Unidad 5 Las reglas del juego: ¿Quién obtiene qué y por qué?

Ampliación 5.4 Propiedades de las funciones de producción cóncavas y de las preferencias cuasilineales

La tecnología y las preferencias de Ángela tienen propiedades que pueden considerarse probables en muchos modelos económicos. Su función de producción tiene forma cóncava, igual que la función de producción agrícola de la unidad 1: es una función creciente pero se aplana de manera gradual a medida que aumentan las horas de trabajo. Sus preferencias, igual que las de Karim en la unidad 3, son convexas (tal como se expone en la ampliación 3.3): en otras palabras, sus curvas de indiferencia son decrecientes y se aplanan a medida que nos movemos hacia la derecha. Además, sus preferencias tienen una propiedad especial que resulta útil en algunos modelos: son cuasilineales.

En esta ampliación describimos esas propiedades en términos matemáticos. En primer lugar, conviene aclarar a qué nos referimos con «cóncavo» y «convexo».

Funciones cóncavas y convexas

cóncavo, función cóncava

Se dice que una función, \(f(x)\), es cóncava si su derivada segunda es negativa para todos los valores de \(x\).

convexo, función convexa

Se dice que una función, \(f(x)\), es convexa si su derivada segunda es positiva para todos los valores de \(x\).

Se dice que una función, \(f(x)\), es cóncava si su segunda derivada es negativa para todos los valores de\((x\); es decir, si \(f''(x)\leq0\). Cuando \(f''(x)<0\) para todos los valores de \(x\), entonces es una función estrictamente cóncava.

Si una función es cóncava, su derivada \(f'(x)\) decrece a medida que aumenta \(x\).

Por el contrario, se dice que una función, \(f(x)\), es convexa si su segunda derivada es positiva para todos los valores de \(x\); es decir, si \(f''(x)\geq0\). Cuando \(f''(x)>0\) para todos los valores de \(x\), entonces es una función estrictamente convexa.

Si una función es convexa, su derivada \(f'(x)\) crece a medida que aumenta \(x\).

La figura A5.1 compara los gráficos de cuatro funciones posibles, \(y=f(x)\). Las dos superiores son funciones crecientes (tienen derivada positiva), tal como sería de esperar que fueran en general las funciones de producción. De ellas, la de la izquierda es cóncava (como todos los ejemplos de funciones de producción que usamos en las unidades 1 a 5). Su derivada decrece a medida que aumenta \(x\), de modo que al unir entre sí dos puntos de la curva, la recta resultante se sitúa por debajo de la curva. La de la derecha ilustra una función de producción convexa: su derivada crece a medida que lo hace \(x\), de modo que una recta que una dos puntos cualesquiera de la curva pasará por encima de ella.

Las dos funciones de la parte inferior son decrecientes —trazamos funciones decrecientes para representar curvas de indiferencia, por ejemplo—. La de la izquierda es cóncava: a medida que aumenta \(x\) su derivada decrece, es decir, se vuelve más negativa. Ten cuidado con esto; la curva se vuelve más empinada porque aumenta el valor absoluto de la derivada, pero la derivada en sí es decreciente. De ahí que \(f''(x)<0\): es cóncava. La parte inferior derecha muestra una función convexa decreciente; esta es la forma esperable para la mayoría de las curvas de indiferencia. La curva se aplana (su derivada se vuelve menos negativa) a medida que aumenta \(x\), lo que se corresponde con una segunda derivada positiva.

Unir entre sí dos puntos de la curva con una línea recta es una manera rápida y fácil de distinguir una función cóncava de una convexa. En la figura A5.1, la recta se sitúa por debajo de la curva en el caso de las dos funciones cóncavas de la izquierda, y por encima de ella en el caso de las dos funciones convexas de la derecha.

