Unidad 10 Éxitos y fallos de los mercados: efectos de las decisiones privadas en la sociedad

Ampliación 10.2 Efectos externos de la contaminación

Hemos utilizado la figura 10.2, reproducida aquí como figura A10.1, para mostrar los costes privados y sociales marginales de la producción de plátanos. Cuando las plantaciones deciden cuánto van a producir teniendo en cuenta solo sus costes privados, el equilibrio está en el punto A, que no es paretoeficiente. El punto B, donde el coste social marginal de los plátanos es igual al precio en el mercado mundial, sí es un resultado que cumpliría los criterios de eficiencia de Pareto.

Este es un ejemplo de un método muy común para analizar los efectos externos, en especial para comprender problemas medioambientales como la contaminación. Pero el supuesto en el que se basa el análisis (que las empresas o los consumidores a quienes importa el nivel de contaminación tienen preferencias cuasilineales) es fundamental.

En la unidad 5 (en particular, en la ampliación 5.4) analizamos las preferencias cuasilineales con cierto detalle. Como se explica allí, las preferencias cuasilineales son una simplificación útil, porque nos permiten medir la utilidad (beneficios y costes) en términos de ingresos monetarios. La forma general de una función de utilidad cuasilineal es:

\[u(m, x)=m+f(x)\]

donde \(x\) es un bien (o un «mal», si su efecto sobre la utilidad es negativo) y \(m\) son los otros ingresos de la persona (que gasta en otros bienes). Esta función es lineal en \(m\) y tiene la importante propiedad de que la utilidad marginal del bien \(x\) es independiente de los ingresos:

\[\frac{\partial u}{\partial x}=f'(x)\]

Dicho de otro modo (ya que la utilidad marginal de los ingresos es 1), la relación marginal de sustitución (RMS) entre los ingresos y \(x\) depende únicamente del nivel de \(x\).

Por lo tanto, si \(x\) representa el nivel de contaminación atmosférica de una ciudad, por ejemplo, y toda la ciudadanía tiene la misma función de utilidad cuasilineal, entonces la utilidad marginal de una unidad de contaminación será negativa, pero para cada habitante la RMS entre contaminación e ingresos no dependerá del nivel de sus ingresos. Esta es una premisa cuestionable: cabría esperar que las personas ricas estuviesen más dispuestas a renunciar a una parte de sus ingresos a cambio de una mejora de la calidad del aire.

Preferencias, beneficios y eficiencia de Pareto en el modelo del Weevokil

En nuestro modelo del Weevokil, hemos adoptado, en la práctica, preferencias cuasilineales, dando por supuesto que tanto los propietarios de las plantaciones como los pescadores se preocupan por el Weevokil únicamente porque afecta a los beneficios obtenidos del cultivo de las plataneras y de la pesca. Para ambos grupos, su utilidad depende solo de sus pagos monetarios netos. Por lo tanto, podemos expresar sus pagos de forma cuasilineal.

Pensemos, en primer lugar, en lo que les importa a los pescadores. Su medio de vida depende de los beneficios obtenidos de la pesca, pero sufren los efectos de la contaminación causada por la producción de plátanos. Vamos a formular la utilidad de los pescadores como la suma de dos términos, uno que depende de la producción de plátanos, \(Q\), y otro que no:

\[u(m_f, Q)=m_f -C_e(Q)\]

Aquí, \(C_e(Q)\) representa los costes que las plantaciones imponen a los pescadores: los costes externos de la producción de plátanos. Y \(m_f\) representa «otros ingresos», donde se incluyen todos los ingresos netos que no son una función de \(Q\). Suponemos que \(C^{\prime}_e(Q)>0\), lo que implica que la utilidad de los pescadores disminuye con \(Q\); es decir, los plátanos son un «mal» para ellos.

