaje con la práctica. En el modelo del grano, los factores los constituyen el capital y la mano de obra, pero el número de agricultores no cambia ($g^N = 0$), así que podemos escribir:

\[g^Y = g^z + \beta g^K\]

donde $g^K$ es la tasa de crecimiento endógeno de las existencias de capital. El parámetro, $\beta$, refleja el efecto de la inversión neta en capital sobre la producción.

Para modelizar la inversión neta, retomamos la idea introducida en la sección 9.5 de que un crecimiento más alto en este periodo (debido a una cosecha muy abundante, por ejemplo) proporciona los recursos necesarios para aumentar las existencias de capital sin reducir el consumo. Esto significa que la inversión contribuye al crecimiento, pero, también, que el crecimiento contribuye a la inversión.

En concreto, asumimos que la inversión neta es proporcional a la tasa de crecimiento de la producción del año anterior. De modo que si $g_t$ es la tasa de crecimiento del año $t-1$ al año $t$, el incremento de las existencias de capital del año $t-1$ al año $t$ viene dado por:

\[g^K_t = \alpha g^Y_{t-1} \text{donde } \alpha > 0\]

En esta ecuación, $\alpha$ (la letra griega alfa) es la fracción del crecimiento del año anterior que se invierte. Para entender esta regla de inversión, supongamos, por ejemplo, que $\alpha = 0,75$. Si la producción hubiera aumentado un 4 % el año anterior, de 100 a 104 unidades, y las existencias de capital del año anterior fueran de 40 unidades, entonces la regla de inversión nos diría que hay que aumentar las existencias de capital un 3 %, de 40 a 41,2 unidades. De este modo, destinaríamos 1,2 unidades de la producción extra a la inversión neta (aparte de lo que se necesita para tener en cuenta la depreciación) y dedicaríamos las 2,8 unidades restantes a un consumo adicional.

Si sustituimos la regla de la inversión dentro de la ecuación para el aumento de la producción, se ve que la tasa de crecimiento del año en curso, $g^Y_t$, depende de la tasa de crecimiento exógena, $g_z$, y de la tasa de crecimiento del año anterior:

\[g^Y = g^z + \alpha\beta g^Y_{t-1}\]

Más concretamente, esta relación refleja el valor que esperamos que tenga la tasa de crecimiento en el año $t$, de acuerdo con la inversión que resulta del crecimiento del año anterior. Unas condiciones meteorológicas inesperadas podrían dar lugar a cosechas más abundantes o más escasas de lo previsto.

curva de dinámica del crecimiento: Gráfico que muestra la relación entre la tasa de crecimiento en el periodo $t$ (en el eje horizontal) y la tasa de crecimiento en el periodo $t+1$ (en el eje vertical). El punto en el que la curva cruza la línea de 45 grados representa una tasa de crecimiento en equilibrio: una vez que la economía alcanza esta tasa de crecimiento, se mantendrá en ella a menos que se produzca un choque inesperado.
curva de dinámica de precios: La curva de la dinámica de precios es un gráfico que muestra la relación entre el precio de un bien en un periodo $t$ (en el eje horizontal) y su precio en el periodo $t + 1$ (en el eje vertical). El punto en el que el gráfico cruza la línea de 45 grados representa un equilibrio de mercado: a ese precio, la demanda es igual a la oferta, por lo que el precio se mantiene constante de un periodo al siguiente. A otros precios, el exceso de demanda o de oferta genera una variación del precio.

La curva de la dinámica del crecimiento describe cómo cambian las tasas de crecimiento de un periodo a otro, igual que la curva de dinámica de precios de la unidad 8 describe cómo cambian los precios de un periodo al siguiente.

Asumiremos que $\alpha$, $\beta$ y $g_z$ son constantes positivas. La figura 9.17a ilustra en un gráfico esta relación entre las tasas de crecimiento de dos años sucesivos. Esta relación se denomina curva de dinámica del crecimiento, aunque en este modelo es una línea recta con pendiente $\alpha\beta$. Considerando en primer lugar el punto A, si el crecimiento en el periodo 0 es cercano a cero, la tasa de crecimiento esperada para el periodo 1 solo supera ligeramente la tasa de crecimiento exógena, $g_z$. El punto B ilustra que un crecimiento elevado en el periodo 0 da lugar a otro también alto en el periodo 1, puesto que estimula la inversión.

La curva de dinámica del crecimiento de la figura 9.17a ilustra el caso $\alpha\beta < 1$, lo que significa que cruza la línea de 45 grados. Sigue los pasos de esta figura para entender por qué hay una tasa de crecimiento en equilibrio estable en el punto de intersección.

El modelo de la dinámica del crecimiento.

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Figura 9.17a El modelo de la dinámica del crecimiento.