Propiedades económicas y matemáticas de las funciones de producción

La función de producción de Ángela que se muestra en la figura 5.4 es similar a la función de producción de grano de la sección 1.6 y la función de producción de aceite de oliva de la ampliación 2.4. Todas estas funciones evidencian que la producción de un producto aumenta con la cantidad de mano de obra empleada para producirlo. Si la producción aumentara en la misma proporción que la mano de obra, la función de producción sería una línea recta con una pendiente constante. Pero en cada uno de esos ejemplos hay otros factores de producción que son fijos (la tierra o la maquinaria), de modo que la producción aumenta menos que si lo hiciera de forma proporcional a la mano de obra: la derivada de la función presenta un descenso gradual a medida que se emplea más mano de obra. En otras palabras, todos estos ejemplos tienen funciones de producción crecientes y estrictamente cóncavas.

La figura A5.2a muestra otra función creciente y estrictamente cóncava que supondremos que se corresponde con la función de producción, \(y=g(h)\), de una agricultora como Ángela, donde \(h \ge 0\) son las horas diarias de trabajo, \(y\) es la cantidad de fanegas de trigo producido y \(g(0)=0\).

La función mostrada tiene una forma algebraica simple que se emplea a menudo en ejemplos económicos:

\[g(h)=ah^b \text{ donde $a$ y $b$ son constantes: } a>0, 0<b<1\]

En la figura, \(a=10\) y \(b=0{,}4\).

La figura muestra que la función \(g(h)\) es creciente y estrictamente cóncava. Esto se puede comprobar de forma algebraica usando lo que sabemos sobre las constantes, \(a\) y \(b\):

\[g'(h) = abh^{b-1}>0 \text{ y } g''(h)=ab(b-1)h^{b-2}<0 \text{ para cualquier } h>0\]

producto marginal

El producto marginal de un factor (por ejemplo, el de la mano de obra) es la cantidad adicional de producto que se obtiene por el incremento de una unidad de factor.

La pendiente (o derivada) de la función de producción nos da el producto marginal de la mano de obra (PMgL): es decir, la cantidad adicional de producción al emplear más mano de obra. En otras palabras, es el ritmo al que aumenta la producción al incrementar la mano de obra:

\[\text{PMgL} = g'(h)\]

Aquí definimos el producto marginal de la mano de obra (PMgL) como la tasa de aumento de la producción correspondiente a un incremento pequeño (infinitesimal) del factor de producción, aunque a menudo se interpreta como el aumento de la producción cuando la mano de obra aumenta en una unidad completa (una hora o un trabajador, por ejemplo), lo que no es lo mismo.

La figura A5.2a muestra la tangente de la función de producción en el punto P, donde \(h=5\) y \(y=19,04\). La pendiente de la tangente vale 1,52, es decir, \(g'(5)=1,52\). Decimos que cuando \(h=5\), el producto marginal de la mano de obra equivale a 1,52 fanegas de trigo por hora. Cuando la función de producción es cóncava, el producto marginal de la mano de obra disminuye cuando aumenta el factor mano de obra.

producto medio

El producto medio de un factor de producción es la producción total dividida entre la cantidad total del factor. Por ejemplo, el producto medio de un trabajador (también conocido como productividad del trabajo) es la producción total dividida entre el número de trabajadores empleados para producirla.

El producto marginal no es lo mismo que el producto medio. El producto medio de la mano de obra (PMeL) en \(h\) horas de trabajo es la cantidad media producida a lo largo de todas las horas \(h\) de mano de obra empleada:

\[\text{PMeL} = \frac{g(h)}{h}\]

En la figura A5.2a, el PMeL en el punto P se corresponde con la derivada de la línea que va desde el origen hasta P, que es 19,04/5 = 3,8.

En el texto principal de esta sección señalamos que el PMeL de Ángela disminuye a medida que aumentan sus horas de trabajo. Esta propiedad se da con cualquier función de producción estrictamente cóncava. Por intuición sabemos que si una hora más de trabajo añade menos a la producción que cada una de las horas trabajadas con anterioridad (el PMgL disminuye), entonces el producto medio a lo largo de todas las horas trabajadas también tiene que disminuir (PMeL es decreciente).