Para simplificar la explicación, supondremos que las plantaciones de la isla tienen un solo dueño, que es quien decide el nivel de \(Q\). No olvides que los plátanos se venden al precio del mercado mundial, \(P^W\), lo que convierte al propietario en un precioaceptante, no en un monopolista. De ahí que esta suposición no afecte al resultado: solo significa que no tenemos que hallar la producción que maximiza el beneficio de cada plantación y sumar todas las producciones. Con \(C_p(Q)\) nos referimos a los costes privados de la plantación por el cultivo de las plataneras. Como ya hicimos antes, nos resulta útil incluir explícitamente un término, \(m_p\), para cualquier otro ingreso neto que perciba el propietario. Así, podemos expresar el pago del propietario de la plantación de esta forma:

\[y(m_p, Q)= m_p + (P^W Q-C_p(Q))\]

Ahora vamos a establecer la correspondencia entre los elementos del modelo y la situación ilustrada en la figura A10.1. El precio de los plátanos en el mercado mundial, \(P^W\), es 400 dólares, mientras que el coste privado marginal para las plantaciones es:

\[\text{CPM} = C^{\prime}_p(Q)\]

En la figura, el CPM aumenta con \(Q\), de acuerdo con la propiedad \(C_p''(Q) > 0\). El coste externo marginal de los plátanos es el coste marginal que experimentan los pescadores, que es:

\[\text{CEM} = C^{\prime}_e(Q)\]

y el coste social marginal es la suma de los dos costes:

\[\text{CSM}=\text{CPM}+\text{CEM} = C^{\prime}_p(Q) + C^{\prime}_e(Q)\]

Por lo tanto, la línea que representa el CSM se encuentra por debajo de la línea del CPM. Hemos supuesto que el CEM también se incrementa con \(Q\) \((C_e''(Q)>0)\), por lo que el CSM tiene pendiente ascendente, más pronunciada que el CPM.

La elección privada de producción de plátanos no es paretoeficiente

El propietario de la plantación elige \(Q\) para maximizar el beneficio. Derivando la expresión anterior del pago del propietario e igualándola a cero, vemos que el nivel de producción que maximiza el beneficio para el propietario, \(Q_p\), satisface la condición de primer orden:

\[\begin{align*} \frac{\partial y}{\partial Q} = P^W-C^{\prime}_p(Q)&=0\\ \Rightarrow P^W&=C^{\prime}_p(Q_p) \end{align*}\]

Se trata del punto A de la figura A10.1, donde el CPM es igual a \(P^W\), que es el beneficio social marginal del cultivo de plátanos. Comprobando la condición de segundo orden, podemos confirmar que, como \(-C_p''(Q)<0\), A es un punto máximo.

En la parte principal de esta sección, hemos argumentado que el resultado que se da en A, \(Q=Q_p\), no es paretoeficiente, porque es posible conseguir una mejora de Pareto. Si deseas una versión matemática de la argumentación, supón que se aumentara la producción una cantidad muy pequeña (infinitesimal). Entonces, el correspondiente cambio en el beneficio es:

\[\frac{\partial y}{\partial Q} = P - C^{\prime}_p(Q_p)\]

que es igual a cero (para una variación infinitesimal). Pero el efecto sobre los pescadores es:

\[\frac{\partial u}{\partial Q} = \ - \ C^{\prime}_e(Q_p) < 0\]

Los efectos de una disminución infinitesimal de \(Q\) tendrían el signo opuesto. Por lo tanto, los pescadores saldrían ganando con \(C^{\prime}_e(Q_p)>0\), sin que el propietario de la plantación resultase afectado en ningún sentido. Y, si los pescadores tuvieran que hacer un pago, \(\tau\) (una transferencia de renta), al propietario de la plantación a cambio de una pequeña reducción de \(Q\), donde \(0<\tau< C^{\prime}_e(Q_p)\), ambos saldrían ganando:

• Ganancia para la plantación = \(\tau\)
• Ganancia para los pescadores = \(C^{\prime}_e(Q_p)- \tau\)

Si aplicas el mismo análisis al resultado del punto B, donde el coste social marginal es igual al precio \((C^{\prime}_p(Q) +C^{\prime}_e(Q) = P^W)\), verás que una variación infinitesimal en \(Q\) dará lugar a una ganancia para un grupo que será exactamente igual a la pérdida del otro. Por lo tanto, en este caso, el que gana no puede hacer un pago para compensar al que pierde y aun así salir ganando, es decir, el resultado es paretoeficiente.