El modelo de la dinámica del crecimiento: la curva de dinámica del crecimiento y la tasa de crecimiento de equilibrio: Gráfico que ilustra el crecimiento de la producción en el periodo 0 en el eje horizontal, y el crecimiento esperado de la producción en el periodo 1 en el eje vertical. Hay una línea recta etiquetada como CDC (curva de dinámica del crecimiento) que es creciente. El punto A se encuentra por debajo de la línea con un valor inferior a g0 y una tasa esperada de crecimiento de gz. El punto B está sobre la línea y se corresponde con g0 igual a g1. Se indica un ángulo etiquetado como ab entre la línea horizontal y la línea que une los puntos A y B.

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El modelo de la dinámica del crecimiento: la curva de dinámica del crecimiento y la tasa de crecimiento de equilibrio

La curva de la dinámica del crecimiento (CDC) tiene pendiente positiva, $\alpha\beta < 1$, y atraviesa el eje vertical en $g_z$. Si $g_0 = 0$, la economía continúa creciendo en el periodo siguiente debido al crecimiento exógeno ($g_1 = g_z$). Si $g_0$ tiene un valor bajo y positivo, $g_1$ se sitúa justo por encima de $g_z$ (punto A). Y un crecimiento mayor durante el periodo 0 conduce a más inversión y un $g_1$ más alto (punto B).

Cuando 𝛼𝛽 < 1: Este es un gráfico de líneas con el eje horizontal etiquetado como «Crecimiento de la producción en el periodo 0» (g0) y con el eje vertical etiquetado como «Crecimiento esperado de la producción en el periodo 1» (g1). Una línea continua creciente está etiquetada como «CDC» y representa la curva de la dinámica del crecimiento. También se muestra una línea discontinua de 45 grados que está etiquetada como «g1 = g0». La curva cruza esta línea discontinua en el punto E, donde el crecimiento de la producción en ambos periodos es igual a g. El nivel correspondiente de crecimiento esperado en el eje vertical también se etiqueta como g, y un nivel horizontal más bajo se indica mediante gz. Las líneas discontinuas en vertical y horizontal van desde el punto E hasta ambos ejes para indicar la tasa de crecimiento de equilibrio.

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Cuando 𝛼𝛽 < 1

Como $g_z > 0$ y su pendiente $\alpha\beta < 1$, la curva de la dinámica del crecimiento cruza la línea de 45 grados. El punto E, donde $g_0 = g_1 = g^*$, es un equilibrio: si la tasa de crecimiento en un periodo es $g^*$, será esperable que se mantenga en $g^*$ en el periodo siguiente.

Crecimiento por encima y por debajo de la línea de 45 grados: Este es un gráfico de líneas con el eje horizontal etiquetado como «Crecimiento de la producción en el periodo 0» (g0) y con el eje vertical etiquetado como «Crecimiento esperado de la producción en el periodo 1» (g1). Una línea continua y creciente etiquetada como «CDC» representa la curva de la dinámica del crecimiento. Una línea discontinua de 45 grados etiquetada como «g1 = g0» discurre en diagonal desde el origen. La curva y la línea discontinua se cruzan en el punto E, donde el crecimiento en ambos periodos es igual a g* (ge asterisco). Una línea horizontal discontinua señala g* en el eje vertical, y una línea vertical discontinua señala g* en el eje horizontal. Un nivel más bajo en el eje vertical se indica con gz. El área situada por encima de la línea de 45 grados esta sombreada en color azul y se etiqueta con la leyenda «En esta región, g1 > g0. El crecimiento aumenta». El área situada por debajo de la línea de 45 grados está sombreada en color rojo y se etiqueta con la leyenda «En esta región, g1 < g0. El crecimiento disminuye».

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Crecimiento por encima y por debajo de la línea de 45 grados

Si el crecimiento se sitúa por encima de $g^*$ en el periodo 0, la curva de la dinámica del crecimiento se encuentra en la región donde el crecimiento disminuye de un periodo a otro. Y si el crecimiento se sitúa por debajo de $g^*$ en el periodo 0, la curva de dinámica del crecimiento se encuentra en la región donde el crecimiento aumenta.

Crecimiento después de un choque económico positivo puntual: En este gráfico, el eje horizontal está etiquetado como «Crecimiento de la producción en el periodo 0» (g0), y el eje vertical está etiquetado como «Crecimiento esperado de la producción en el periodo 1» (g1). Una línea continua creciente representa la curva de la dinámica del crecimiento (etiquetada como CDC), y una línea discontinua de 45 grados está etiquetada como «g1 = g0». La curva CDC cruza la línea discontinua en el punto E. Las líneas discontinuas horizontal y vertical van desde el punto E hasta cada uno de los ejes del gráfico para señalar en ambos el nivel g*. Hay un nivel más bajo en el eje horizontal indicado como gz. Más hacia la derecha, la curva pasa por el punto D, que está alineado con el nivel gH del eje horizontal. Una línea discontinua vertical va desde el punto D hasta el eje horizontal. Otro punto, indicado como F, se encuentra justo debajo del punto en la línea discontinua. Una flecha apunta hacia la derecha y después hacia abajo y va desde D hasta F. La región situada encima de la línea discontinua está sombreada en color azul y etiquetada como «g1 > g0 Aumento del crecimiento». La región situada debajo de la línea discontinua está sombreada en color rojo y está etiquetada como «g1 < g0 Descenso del crecimiento».