Además, si derivamos el producto medio respecto de \(h\) usando la regla del cociente, obtenemos:

\[\frac{d \text{PMeL}}{dh} = \frac{d}{dh} \left( \frac{g(h)}{h} \right) = \left( \frac{hg'(h) - g(h)}{h^2} \right)\]

De modo que la propiedad de que el producto medio es decreciente es equivalente a la propiedad de que el producto marginal es menor que el producto medio:

\[\begin{align*} \frac{d \text{PMeL}}{dh} < 0 & \Rightarrow hg'(h) - g(h) < 0 \Rightarrow g'(h) < \frac{g(h)}{h} \end{align*}\]

La figura A5.2a ilustra esta propiedad: la pendiente de la tangente en P es menor que la pendiente de la recta entre P y el origen. Esto se puede demostrar directamente para funciones de producción que tengan la forma \(g(h)=ah^b\), donde \(a>0\) y \(0<b<1\):

\[g’(h)=abh^{b-1} < ah^{b-1}=\frac{g(h)}{h}\]

La frontera factible y la relación marginal de transformación

Si la tecnología se describe mediante una función de producción \(y=g(h)\), donde \(y\) es la producción de trigo, \(h\) se corresponde con las horas de trabajo por día y \(g\) es una función creciente y estrictamente cóncava, ¿qué podemos decir sobre la forma de la frontera factible?

bienes

En economía se emplea a veces este término de un modo muy general para referirse a cualquier cosa por la que se interese un individuo y de la que querría tener más. Además de los bienes que se venden en un mercado, pueden considerarse bienes, por ejemplo, el tiempo libre o el aire limpio.

Para hallar la ecuación de la frontera factible de Ángela reescribiremos la tecnología en términos de las dos cosas que constituyen bienes para ella: la producción y las horas de tiempo libre, \(t\). Como \(h=24-t\), la frontera factible equivale a:

\[y=g(24-t)\]

Si derivamos con respecto a \(t\) usando la regla de la función compuesta (a veces denominada regla de la cadena):

\[\frac{dy}{dt}=g'(24-t)\frac{d}{dt}(24-t)=-g'(24-t)\]

Como \(g\) es una función creciente \((g'>0)\), podemos deducir que la derivada de la frontera factible es negativa. Además, si volvemos a derivar deduciremos que es estrictamente cóncava:

\[\frac{d^2y}{dt^2}=-g''(24-t)\frac{d}{dt}(24-t)=g''(24-t)<0\]

Tal como explicamos en la ampliación 3.4, el valor absoluto de la derivada de la frontera factible es la relación marginal de transformación, en este caso entre tiempo libre y trigo:

\[\text{RMT}=\left|\frac{dy}{dt}\right|=g'(24-t)\]

La RMT es igual al producto marginal de la mano de obra. La RMT aumenta a lo largo de la frontera, a medida que asciende \(t\) y que desciende \(y\):

\[\frac{d\text{RMT}}{dt}=-g''(24-t)>0\]

Cuando la función de producción vale \(g(h)=ah^b\), la ecuación de la frontera factible es (y=a(24-t)^b). Si derivamos (y recordamos que \(a>0\) y \(0<b<1\)):

\[\begin{align*} \frac{dy}{dt}&=-ab(24-t)^{b-1}<0;\ \frac{d^2y}{dt^2}=ab(b-1)(24-t)^{b-2} < 0 \end{align*}\]

Así que la frontera factible es decreciente y cóncava en \(t\), y la RMT vale \(ab(24-t)^{b-1}\). La figura A5.2b muestra la frontera factible correspondiente al ejemplo de la figura A5.2a, donde \(a=10\) y \(b=0,4\). La frontera factible es una imagen simétrica a la función de producción.