Este análisis y el equivalente gráfico de la parte principal de la sección requieren cuasilinealidad. Sin ella, el CEM que sufren los pescadores cambiaría si hicieran o recibieran un pago de transferencia. El gráfico ya no nos ayudaría a localizar asignaciones paretoeficientes, porque la variación del CEM desplazaría la línea del CSM.

Cómo hallar asignaciones paretoeficientes

Una asignación cumple los criterios de eficiencia de Pareto si al menos una persona puede salir mejor parada sin que nadie empeore su situación. Un método general para hallar asignaciones paretoeficientes es analizar si la asignación de bienes podría cambiarse para aumentar el pago de una persona, para niveles dados de los pagos de las demás. Las asignaciones que maximizan el pago de la persona son paretoeficientes.

En nuestro modelo en el que todos se preocupan por dos cosas (la cantidad de bienes o males y otros ingresos), reorganizar la asignación se traduce en redistribuir estas dos cosas entre las personas afectadas.

En concreto, nos fijamos en cómo podría maximizarse el pago de uno de los grupos (pescadores o productores de plátanos) cambiando la cantidad de plátanos producidos y, al mismo tiempo, transfiriendo rentas entre los grupos, sin cambiar el pago del otro grupo. Para responder a esa pregunta, podríamos resolver el siguiente problema de elección restringida, en el que \(\tau\) se define como una transferencia monetaria de los pescadores al propietario de la plantación. Ten en cuenta, no obstante, que puede llegar a suceder que el valor de \(\tau\) sea negativo, es decir, es el propietario de la plantación quien debería hacer un pago a los pescadores.

La solución de este problema implica hallar los valores posibles de \(\tau\) y \(Q\) que maximizan el pago de los pescadores, \(u\), ya que el propietario de la plantación recibe un nivel de pago específico de \(y_0\). Hemos escrito \(m^0_f\) para los ingresos de los pescadores para el caso de que tanto \(Q\) como \(\tau\) sean cero (sus ingresos si no hubiese producción de plátanos) y hemos supuesto que el propietario de la plantación no obtiene ingresos en esta situación (por comodidad; este supuesto no afecta a nuestras conclusiones).

Hallar la solución para todos los niveles posibles de \(y_0\) nos dará todas las asignaciones paretoeficientes. Usando el método de sustitución, no tiene ninguna complicación resolver este problema. Si transponemos los términos de la restricción, obtenemos:

\[\tau =y_0 - P^W Q + C_p(Q)\]

Sustituyendo \(\tau\) en el pago de los pescadores, obtenemos la función objetivo (la que queremos maximizar) en función de \(Q\) solamente:

\[u=m_f^0 - y_0 +P^WQ - C_p(Q) - C_e(Q)\]

Derivando obtenemos la condición de primer orden para \(Q\):

\[\begin{align*} \frac{du}{dQ} = P^W - C^{\prime}_p(Q) - C^{\prime}_e(Q) &= 0 \\ \Rightarrow C^{\prime}_p(Q) + C^{\prime}_e(Q)& = P^W \end{align*}\]

La condición de primer orden nos dice que el nivel de \(Q\) en cualquier asignación paretoeficiente satisface la condición:

\[\text{CPM} + \text{CEM} = P^W\]

Es decir, el coste social marginal es igual al beneficio social marginal. Como puedes comprobar, de acuerdo con nuestros supuestos sobre las funciones de costes, se satisface la condición de segundo orden y solo puede haber un valor paretoeficiente de \(Q\): es el valor en el punto B de la figura A10.1, al que llamaremos \(Q^*\).