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Crecimiento después de un choque económico positivo puntual

Partiendo del punto E, supongamos que un choque económico (una meteorología excelente) eleva el incremento real de la producción en el año 0 hasta $g^H$. La inversión aumenta, así que el crecimiento esperado en el año 1 vuelve a estar por encima de $g^*$, pero por debajo de $g^H$ (punto D). La economía está más cerca del equilibrio. En el año siguiente, el crecimiento vuelve a descender (punto F). De manera gradual vuelve a situarse en $g^*$.

La figura 9.17a ilustra un equilibrio de crecimiento estable. Aunque la economía puede experimentar periodos transitorios de mayor o menor crecimiento, siempre tenderá a regresar a una tasa de crecimiento constante igual a $g^*$.

Incrementar la tasa de crecimiento de equilibrio

Si la tasa de equilibrio, $g^*$, es baja, esta economía está atrapada en una trampa de crecimiento bajo. Una buena cosecha o cualquier otra fuente ocasional que aumente la renta no es algo duradero, y el crecimiento retorna a la tasa de equilibrio.

Para pasar de una trampa de crecimiento bajo con un PIB per cápita escaso a una situación en la que la economía crezca con rapidez año tras año para alcanzar un nivel bastante más elevado del PIB per cápita (como el observado en los gráficos con forma de palo de hockey) es necesario que la tasa de crecimiento de equilibrio sea más alta, al menos durante algún tiempo. Y esto, a su vez, requiere cambiar el funcionamiento de la economía, tal como se representa en el modelo mediante $\alpha$, $\beta$ y $g_z$. Por tanto, cualquier política que aspire a aumentar de manera sostenible la renta de un país procurará incrementar una o varias de estas variables.

En la economía agregada, la fracción del crecimiento que se invierte, $\alpha$, podría aumentarse si:

los individuos privados que tienen riqueza optan por consumir menos (por ejemplo en lujos) y destinar parte de su renta aumentada a construir bienes de capital de propiedad privada, como fábricas, en lugar de mansiones palaciegas, como sucedió en el siglo xviii; o emplearla para construir centros de datos y no para adquirir megayates o complejos vacacionales en islas privadas, como ocurre en el siglo xxi;
el sistema financiero logra facilitar que el aumento del ahorro se invierta en la economía (tal como se expuso en la unidad 6);
el gobierno destina una proporción mayor de la recaudación fiscal a la construcción de infraestructuras (como, por ejemplo, viales y educativas);
hay formas de redistribución que incentivan la acumulación de bienes de capital productivos.

Los factores que incrementan $\beta$ (el beneficio para que haya más inversión adicional) incluyen la calidad de las instituciones, las infraestructuras y la educación. La figura 9.17b muestra que un aumento de $\alpha$ o $\beta$ (o de ambos) cambiaría la pendiente de la curva de la dinámica del crecimiento y, por tanto, elevaría la tasa de crecimiento de equilibrio.

Modelización de un aumento de las tasas de crecimiento.

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Figura 9.17b Modelización de un aumento de las tasas de crecimiento.

El modelo de la dinámica del crecimiento: aumento de la tasa de crecimiento de equilibrio: Gráfico con el eje horizontal etiquetado como «Crecimiento de la producción en el periodo 0» (g0), y el eje vertical etiquetado como «Crecimiento esperado de la producción en el periodo 1» (g1). Una línea discontinua de 45 grados está etiquetada como «g1 = g0». Se representan dos líneas continuas crecientes. La línea inferior, etiquetada como «CDC», cruza la línea discontinua en el punto E, mientras que dos líneas discontinuas van desde E hacia ambos ejes para señalar el punto g. Una segunda curva CDC más alta atraviesa la línea discontinua en un nuevo punto E’. Hay líneas discontinuas que van desde E’ hasta cada eje y marcan el punto gH en el eje horizontal y el punto gH* en el eje vertical. Un nivel horizontal más bajo sobre el eje vertical está etiquetado como gz. Hay una flecha creciente entre las dos curvas CDC que indica un desplazamiento hacia arriba.

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El modelo de la dinámica del crecimiento: aumento de la tasa de crecimiento de equilibrio

Si se puede incrementar $\alpha$ y/o $\beta$, la curva de dinámica del crecimiento se vuelve más empinada, y el equilibrio se desplaza de E a E″, con una tasa de crecimiento más alta.