Preferencias de Ángela: cuasilinealidad

preferencias convexas

Se dice que una persona tiene preferencias convexas cuando sus curvas de indiferencia tienen forma convexa —es decir, si se vuelven más planas a medida que se avanza por la curva hacia la derecha del diagrama—. Este perfil típico aparece porque, cuando se tiene más cantidad de un bien (en relación con otro), se está dispuesto a renunciar a más cantidad de él a cambio de una unidad del otro bien: la relación marginal de sustitución decrece a lo largo de la curva.

Ya hemos dicho que en términos generales damos por supuesto que las curvas de indiferencia son decrecientes y convexas. Esto fue lo que asumimos para Karim en la ampliación 3.3 y para Ángela en la parte principal de esta sección. Decimos que Ángela, como Karim, tiene preferencias convexas. El valor absoluto de la derivada de la curva de indiferencia (la relación marginal de sustitución) cae a medida que aumenta la cantidad del bien en el eje horizontal; en otras palabras y como parece lógico, cuanto más tienen de ese bien, más dispuestos están a cambiarlo por el otro. Si escribimos la ecuación de la curva de indiferencia de manera que el bien de un eje sea una función del bien del otro eje, obtenemos una función convexa.

cuasilineal, función cuasilineal

Se dice que una función de utilidad es cuasilineal si depende linealmente de la cantidad de un bien y no linealmente de la de otro. La relación marginal de sustitución entre los dos bienes depende únicamente de la variable no lineal.

Pero las preferencias de Ángela en relación con el consumo y el tiempo libre también tienen una propiedad especial: sus curvas de indiferencia resultan del desplazamiento en vertical de las unas respecto de las otras. Esta propiedad se conoce como cuasilinealidad e implica, tal como se explicó en la parte principal de esta sección, que su RMS entre trigo y tiempo libre depende de la cantidad de tiempo libre que tenga, pero no varía si obtiene más o menos trigo. El supuesto de que las preferencias son cuasilineales es menos verosímil en general, pero es una simplificación útil que se emplea en algunos modelos para facilitar que podamos centrarnos en aspectos concretos de un problema.

Sea \(t\) las horas de tiempo libre que tiene Ángela al día, y \(c\), el número de fanegas de trigo que consume al día. La cuasilinealidad se ilustra en la figura 5.3b, reproducida a continuación como figura A5.3. Recuerda que la RMS en cualquier punto es la derivada de la curva de indiferencia. La figura muestra que todas las tangentes en \(t=18\) son paralelas entre sí. Por tanto, si Ángela tiene 18 horas de tiempo libre, su RMS es la misma con independencia de la cantidad de trigo que consuma.

Las preferencias cuasilineales pueden representarse a través de una función de utilidad con la forma:

\[u(t, c) = c + v(t)\]

donde \(v\) es una función creciente de \(t\): \(v'(t) \gt 0\) porque Ángela prefiere más tiempo libre a menos. Una función de utilidad como esta se denomina cuasilineal porque la utilidad es lineal en \(c\). Con esto mostramos que esta función de utilidad posee la propiedad requerida.

En la ampliación 3.3 demostramos que para cualquier función de utilidad, la RMS es la relación de las utilidades marginales:

\[\text{RMS} = \frac{\partial u}{\partial t} \left/ \frac{\partial u}{\partial c} \right.\]

Aplicamos esta fórmula al caso de la función de utilidad cuasilineal, \(\frac{\partial u}{\partial t}=v'(t)\) y \(\frac{\partial u}{\partial c}=1\), y entonces:

\[\text{RMS} = v'(t)\]

Por tanto, la RMS de Ángela entre consumo y tiempo libre depende de cuánto tiempo libre, \(t\), tiene, pero no de su consumo, \(c\).

Se puede llegar directamente al mismo resultado sin usar la fórmula general. La ecuación de una curva de indiferencia es \(v(t) + c = u_0\), donde \(u_0\) es una constante. Si reordenamos esta ecuación, podemos expresar \(c\) en términos de \(t\) con:

\[c=u_0-v(t)\]

Por lo tanto, la derivada de la curva de indiferencia es \(\frac{dc}{dt}=-v’(t)\), y la RMS se corresponde con el valor absoluto de la derivada, \(v'(t)\).