¿Y qué hay del pago de transferencia, \(\tau\)? Sustituyendo la \(Q\) paretoeficiente de vuelta en la expresión anterior, obtenemos:

\[\tau^* =y_0 - P^WQ^* + C_p(Q^*)\text{ o, lo que es equivalente, } y_0 =\tau^* + P^W Q^* - C_p(Q^*)\]

Por lo tanto, el pago de transferencia requerido es el que garantizará que, junto con los beneficios de la plantación en \(Q=Q^*\), el pago total del propietario sea \(y_0\). El pago de transferencia depende de \(y_0\) y podría tener signo positivo o negativo.

En resumen, para que exista eficiencia de Pareto en este modelo, el nivel de la producción de plátanos debe ser \(Q=Q^*\), sin que importe la cuantía de otros ingresos. Asimismo, \(Q^*\) no depende del valor que especifiquemos para el pago de la plantación, \(y_0\). Se puede obtener cualquier valor de \(y_0\) que se desee mediante una transferencia entre los pescadores y el propietario de la plantación.

Dicho de otra manera, para la eficiencia de Pareto en la producción de plátanos no importa el nivel de los ingresos (aunque sí importa mucho para todas las personas implicadas). Esta propiedad es consecuencia directa de haber asumido cuasilinealidad. Todos los implicados solo buscan maximizar su pago monetario total, y los costes marginales de la producción de plátanos no varían con los ingresos.

Tal vez te hayas preguntado por qué hemos expresado el problema de eficiencia de Pareto como la maximización de la utilidad de los pescadores para un pago dado al propietario de la plantación. ¿Y por qué no al revés? La respuesta es que igualmente podríamos haber maximizado el pago del propietario de la plantación para un nivel dado de utilidad de los pescadores. Las conclusiones a las que habríamos llegado serían las mismas.

Mejoras de Pareto

Este planteamiento nos puede servir para resolver cómo, para cualquier asignación inicial dada, es posible llegar a una asignación que cumpla los criterios de eficiencia de Pareto y consiga que todos salgan ganando.

Supongamos que partimos de la asignación en que el propietario de la plantación elige el nivel de producción, es decir, el punto A de la figura A10.1, donde \(Q=Q_p\). El pago del propietario en ese punto es:

\[y_0= P^W Q_p - C_p(Q_p)\]

Resolver el problema de elección restringida para este valor de \(y_0\) nos dice que podemos conseguir que los pescadores salgan tan bien parados como sea posible sin disminuir el pago del propietario si la producción de plátanos se reduce a \(Q^*\) y los pescadores compensan al propietario pagándole una transferencia exactamente igual a la disminución en los beneficios obtenidos de los plátanos: resultado paretoeficiente y además mejora de Pareto.

También podríamos plantearnos una situación en la que las plataneras no puedan cultivarse sin el uso de Weevokil y que no se pueda utilizar Weevokil sin el acuerdo de los pescadores. En ausencia de un acuerdo, el pago del propietario es cero. Resolver el problema anterior para el caso de que \(y_0=0\) nos da que \(Q=Q^*\) y que \(\tau^*= - (P^W Q^*-C_p(Q^*))\). Esto representa un acuerdo en el que el propietario de la plantación produce \(Q^*\) y transfiere todos los beneficios a los pescadores. Una vez más, esto constituye un resultado paretoeficiente y también una mejora de Pareto.

En estos dos ejemplos, el pago del propietario de la plantación no varía. Pero, si elegimos un nivel más alto de \(y_0\), podríamos hallar resultados paretoeficientes en los que ambas partes salieran mejor paradas estrictamente.

¿Y si las preferencias no son cuasilineales?