Incremento de la tasa de crecimiento exógeno: Gráfico con el eje horizontal etiquetado como «Crecimiento de la producción en el periodo 0» (g0), y el eje vertical etiquetado como «Crecimiento esperado de la producción en el periodo 1» (g1). Se muestra una línea discontinua de 45 grados que está etiquetada como «g1 = g0». Dos líneas continuas crecientes representan curvas dinámicas de crecimiento (CDC) La curva CDC más baja cruza la línea discontinua en el punto E. La curva CDC más alta cruza la línea discontinua en un punto situado más arriba, E’’. Hay líneas discontinuas que van desde los puntos E y E’’ hasta ambos ejes. El eje vertical marca los niveles gz y gzH, correspondientes a las intersecciones de las curvas CDC. Una flecha creciente entre las dos curvas CDC indica un desplazamiento.

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Incremento de la tasa de crecimiento exógeno

Si la tasa de crecimiento exógeno sube de $g_z$ a $g_z^H$, la curva de la dinámica del crecimiento se desplaza hacia arriba, lo que eleva la tasa de crecimiento de equilibrio de E a E″.

El segundo paso de la figura 9.17b muestra que un crecimiento exógeno mayor también incrementa la tasa de crecimiento de equilibrio. Esto podría suceder, por ejemplo, si una población más formada o más cooperativa se prestara a compartir conocimiento, lo que aumentaría la tasa de aprendizaje con la práctica.

Crecimiento de desequilibrio

Si los responsables políticos lograran aumentar $α$ o $𝛽$ lo suficiente para que $α𝛽 > 1$, el proceso de crecimiento adoptaría una forma completamente distinta, tal como se ilustra en la figura 9.17c. No existe una tasa de crecimiento de equilibrio, porque la curva de la dinámica del crecimiento tiene una pendiente mayor que la línea de 45 grados. La curva de la dinámica del crecimiento se encuentra en la región en la que el crecimiento aumenta. De modo que una tasa de crecimiento elevada en un periodo conduce a otra aún más alta en el siguiente.

Si el crecimiento vale $g′$ en el periodo 0, en el próximo periodo será más alto, ($g″$), y en el siguiente lo será aún más. El crecimiento aumenta (la producción se acelera) de un periodo a otro.

Este gráfico tiene un eje horizontal etiquetado como «Crecimiento de la producción en el periodo 0» (g0) y un eje vertical etiquetado como «Crecimiento esperado de la producción en el periodo 1» (g1). Una línea creciente continua representa la curva de dinámica del crecimiento (etiquetada como «CDC»), y una línea discontinua de 45 grados que parte del origen está etiquetada como «g1 = g0». Una línea discontinua horizontal parte del nivel g’’ del eje vertical y llega hasta la curva CDC. Desde este punto, una flecha que va hacia la derecha apunta hacia la línea discontinua, y una segunda línea apunta hacia arriba desde ese punto hasta volver a encontrarse con la curva CDC formando un patrón escalonado que se repite. Un nivel horizontal más bajo sobre el eje vertical está marcado como gz, y el eje horizontal señala un valor g’. El área situada por encima de la línea discontinua está sombreada en color azul y etiquetada como «g1 > g0. El crecimiento aumenta». El área situada debajo está sombreada en rojo y etiquetada como «g1 < g0El crecimiento disminuye». Toda la línea CDC se encuentra por encima de la línea de 45 grados.

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Figura 9.17c Cuando $α𝛽 > 1$, el crecimiento aumenta indefinidamente.

Aunque el crecimiento no puede incrementarse indefinidamente en el mundo real, el modelo se puede ampliar para darle más realismo combinando una fase de crecimiento en desequilibrio con un crecimiento en equilibrio, lo que da lugar a una curva de la dinámica del crecimiento en forma de S (como los modelos de la unidad 8). El modelo con forma de S incorpora un proceso de retroalimentación negativa en torno a dos equilibrios, uno en el crecimiento bajo y otro en el crecimiento alto. Entre ellos hay un equilibrio inestable (el punto de inflexión), en el que la curva de la dinámica del crecimiento (CDC) tiene una pendiente mayor que uno. El crecimiento explosivo se amortigua en el modelo en forma de S. Este modelo se explica en la ampliación de esta sección.

Ejercicio 9.10 El modelo de la dinámica del crecimiento: ejemplos numéricos de la curva de la dinámica del crecimiento

Usa la ecuación de la curva de la dinámica del crecimiento ($g^Y = g^z + \alpha\beta g^Y_{t-1}$) para dibujar un gráfico de la curva de dinámica del crecimiento con los siguientes casos:

$g_z = 4\ \%, \alpha = 0,7, \beta = 0,5$
$g_z = 2\ \%, \alpha = 0,3, \beta = 0,6$

En cada caso, calcula y señala la tasa de crecimiento de equilibrio en los gráficos que has preparado para la pregunta 1. ¿Qué valores de $\alpha$ harían que el crecimiento fuera estable, y qué valores de $\alpha$ lo volverían inestable en cada uno de esos casos?
Si la economía parte de una curva de dinámica del crecimiento con una tasa de crecimiento inicial ($g_0$) del 5 %, utiliza los gráficos que elaboraste para la pregunta 1 para ilustrar qué sucederá con el crecimiento económico en los tres años siguientes. Asegúrate de indicar las coordenadas de cada punto.

