Unidad 6 La empresa y su personal
6.5 Gestión de las contrataciones y los abandonos: la curva del salario de reserva
¿Cómo se encuentran empresas y trabajadores en el mercado de trabajo y cómo deciden si se unen? Normalmente, las empresas anuncian sus vacantes y los trabajadores las solicitan; a continuación, las primeras ofrecen un contrato de trabajo a quienes cumplan sus requisitos, que pueden aceptarlo o rechazarlo.
Un factor importante en la decisión es el sueldo. Para algunas personas (como los altos directivos), el salario es negociable. En algunos tipos de trabajo en ciertos países, es posible que se haya acordado con un sindicato lo que se paga por cada puesto. Pero para muchos trabajadores, el salario lo determina el empleador y es igual para todas las personas que hacen el mismo trabajo en la empresa. Por lo tanto, los empleadores deben pensar en lo alto que debe ser el salario para poder reclutar y mantener al número de trabajadores que necesitan.
Salarios de reserva
En los modelos que usamos en esta unidad, suponemos que las empresas reclutan trabajadores que están desempleados en ese momento. En la práctica, hay quienes cambian directamente de un trabajo a otro, pero centrarnos en quienes consiguen y pierden trabajos nos ayuda a simplificar el análisis y, en especial, arroja luz sobre una de las cuestiones más importantes acerca del mercado de trabajo: ¿Qué determina los niveles generales de empleo y desempleo?
Piensa en la situación de Françoise, que se graduó hace poco en una universidad de París. Mientras decide cómo encauzar su carrera profesional, opta por buscar trabajo dando clases de francés a extranjeros. Con sus cualificaciones y por lo que conoce sobre las oportunidades de trabajo en la enseñanza, cree que podría encontrar un empleo con un sueldo de 700 euros a la semana.
Actualmente, sin embargo, una academia de idiomas anuncia vacantes por 580 euros semanales. ¿Debería solicitar un puesto?
- opción de reserva
- Cuando alguien hace una elección entre las opciones disponibles en una transacción concreta, la opción de reserva es la siguiente mejor alternativa. También llamado: plan B. Véase también: precio de reserva.
- utilidad
- Indicador numérico del valor que alguien da a un resultado. Los resultados de mayor utilidad se eligen antes que otros de menor utilidad, cuando ambos son posibles.
Su decisión depende de si aceptar el puesto le resulta más ventajoso que su opción de reserva, es decir, la siguiente mejor alternativa de que dispone, que es seguir desempleada y buscar un trabajo que tenga un salario más alto. El valor de la opción de reserva para las personas que están en su situación depende de tres factores:
- Sus ingresos mientras esté desempleada (incluidas las prestaciones a las que tenga derecho), más la ayuda que pueda brindarle su familia.
- Otras circunstancias que afectan a su utilidad mientras esté en el desempleo, como el tiempo que pueda dedicar a seguir estudiando o a ayudar a su familia, o la sensación de aburrimiento, soledad y ansiedad sobre la búsqueda de trabajo.
- El tiempo que cree que tardaría en encontrar una oportunidad mejor.
- salario de reserva
- El salario más bajo que se está dispuesto a cobrar para aceptar un nuevo empleo. Es el salario disponible en la siguiente mejor opción para el trabajador (la opción de reserva). En el caso de personas cuya siguiente mejor opción sea el desempleo, el salario de reserva tiene en cuenta el sueldo que esperan recibir cuando encuentren un nuevo empleo, así como los ingresos percibidos mientras están desempleadas.
Después de sopesar estos factores, decide que no debería aceptar un salario inferior a 600 euros. Ese es su salario de reserva. A efectos prácticos, cree que estar desempleada equivale a tener un trabajo con un sueldo de 600 euros a la semana. Así que no aceptaría un trabajo de 580 euros. Decide no responder al anuncio.
Contrataciones y abandonos
Ahora piensa en la situación de una academia de idiomas de París que ofrece cursos intensivos de francés a estudiantes de intercambio. Da trabajo a profesores de idiomas, la mayoría de los cuales, al igual que Françoise, se han graduado recientemente y es probable que no estén más de seis meses o un año, antes de emprender otra etapa en su carrera profesional.
Supón que el número de profesores empleados es \(N\) y que cada semana dejan el trabajo un promedio de un 4 % de ellos. Así, el número de quienes lo dejan será 0,04\(N\). Si la academia desea tener una plantilla de \(N\) = 50 docentes, es de esperar que cada semana se vayan dos (0,04 × 50) y tendrá que contratar a otros dos profesores para cubrir esas vacantes.