La expresión de las curvas de indiferencia de esta manera también demuestra que son desplazamientos verticales unas de otras. La distancia vertical entre una curva de indiferencia correspondiente al nivel de utilidad \(u_0\) y otra con una utilidad mayor \(u_1\), es \((u_1-v(t))-(u_0-v(t))=u_1-u_0\), lo cual no depende de \(t\).

Preferencias cuasilineales convexas

En la figura A5.3, las curvas de indiferencia son al mismo tiempo cuasilineales y convexas (tienen la propiedad habitual de reducir la RMS, puesto que se aplanan a medida que se avanza hacia la derecha). Dado que la RMS es \(v'(t)\), tiene que cumplirse que \(v’(t)\) descienda a medida que \(t\) aumenta. En otras palabras, las preferencias cuasilineales también son convexas si:

\[v''(t) < 0\]

Aunque resulte un tanto confuso, esto significa que \(v(t)\) tiene que ser una función cóncava. Tal como se ha señalado con anterioridad, podemos reordenar las curvas de indiferencia para expresar \(c\) como una función de \(t\): \(c=u_0-v(t)\). Entonces:

\[\frac{dc}{dt}=-v'(t) \text { y }\frac{d^2c}{dt^2}=- v''(t)\]

Por tanto, las curvas de indiferencia son convexas si y solo si \(v(t)\) es cóncava: \(v''(t) > 0\).

¿Por qué suponemos que las preferencias son cuasilineales?

Emplear una función de utilidad cuasilineal significa que se establece un supuesto restrictivo sobre las preferencias, lo que no resultaría creíble en todos los modelos económicos. Pero tiene una implicación muy útil. Puesto que la utilidad tiene la forma \('c + \text{algo}'\), se mide en las mismas unidades que el consumo. Ángela valora \(t\) horas de tiempo libre tanto como \(v(t)\) fanegas de trigo.

Esto resulta especialmente útil para un modelo de una trabajadora que valora el tiempo libre y también todos los bienes que puede comprar con la renta que gana. Imagina que en lugar de limitarse a consumir trigo, Ángela puede venderlo en el mercado y adquirir otros alimentos o ropa (o cualquier otra cosa) con las ganancias. En tal caso, todo lo que no sea tiempo libre se puede valorar con las mismas unidades: los ingresos monetarios. Si modelizamos sus preferencias como cuasilineales, podemos emplear los ingresos monetarios para medir las ganancias y pérdidas globales de utilidad resultantes de cambios en el consumo, el tiempo libre o ambos.

Cuasilinealidad: un ejemplo

Un ejemplo de función cuasilineal es:

\[u(t,\ c) = c+ \beta t^\alpha\]

donde \(\beta\) y \(\alpha\) son constantes positivas y \(\alpha\lt1\). Su forma general es \(v(t) +c\), con \(v(t)= \beta t^\alpha\). Para demostrar que se trata de una función de utilidad cuasilineal como la descrita con anterioridad, hay que demostrar que la función, \(v\), es creciente y cóncava en \(t\). Esto es fácil de hacer:

\[v'(t)= \alpha \beta t^{\alpha -1}\]

que es positiva porque \(\beta\) y \(\alpha\) son positivas, y

\[v''(t)= (\alpha -1)\alpha \beta t^{\alpha -2}\]

que es negativa porque \(\beta > 0\) y \(0\lt\alpha < 1\).

Otra posibilidad sería partir de la ecuación de una curva de indiferencia con la forma \(c=u_0-\beta t^\alpha\), y derivar para obtener \(\frac{dc}{dt}\) y \(\frac{d^2c}{dt^2}\).

Más información: Apartados 14.1, 17.1 y 17.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4ª ed., 2015 o 5ª ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.