Ampliación 9.8 Modelos de crecimiento económico

En la parte principal de esta sección hemos empleado gráficos para explicar el modelo de la dinámica del crecimiento (MDC). En esta ampliación analizamos este modelo en términos algebraicos antes de ampliarlo al caso de una curva de dinámica del crecimiento en forma de S, lo que da lugar a múltiples equilibrios. Por último, para quien conozca el modelo de crecimiento de Solow, explicamos la relación que mantienen nuestro modelo de la dinámica del crecimiento y el modelo de Solow.

El modelo de la dinámica de crecimiento lineal (MDCL)

El modelo analizado en la parte principal de esta sección se basa en dos ecuaciones. La producción se obtiene usando capital y mano de obra. La ecuación que contabiliza el crecimiento describe la relación entre la tasa de crecimiento de la producción ($g^Y$) y la tasa de crecimiento de los factores teniendo en cuenta el progreso tecnológico con una tasa de crecimiento exógeno, $g^z$. Puesto que la mano de obra es un factor fijo, las tasas de crecimiento durante el periodo $t$ satisfacen:

\[g^Y_t = g^z + \beta g^K_t\]

Para recordar cómo se deduce la ecuación para contabilizar el crecimiento a partir de la función de producción, consulta la ampliación 9.4. Esta deducción es para la versión en tiempo continuo, pero podemos usar la misma ecuación para el modelo de la dinámica del crecimiento porque es aproximadamente cierta en tiempo discreto.

donde $g^K$ es la tasa de crecimiento endógeno de las existencias de capital. Asumimos que la ponderación de $\beta$ es una constante, tal como sucede con una función de producción de tipo Cobb–Douglas.

La segunda ecuación es la regla de inversión:

\[g^K_t = \alpha g^Y_{t-1}\]

donde $\alpha$ es una constante positiva. La combinación de ambas da como resultado la curva de la dinámica del crecimiento (CDC), que es una relación lineal entre el aumento de la producción en periodos sucesivos, puesto que tanto $\alpha$ como $\beta$ son constantes:

\[g^Y_t = g^z + \alpha\beta g^Y_{t-1}\]

En la parte principal de esta sección, analizamos el comportamiento de la tasa de crecimiento representando esta relación de manera gráfica. En esta ampliación, mostramos cómo analizar el modelo en términos algebraicos.

Cómo hallar la tasa de crecimiento de equilibrio

Dependiendo de los valores de $\alpha$ y $\beta$, la economía podrá tener una tasa de crecimiento de equilibrio $g^*$, de tal manera que si la tasa de crecimiento es $g^*$ en un periodo, entonces se mantenga en $g^*$ durante el periodo siguiente y todos los sucesivos hasta que se vea alterada por un choque de crecimiento. Si $g^*$ existe, entonces satisface:

\[\begin{align*} g^* &= g^z + \alpha \beta g^* \\ \Rightarrow g^* &= \frac{g^z}{1 - \alpha \beta} \end{align*}\]

de lo que se infiere que una tasa de crecimiento (positiva) en equilibrio existe si y solo si $\alpha\beta<1$.

Dinámica y estabilidad

Para analizar el comportamiento dinámico del crecimiento, consideramos en primer lugar el caso de $\alpha\beta<1$. Entonces hay un equilibrio que satisface $g^* = g^z + \alpha\beta g^*$. Podemos restar esta ecuación a la ecuación para el crecimiento en periodos sucesivos $(g^Y_t = g^z + \alpha\beta g^Y_{t-1})$ y obtenemos:

\[g^Y_t - g^* = \alpha \beta (g^Y_{t-1} - g^*)\]

lo que nos dice que la distancia que mantenga la tasa de crecimiento con $g^*$ en el periodo $t$ depende de cuánto se aparte de ese valor en el periodo anterior. De esta ecuación podemos inferir que:

si $g^Y_{t-1}$ está por encima de $g^*$, entonces también lo está $g^Y_t$, aunque $g^Y_t$ se encuentra más cerca de $g^*$;
si $g^Y_{t-1}$ está por debajo de $g^*$, entonces también lo está $g^Y_t$ , aunque $g^Y_t$ se encuentra más cerca de $g^*$.

Por tanto, la tasa de crecimiento converge hacia $g^*$: el equilibrio es estable. Este es el caso que se ilustra en la figura 9.17a.