Nadie aceptará ofertas de trabajo si el salario está por debajo de su salario de reserva, el cual será distinto para cada persona en función de sus circunstancias individuales. Por eso, cuando la academia publica anuncios de vacantes, el número de docentes que puede contratar depende de cuántas personas busquen trabajo y vean el anuncio y de cuántas de ellas tengan salarios de reserva inferiores al sueldo que ofrece.
La recta con pendiente positiva de la figura 6.5 muestra cuántos profesores por semana puede contratar la academia, dependiendo del salario. El salario de reserva más bajo entre todos los posibles solicitantes es de 550 euros. Si la academia ofrece poco más de 550 euros, muy pocas personas aceptarán una oferta de trabajo. Si lo sube, quienes tengan un salario de reserva algo más alto lo aceptarán y la academia podrá contratar a más docentes. A cualquier salario \(w\) dado, la recta de contrataciones nos dice el número de posibles solicitantes que cada semana tienen un salario de reserva menor de \(w\).
Para mantener una plantilla de 50, la academia necesita contratar a dos personas por semana, por lo que debería establecer un salario de 675 euros. Sigue los pasos para entender qué sucede si quiere más o menos empleados.
Figura 6.5 Fijación del salario para que el número de contrataciones se iguale con el de abandonos.
Recta de contrataciones
Plantilla de 50
N = 70 y N = 20
Como muestra la figura 6.5, el salario que iguala las contrataciones y los abandonos aumenta con el número, \(N\), de empleados. Hemos usado ese dato para representar el salario requerido para tener una plantilla con \(N\) trabajadores en la figura 6.6. Las rectas de contrataciones y abandonos del panel superior muestran que, si \(N\) = 50, se irán dos trabajadores a la semana como promedio y que se necesita un salario de 675 euros para sustituirlos. En el panel inferior, hemos dibujado el punto (\(N=50\), \(w=675\)), así como el correspondiente a otros niveles de empleo.
Figura 6.6 Salario requerido para mantener el empleo de \(N\) personas.
La recta con pendiente positiva de la figura 6.6 nos informa del salario necesario para mantener una plantilla de \(N\) personas. Pero también nos dice los salarios de reserva de los profesores que estarían dispuestos a trabajar cobrando esa cantidad. Si la academia fija un salario de 725 euros y da trabajo a 70 profesores, sus empleados tendrán salarios de reserva de entre 550 y 725 euros. Y 50 de ellos los tendrán por debajo de 675 euros. La línea del salario requerido de una empresa es también su curva del salario de reserva (aunque sea una recta en este ejemplo) y representa los salarios de reserva de su personal.
Cuando la academia decide qué salario establece (sección 6.10), la curva del salario de reserva es un factor importante a tener en cuenta. Pero antes tenemos que sopesar otro aspecto de la relación laboral que afectará a sus beneficios: el esfuerzo en el trabajo.
Pregunta 6.6 Elige las respuestas que sean correctas
Lee los siguientes enunciados sobre la figura 6.6 y elige los que sean correctos.
- La ordenada en el origen representa el salario de reserva más bajo; los demás puntos de la línea de contrataciones representan salarios de reserva también.
- La línea de contrataciones muestra el salario que la empresa tiene que pagar para sustituir al número medio de trabajadores que se van cada semana.
- 725 euros es el salario de reserva más alto de todos los empleados (quienes lo tienen más bajo están dispuestos a que los contraten; quienes lo tienen más alto no lo están); 550 euros es el salario de reserva más bajo.
- Ahora, la empresa necesita contratar a cinco personas a la semana, y no a dos; si la recta de contrataciones y la curva del salario de reserva se mantienen igual, el salario que la empresa debe pagar es más alto que antes.
Ampliación 6.5 El modelo de contrataciones y abandonos
En la parte principal de esta sección hemos visto que hay una relación con pendiente positiva entre \(w\) y \(N\), la cual determina el salario \(w\) que una empresa debe pagar si quiere tener una plantilla con el tamaño \(N\). La relación refleja los salarios de reserva de los posibles empleados. En esta ampliación, derivamos la ecuación algebraica de esta curva del salario de reserva, que depende de parámetros representativos de las condiciones del mercado de trabajo que afronta la empresa. Para determinar las propiedades de la curva, usamos el análisis matemático (diferenciación).