Si bien el hecho de que haya un solo nivel de producción paretoeficiente depende del supuesto de cuasilinealidad, en general es cierto que la elección privada de la plantación de \(Q\) no será paretoeficiente. Para un modelo más general, supongamos que la utilidad de los pescadores viene dada por:

\[u(m_f, Q) \text{ donde } \frac{\partial u}{\partial m_f}>0 \text{ y también } \frac{\partial u}{\partial Q} < 0\]

Como antes, los costes externos marginales de la producción de plátanos vienen determinados por \(-\frac{\partial u}{\partial Q}\); esta es la reducción marginal de la utilidad causada por un aumento marginal de \(Q\). Pero, por regla general, se tratará de una función tanto de \(m_f\) como de \(Q\):

\[\text{CEM} = -\frac{\partial u}{\partial Q}(m_f, Q)\]

Dicho de otro modo, es posible que los costes externos marginales dependan de si los otros ingresos de los pescadores son altos o bajos.

¿En qué influye esto en nuestro análisis? El método descrito más arriba para hallar asignaciones paretoeficientes es bastante general: podemos usarlo aunque las preferencias no sean cuasilineales. El problema de elección restringida se muestra en el cuadro siguiente.

Como antes, podemos resolverlo usando el método de sustitución, pero hay que tener cuidado en el paso de la diferenciación. Sustituyendo \(\tau =y_0 - P^W Q + C_p(Q)\) por la utilidad de los pescadores, podemos expresar la función objetivo de esta forma:

\[u(m_f, Q) \text{ donde } m_f= m_f^0 - y_0 +P^W Q - C_p(Q)\]

Conviene tener en cuenta que ambos argumentos de la función \(u\) dependen de \(Q\). Derivando (y usando la regla de la cadena para el primer argumento), obtenemos la condición de primer orden:

\[\begin{align*} \frac{du}{dQ} =\frac{\partial u}{\partial m_f}\frac{dm_f}{dQ}+ \frac{\partial u}{\partial Q}&= 0 \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial m_f}(P^W - C^{\prime}_p(Q)) + \frac{\partial u}{\partial Q}&= 0 \end{align*}\]

Como antes, las asignaciones paretoeficientes \((Q,\tau)\) satisfacen esta ecuación y \(\tau =y_0 - P^W Q + C_p(Q)\). Pero no olvides que las derivadas parciales de la condición de primer orden dependen de \(m_f\) y también de \(Q\). Así que, en este caso, los niveles paretoeficientes de \(Q\) y de \(\tau\) dependen del valor que elijamos para \(y_0\).

Llegamos a la conclusión de que hay un conjunto de asignaciones paretoeficientes \((Q,\tau)\) que corresponden a diferentes valores de \(y_0\).

Podemos utilizar las ecuaciones que derivamos arriba para demostrar que, aun cuando existen muchas asignaciones paretoeficientes, el nivel de \(Q\) elegido por las plantaciones no cumple los criterios de eficiencia de Pareto. En el nivel de producción \(Q=Q_p\):

\[P^W=C^{\prime}_p(Q) \Rightarrow \frac{dm_f}{dQ}=0\]

Así pues, la derivada de la función objetivo es:

\[\frac{du}{dQ} =\frac{\partial u}{\partial Q} <0\]

Por lo tanto, la condición de primer orden de la eficiencia de Pareto no puede satisfacerse para \(q=Q_p\). Las plantaciones solo se preocupan por su propio beneficio y no tienen en cuenta el efecto negativo que se causa a los pescadores.

Evaluando la derivada segunda, podemos deducir algo más: la producción elegida por las plantaciones, \(Q_p\), siempre es demasiado alta. Puedes comprobar que (siempre que CEM aumente con \(Q\) como en el modelo cuasilineal) \(\frac{d^2u}{dQ^2}<0\) en ese punto. Como \(\frac{du}{dQ}\) también es negativo en ese punto, la producción debe reducirse para que se satisfaga la condición de primer orden de la eficiencia de Pareto.