Consideremos ahora el caso en que $\alpha \beta >1$, cuando no hay una tasa de crecimiento en equilibrio. Para analizar cómo cambia el crecimiento de un periodo a otro señalaremos en primer lugar que, si el crecimiento es positivo o nulo en el periodo $t-1$, entonces aumentará en el periodo siguiente:

\[\text{Si } g^Y_{t-1} \geq 0, ~ g^Y_t - g^Y_{t-1} = g^z + (\alpha \beta - 1) g^Y_{t-1} > 0\]

Si ahora restamos la ecuación de la tasa de crecimiento en el periodo $t$ $(g^Y_t = g^z + \alpha \beta g^Y_{t-1})$ a la ecuación del periodo $t+1$ $(g^Y_{t+1} = g^z + \alpha \beta g^Y_t)$, hallamos que el crecimiento aumenta más durante el periodo $t+1$:

\[g^Y_{t+1} - g^Y_t = \alpha \beta (g^Y_t - g^Y_{t-1}) > g^Y_t - g^Y_{t-1}\]

Podemos concluir que si el crecimiento es positivo o igual a cero, la tasa de crecimiento aumentará de un periodo a otro de manera indefinida.

El modelo de la dinámica del crecimiento en forma de S (MDCS)

Hemos analizado una versión del modelo de la dinámica del crecimiento en la que la fracción del crecimiento que se ha invertido, ($\alpha$), y su efecto sobre la producción de la inversión neta en capital, ($\beta$), son constantes fijas, con independencia de lo que suceda en la economía. En este caso, la curva de la dinámica del crecimiento es una línea recta con pendiente $\alpha\beta$. Ahora ampliaremos el modelo para ofrecer una imagen más realista de la dinámica del crecimiento asumiendo que $\alpha$ y $\beta$ pueden variar: en particular suponiendo que la fracción invertida $\alpha$ depende de las expectativas que tienen los inversores sobre el crecimiento futuro. En esta versión, la curva de la dinámica del crecimiento tiene forma de S (como en el modelo desarrollado en la sección 8.5 para la dinámica de precios de la vivienda), y hay equilibrios tanto de crecimiento bajo como de crecimiento alto.

Procesos de retroalimientación positiva y negativa

Imagina una economía en equilibrio como la que se ilustra en la figura 9.17a, con una tasa baja de crecimiento en equilibrio. Es el caso de $\alpha\beta < 1$, donde $\alpha$ es la fracción de crecimiento invertida, y $\beta$ es el efecto sobre la producción de la inversión neta en capital. La mitad izquierda de la figura A9.3 ilustra un proceso de retroalimentación negativa que mantiene la economía estancada en una trampa de crecimiento bajo. Supón que un choque positivo durante un periodo determinado incrementa el crecimiento por encima del nivel de equilibrio. El aumento de la inversión implicará que el crecimiento también se mantenga por encima del nivel de equilibrio en el periodo siguiente, pero, puesto que $\alpha\beta < 1$, es inferior al del primer periodo. Todo el mundo espera que el crecimiento recupere el nivel de equilibrio previo a lo largo de los próximos periodos, de modo que $\alpha$ y $\beta$ no cambian, y el crecimiento regresa a ese nivel.

Sin embargo, tal como se muestra en la mitad derecha de la figura, el choque positivo en el crecimiento puede alterar de por sí las expectativas sobre el crecimiento futuro, lo que da lugar a un proceso de retroalimentación positiva mediante un aumento de $\alpha$, de $\beta$ o de ambas constantes. Una vez que el crecimiento es «lo bastante alto», el empuje se refuerza a sí mismo. Esto podría ocurrir, por ejemplo, si los dueños de empresas observan que otras empresas prosperan con fuerza y creen que eso potenciará el mercado de lo que ellos producen (si creen que $\beta$ subirá). Los moverá a invertir más en capital tanto la «zanahoria» de un incremento más veloz de los beneficios como el «palo» de que aumente la competencia debido al auge de empresas que amenazan su cuota de mercado (así que $\alpha$ sube).

En este gráfico, el eje horizontal muestra el crecimiento en el periodo t, y el eje vertical muestra el crecimiento en el periodo t más 1. La línea de 45 grados desde el origen representa todos los puntos en los que el crecimiento no varía de un año a otro. Una curva en forma de S cruza la línea de 45 grados en tres puntos: C (crecimiento bajo), A (crecimiento medio) y B (crecimiento alto). Los puntos C y B son equilibrios estables, mientras que el punto A es un equilibrio inestable o punto de inflexión. Un choque de crecimiento desde C hasta un punto situado más allá de A daría como resultado que la tasa de crecimiento se estabilizara en el punto B.

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https://books.core-econ.org/the-economy/macroeconomics/es/09-uneven-development-08-growth-stagnation-vs-rapid-growth.html#figura-a9-3

Figura A9.3 Retroalimentación negativa y positiva en la dinámica del crecimiento.

Equilibrios con una curva de la dinámica del crecimiento en forma de S

Los procesos de retroalimentación tanto positiva como negativa se pueden introducir en un modelo de la dinámica del crecimiento usando una curva de la dinámica del crecimiento en forma de S, tal como se muestra en la figura A9.4. Igual que en la parte principal de esta sección, indicamos las tasas de crecimiento en el periodo $t$ y en el periodo $t+1$ en los ejes horizontal y vertical; la curva de la dinámica del crecimiento es la relación entre ambas. Asimismo trazamos la línea de 45 grados sobre la que el crecimiento se mantiene estable de un periodo a otro.