Vamos a tomar el ejemplo de una empresa que quiere tener una plantilla de \(N\) personas. Sabe que, de media, cada semana una proporción \(q\) de sus empleados dejará el trabajo: \(q\) es la tasa de abandonos prevista. Así, para mantener una plantilla del tamaño \(N\), tendrá que contratar a \(qN\) personas cada semana.
Encontrar trabajadores lleva tiempo. Las empresas buscan a personas que tengan las destrezas y cualidades necesarias para el trabajo; del mismo modo, los trabajadores buscan trabajos que les vengan bien. Supón que la empresa encuentra una media de \(m\) emparejamientos (trabajadores) adecuados por semana, que aceptarán una oferta de trabajo si se les paga al menos el equivalente a su salario de reserva.
Pero cada trabajador tiene un salario de reserva distinto, mientras que la empresa debe fijar el mismo salario para todo el personal que desempeñe el mismo trabajo. Supón que la empresa ofrece un salario de \(w\). Vamos a escribir \(P(w)\) para representar la proporción de personas que aceptarían la oferta, es decir, la probabilidad de aceptación. Cuanto más alto sea \(w\), mayor será el número de personas que acepten. Por lo tanto, \(P(w)\) es una función creciente.
Entonces, el número de trabajadores que la empresa puede reclutar a la semana es de \(mP(w)\). Para mantener el nivel de empleo de la empresa en \(N\), el salario debería ser suficientemente alto para que el número de contrataciones sea igual al de abandonos:
\[\underbrace{mP(w)}_{contrataciones} = \underbrace{qN}_{abandonos}\]Cuando se satisface esta ecuación, la empresa está en «equilibrio estacionario»: el salario es tal que el número de empleados, \(N\), se mantiene constante en el tiempo.
La figura A6.1 (tomada de la figura 6.5) muestra el caso particular de este modelo que usamos para la academia de idiomas de la sección 6.5. Supusimos que la empresa quería emplear a \(N = 50\) personas y que la tasa de abandonos, \(q\), era de 0,04. La línea vertical representa la media de abandonos a la semana, \(qN = 2\), mientras que la recta con pendiente positiva corresponde a las contrataciones por semana, \(mP(w)\); el número de contrataciones a la semana aumenta con el salario, \(w\).
El salario que satisface la ecuación, \(mP(w)=qN\), es el que hay que pagar para tener un nivel de empleo de equilibrio estacionario, \(N\). En la figura, la solución es \(w = 675\), donde se cruzan las dos líneas.
Figura A6.1 Modelo de contrataciones y abandonos de la academia de idiomas, cuando \(N = 50\) y \(q = 0{,}04\).
En el ejemplo de la academia, hemos dibujado la línea de contrataciones como una recta para no complicar el modelo. De forma más general, podemos suponer que tendrá pendiente positiva, ya que \(P(w)\) es una función creciente, pero su forma dependerá de la distribución de los salarios de reserva de la población de trabajadores.
Curva del salario de reserva de la empresa
La ecuación \(mP(w)=qN\) señala una relación importante entre \(w\) y \(N\) y, siempre que no nos quepa duda de que da un único valor de \(w\) por cada valor de \(N\), podemos describirla como la ecuación de la curva del salario de reserva. Dicho de otro modo, tenemos que asegurarnos de que la línea de contrataciones y la de abandonos de la figura A6.1 se cruzan en un solo punto.
La excepción sería si la tasa de abandonos (\(q\)) fuera tan alta y el número de emparejamientos adecuados por semana (\(m\)) tan bajo que, incluso con un salario suficientemente alto que todos los trabajadores aceptaran, es decir, \(P(w) = 1\), la empresa no podría encontrar el número de trabajadores que necesitase.
Pero esta ecuación es lo que llamamos una ecuación implícita para \(w\): sin conocer la función \(P(w)\), no podemos transponer términos para despejar \(w\) en un lado y todo lo demás en el otro (y puede que ni siquiera conociendo \(P\) pudiéramos hacerlo). No obstante, resulta claro concluir que es de esperar que tenga una única solución para \(w\): como el lado derecho de la ecuación es una función creciente de \(w\) y el lado izquierdo es constante, solo pueden ser iguales en un punto.