Ahora hay tres tasas de crecimiento en equilibrio, en A, B y C. En los puntos B y C, la curva de la dinámica del crecimiento es menos inclinada que la línea de 45 grados $(\alpha\beta < 1)$, de modo que estos equilibrios son estables, igual que el de la figura 9.17a. Si la economía se encuentra en cualquiera de estos equilibrios, un choque en el crecimiento irá seguido de un proceso de retroalimentación negativa que restablecerá el equilibrio. Una economía situada en el punto C estará atrapada en un equilibrio de crecimiento bajo; en B, el proceso de retroalimentación mantiene una tasa alta de crecimiento.

Pero en niveles intermedios de crecimiento, la pendiente $\alpha\beta$ de la curva de la dinámica del crecimiento es mayor que 1. Hay un equilibrio en A: si el crecimiento alcanza ese nivel, se mantendrá ahí hasta que se vea alterado por un choque. Pero este equilibrio es inestable: cualquier choque, por pequeño que sea, irá seguido de un proceso de retroalimentación positiva como el de la figura 9.17c. Un choque positivo que eleve el crecimiento en un periodo irá seguido por un crecimiento mayor en el periodo posterior. El crecimiento aumentará de un periodo a otro a lo largo de la curva de la dinámica del crecimiento, como en la figura 9.17c. La diferencia ahora es que esto no se mantendrá así para siempre; a medida que sube la tasa de crecimiento, cambian las expectativas de los inversores sobre el crecimiento futuro, de modo que $\alpha$ y $\beta$ se ajustan. Con el tiempo, la curva de la dinámica del crecimiento vuelve a aplanarse, y la economía converge hacia el equilibrio de crecimiento alto en el punto B.

Este gráfico de líneas muestra los cambios porcentuales entre 1990 y 2023 del total de emisiones de CO₂ procedentes de combustibles fósiles y de la industria, junto con los cuatro factores de la identidad de Kaya que determinan las emisiones. El eje horizontal muestra los años desde 1990 hasta 2023, y el eje vertical muestra el cambio porcentual, desde −60 % hasta +100 %, con todas las series indexadas a cero en 1990. La línea que representa las emisiones totales de CO₂ crece con algunas fluctuaciones hasta alcanzar un valor algo por debajo del 60 % en 2023. Entre los componentes de la ecuación de Kaya, el PIB per cápita es el que más aumenta, ya que experimenta un crecimiento constante hasta situarse por encima del 100 %. La población también aumenta y se sitúa algo por debajo del 60 %. Por el contrario, tanto la intensidad energética (energía por unidad de PIB o «Energy / GDP») como la intensidad de carbono (CO₂ / energía o «CO2 / energy) disminuyen durante este periodo. La intensidad energética es el componente que más cae, hasta alrededor de −45 %, mientras que la intensidad de carbono se reduce hasta rondar −30 %. Una quinta línea, que muestra la intensidad de carbono por dólar (CO₂ / $), se superpone bastante con la intensidad energética y también disminuye hasta situarse en torno a −40 %.

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https://books.core-econ.org/the-economy/macroeconomics/es/09-uneven-development-08-growth-stagnation-vs-rapid-growth.html#figura-a9-4

Figura A9.4 Múltiples equilibrios en el modelo con forma de S.

El equilibrio inestable en A es un punto de inflexión. Si la tasa de crecimiento está por encima del nivel de A, aumentará a lo largo de la curva de la dinámica de crecimiento (CDC) hasta alcanzar el equilibrio de crecimiento alto en B. Pero desde cualquier punto situado por debajo de A, la tasa de crecimiento caerá en periodos sucesivos hasta alcanzar el equilibrio de crecimiento bajo en C. Esto significa que una economía atascada en un equilibrio de crecimiento bajo podrá escapar de él, pero solo tras un choque positivo que la sitúe más allá del punto de inflexión.

Lee la sección 8.6 para acceder a una explicación más detallada de un desplazamiento de las curvas de la dinámica de precios en el caso análogo de los precios de la vivienda. No obstante, fíjate en que el ejemplo que se expone ahí sigue un desplazamiento descendente.

Sin embargo, un incremento exógeno de $\alpha$, $\beta$ o $g^z$ podría desplazar o rotar hacia arriba la curva de la dinámica del crecimiento, lo que situaría el punto de inflexión más cerca del equilibrio de crecimiento bajo, de modo que el equilibrio de crecimiento alto y el punto de inflexión estarían más cerca el uno del otro. En este caso, resultaría más fácil escapar de una trampa de crecimiento bajo; un choque positivo mucho más pequeño permitiría que la economía emprendiera una transición hacia el equilibrio de crecimiento alto.

Ejercicio A9.3 Un desplazamiento ascendente de la curva de la dinámica del crecimiento

Reelabora la figura A9.4 para ilustrar (i) un desplazamiento ascendente de la curva de la dinámica del crecimiento (CDC), y (ii) una rotación hacia arriba de esa misma curva. Describe qué sucede con la posición y con la cantidad de equilibrios.
Pon ejemplos de cambios exógenos en $\alpha$, $\beta$ y $g^z$ capaces de causar un desplazamiento o una rotación hacia arriba de la curva de la dinámica del crecimiento.

Un apunte sobre la relación entre el modelo de la dinámica del crecimiento lineal y el modelo de Solow

Esta subsección está pensada para quienes tengan alguna idea sobre el modelo de crecimiento de Solow y quieran conocer sus similitudes y diferencias con el modelo de la dinámica del crecimiento que hemos presentado en la parte principal de esta sección.

Un modelo de crecimiento desarrollado por el economista Robert Solow en la década de 1950 y muy estudiado desde entonces está basado en la misma función de producción de rendimientos constantes que hemos empleado en esta unidad. Existen diferentes versiones del modelo de Solow: se pueden tener en cuenta tasas exógenas de expansión demográfica, de depreciación de las existencias de capital y de progreso tecnológico. Para establecer una comparación directa entre el modelo de crecimiento de Solow y nuestro modelo de la dinámica del crecimiento, damos por supuesto que la función de producción es de tipo Cobb–Douglas con rendimientos constantes del capital y la mano de obra $(Y=zK^\beta L^{1-\beta})$, y nos centramos en la versión del modelo de Solow en la que la mano de obra es fija, no hay depreciación, y la tecnología $z$ (la productividad total de los factores) crece de forma exógena a una tasa $g^z$.

La diferencia fundamental entre ambos modelos es que se rigen por reglas de inversión diferentes:

El modelo de Solow supone que la inversión bruta es una proporción constante, $s$, de la producción. De modo que, si no hay depreciación, el aumento de las existencias de capital es:

\[K_{t} - K_{t-1}= sY_{t-1} \text{ y, por tanto, } g^{K}_{t} = sY_{t-1}/K_{t-1}\]

En el modelo de la dinámica del crecimiento, nosotros suponemos que la tasa de aumento de las existencias de capital es proporcional a la tasa de incremento de la producción en el último periodo:

\[g^K_t = \alpha g^Y_{t-1}\]

En ambos casos se trata de supuestos verosímiles sobre cómo se decide la inversión. Nuestra elección estuvo motivada por la hipótesis de que el incremento de la producción facilita el aumento de las existencias de capital porque proporciona recursos para invertir sin necesidad de reducir el consumo.

El análisis de los dos modelos evidencia que ambos tienen una tasa de crecimiento en equilibrio estable $g^*$:

En el modelo de Solow, $g^*= \frac{g^z}{1-\beta}$. Tanto la producción $Y$ como las existencias de capital $K$ aumentan a una tasa $g^*$, de modo que el producto medio del capital $Y/K$ se mantiene constante (y, por tanto, también lo hace el producto marginal).
En el modelo de la dinámica de crecimiento lineal con $\alpha\beta < 1$, $g^* = \frac{g^z}{1-\alpha\beta}$. Esto es igual a la tasa de crecimiento de Solow si $\alpha=1$, en cuyo caso el capital y la producción aumentan al mismo ritmo, de modo que, una vez más, $Y/K$ se mantiene constante. Sin embargo, si $\alpha >1$, entonces $K$ crece más deprisa que $Y$, de modo que $Y/K$ desciende hasta situarse en la tasa de crecimiento en equilibrio; y si, por el contrario, $\alpha <1$, entonces $Y/K$ aumenta.

Así que, tanto en el modelo de Solow como en el modelo de la dinámica del crecimiento lineal con $\alpha = 1$, la economía crece como en la figura A9.2, a lo largo de una línea que parte del origen. La diferencia estriba en que, en el modelo de Solow, el producto medio del capital viene determinado por la tasa de ahorro: $Y/K=g^*/s$; mientras que en el modelo de la dinámica del crecimiento lineal se puede mantener en equilibrio cualquier nivel de $Y/K$.

Aun así, en ambos modelos se puede lograr exactamente la misma senda de crecimiento en equilibrio si se establece el parámetro del ahorro y la regla de inversión. En el modelo de Solow, el valor de equilibrio del producto medio del capital se puede elegir si se fija el valor de $s$. En el modelo de la dinámica del crecimiento lineal, se puede elegir con una variación dinámica de $\alpha$: $Y/K$ se puede reducir eligiendo que $\alpha > 1$, de modo que las existencias de capital aumenten más deprisa que la producción, o se puede incrementar estableciendo que $\alpha < 1$ hasta que se alcance el valor requerido para $Y/K$; y, a partir de ahí, este se podrá mantener fijando el valor de $\alpha$ en 1.