Así, podemos pensar que la ecuación \(mP(w)=qN\) determina implícitamente \(w\) como función de \(N\). Sea cual sea el valor de \(N\), nos da el salario necesario correspondiente, \(w\). De igual modo, para cualquier valor de \(w\), nos dice qué nivel de empleo de equilibrio estacionario podría tener la empresa.
En segundo lugar, nos dice que se trata de una relación positiva: \(w\) es una función creciente de \(N\). En la parte principal de esta sección, lo hemos deducido a partir del diagrama; en la figura A6.1, un aumento del empleo deseado, \(N\), desplazaría la línea vertical de abandonos hacia la derecha, por lo que la intersección se produciría a un salario más alto.
Algebraicamente podemos deducirla mediante cálculo diferencial. Como podemos transponer los términos de la ecuación para que \(N\) sea una función explícita de \(w\), una forma sencilla de hacerlo es calcular \(dN/dw\):
\[N= \frac{mP(w)}{q} \Rightarrow \frac{dN}{dw}= \frac{mP'(w)}{q}\]Dado que \(P'(w)>0\) y que \(m\) y \(q\) también son positivos, se confirma que \(dN/dw>0\); \(N\) es una función creciente de \(w\). De modo equivalente, \(w\) es una función creciente de \(N\). Podemos aplicar la regla de la función inversa para invertir la derivada:
\[\frac{dw}{dN}= \frac{1}{\frac{dN}{dw}}=\frac{q}{mP'(w)}>0\]Esta es la relación mostrada para la academia de idiomas en la figura A6.2, tomada de la figura 6.6. Como hemos representado \(w\) en el eje vertical, la pendiente de la línea en la figura es \(dw/dN\). Además, la expresión anterior nos dice que la línea es bastante plana si subir o bajar el salario tiene mucha repercusión en la contratación (\(P'(w)\) es alta) y tiene mucha inclinación si la contratación no depende mucho del salario.
Figura A6.2 Salario requerido para dar empleo a \(N\) trabajadores (la curva del salario de reserva).
Recuerda que ya se explicó en la sección 6.5 que, como la relación de la figura A6.2 se obtiene de la distribución de los salarios de reserva entre los trabajadores, también nos dice la distribución de los salarios de reserva entre los empleados de la empresa. Para cualquier valor de \(w\), nos dice cuántos de los empleados tienen salarios de reserva iguales o inferiores a ese nivel. Por eso la llamamos «curva del salario de reserva».
Cambios en las tasas de emparejamientos y abandonos
Volviendo a la ecuación que subyace en la curva del salario de reserva, podemos calcular cómo se desplaza la línea si cambia uno de los parámetros, \(m\) o \(q\). \(N\) es una función creciente de \(w\), pero también depende de \(m\) y de \(q\), por lo que podemos usar la derivada parcial para determinar el efecto:
\[N= \frac{mP(w)}{q} \Rightarrow \frac{\partial N}{\partial m}= \frac{P(w)}{q}>0 \text{ y }\frac{\partial N}{\partial q}= -\frac{mP(w)}{q^2}<0\]Por lo tanto, si sube la tasa con la que la empresa encuentra trabajadores adecuados (pero la tasa de abandonos se mantiene igual), puede emplear a más trabajadores a cualquier salario dado y la curva del salario de reserva se desplaza hacia abajo. Esto sucede porque tarda menos tiempo en encontrar a personas que acepten ese salario. Un aumento de la tasa de abandonos (ceteris paribus) tiene el efecto opuesto. Si hay más personal que deja el trabajo cada semana, la curva se desplaza hacia arriba. A cualquier salario dado, la contratación no ha cambiado. Para que los abandonos sean iguales a las contrataciones, el número de empleados en equilibrio estacionario debe ser más bajo.
Ejercicio A6.1 Derivación de la curva del salario de reserva
Supón que la probabilidad de aceptación del salario \(w\) es la función \(P(w) = k(w \ – \ r_0)\), siendo \(r_0\) el salario de reserva más bajo de la población (y el más alto es tan alto que la empresa nunca podrá contratar a todos los trabajadores que necesita).
Deriva la curva del salario de reserva para esta función y traza un gráfico adecuado de ella similar al de la figura A6.2. Explica, por medio de las matemáticas y de la intuición, cómo cambia cuando sube la tasa de abandonos.
Más información: Sección 7.4 (sobre la regla de la función inversa) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for economists: An introductory textbook (4.ª ed., 2015 o 5.ª ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
