Unidad 6 La empresa y su personal
6.10 Combinación de contratación y disciplina laboral: el modelo de fijación de salarios
- problema de la disciplina laboral, modelo de disciplina laboral
- Los empleadores se enfrentan a un problema de disciplina laboral cuando deben dar a los empleados un incentivo para que se esfuercen y trabajen bien. En el modelo de disciplina laboral, el estímulo consiste en fijar salarios que incluyan una renta económica (renta del empleo) que perderán si se termina la relación laboral. Véase también: renta del empleo.
El salario influye tanto en el número de trabajadores que una empresa puede emplear como en lo que se esforzarán sus empleados (el problema de la disciplina laboral). ¿Cómo puede establecer la empresa un salario que aborde ambas cuestiones? En general, el salario requerido para contratar a suficientes trabajadores a fin de alcanzar un nivel concreto de empleo no será tan alto como para motivarlos a trabajar duro.
- salario de reserva
- El salario más bajo que se está dispuesto a cobrar para aceptar un nuevo empleo. Es el salario disponible en la siguiente mejor opción para el trabajador (la opción de reserva). En el caso de personas cuya siguiente mejor opción sea el desempleo, el salario de reserva tiene en cuenta el sueldo que esperan recibir cuando encuentren un nuevo empleo, así como los ingresos percibidos mientras están desempleadas.
Vamos a estudiar el ejemplo de la academia de idiomas de París que ya presentamos en la sección 6.5, la cual da trabajo a jóvenes graduados para que impartan cursos breves de francés para estudiantes de intercambio. La figura 6.10 muestra la curva del salario de reserva de la academia, que nos dice el salario requerido para dar trabajo a \(N\) personas. Los posibles docentes solo aceptan una oferta de trabajo si el salario es más alto que su salario de reserva, que es distinto para cada persona según su utilidad individual del desempleo. Por lo tanto, para contratar y retener a más personal, la academia tiene que aumentar el salario.
Por ejemplo, si el salario es de 650 euros, la academia solo podrá contratar a quienes tengan un salario de reserva menor o igual a 650 euros, que como máximo serán 40. Si sube el salario a 700 euros, también puede atraer a quienes tengan un salario de reserva de entre 650 y 700 euros, lo que aumentaría la plantilla a 60.
Figura 6.10 Curva del salario de reserva de la academia.
Si la academia fija un salario de 650 euros y da trabajo a 40 profesores, sus empleados tendrán salarios de reserva de entre 550 y 650 euros. Pero también quiere que se esfuercen (dar clase con eficacia requiere una preparación esmerada) y resulta imposible controlar y evaluar la calidad de cada sesión.
- renta del empleo
- Renta económica que percibe un trabajador cuando el valor neto de su trabajo supera el valor neto de su siguiente mejor alternativa (es decir, estar desempleado). Véase también: renta económica.
Ahora vamos a tomar el caso de Marc, un profesor cuyo salario de reserva es igual a 650 euros. No se va a esforzar si el salario es de 650 euros, porque no percibe diferencias entre dar clase sin esforzarse y su siguiente mejor opción, el desempleo. Para dar a un empleado un incentivo para trabajar duro, el salario debe estar por encima de su salario de reserva: en primer lugar, para compensarle el coste del esfuerzo y, en segundo, para garantizar que le sea costoso perder el trabajo. Dicho de otro modo, debe recibir una renta del empleo, para que prefiera esforzarse en lugar de arriesgarse a que lo descubran escaqueándose y lo despidan.
- salario de no escaqueo
- El salario más bajo necesario para motivar a un trabajador a esforzarse al nivel demandado por su empleador. Véase también: condición de no escaqueo.
La renta requerida para desalentar el escaqueo depende de dos factores: el coste del esfuerzo, \(c\), y el número de semanas, \(s\), que puede esperar conservar el empleo antes de que lo pillen escaqueándose. Para un profesor con un salario de reserva \(w_r\), el salario de no escaqueo que es suficiente para desalentar el escaqueo asciende a:
\[w=w_r+c+\text{renta}(s,c)\]La sección 6.9 explica cómo derivar esta expresión para el salario de no escaqueo.
Vamos a suponer que, para cada profesor, el coste del esfuerzo asciende a 25 euros a la semana y la renta requerida es igual a 35 euros a la semana. Entonces, el salario de no escaqueo es:
\[\begin{align*} w&=w_r+25+35 \\ &=w_r+60 \end{align*}\]En la figura 6.11, hemos representado la curva del salario de no escaqueo de 60 euros por encima de la curva del salario de reserva. Si nos imaginamos a los posibles profesores de idiomas puestos en una fila por orden de sus salarios de reserva, Marc, con un salario de reserva de 650 euros, es el cuadragésimo, mientras que Françoise, con uno de 600 euros, es la vigésima. En cada caso, el salario de no escaqueo es 60 euros más alto que el de reserva.
Figura 6.11 Curva del salario de no escaqueo.
¿Qué puede hacer la academia si quiere emplear a 40 docentes? Un salario de 650 euros es suficiente para contratarlos, pero en ese caso Marc, Françoise y más de la mitad del personal no tienen ningún incentivo para trabajar porque ganan menos de su salario de no escaqueo.
Según se deduce de la figura 6.11, para garantizar que ninguno de ellos se escaquee, la academia debería establecer el salario en 710 euros.
Aún hay otro problema más: si la academia ofreciera 710 euros, algunos trabajadores con salarios de reserva más altos que el de Marc aceptarían la oferta, pero no se esforzarían porque su salario de no escaqueo está por encima de 710 euros. Para resolver este problema, la empresa tendrá que entrevistar a los candidatos para conocerlos mejor y así ofrecer un puesto solo a los que crea que van a esforzarse, es decir, a quienes tengan un salario de reserva por debajo de 650 euros.
La importancia de que empresas y trabajadores se conozcan mejor entre sí antes de comprometerse en un contrato de trabajo es una de las razones de que el emparejamiento en el mercado de trabajo requiera tiempo y esfuerzo. En la práctica, las empresas celebran entrevistas para la mayoría de los empleos. No resulta fácil evaluar quién es más probable que se esfuerce, pero en este sencillo modelo supondremos que nuestra empresa puede llevar a cabo una selección óptima de los solicitantes.
Por lo tanto, la recta de no escaqueo de la figura 6.11 nos dice el salario más bajo que la academia puede fijar si quiere emplear a un número determinado de trabajadores y asegurarse de que se esfuercen. Para emplear a 40 profesores que no se escaqueen, podría establecer un salario de 710 euros y contratar solo a los que determine que se van a esforzar con ese salario.
- conjunto factible
- Todas las combinaciones de bienes o resultados que se pueden elegir dependiendo de unas determinadas restricciones económicas, físicas o de otro tipo. Véase también: frontera factible.
Sin embargo, la academia podría establecer un salario más alto. Si lo fijara en 730 euros, habría más solicitudes para cada vacante y podría contratar solo a las personas que necesitase para mantener la plantilla en 40. La figura 6.12 muestra el conjunto factible de salarios y empleo de la academia. Todos los puntos situados por encima de la curva del salario de no escaqueo son factibles.
Figura 6.12 Conjunto factible.
Si los propietarios de la academia quieren obtener el máximo beneficio posible, ¿qué salario deberían establecer? Para responder a esta pregunta, tienen que analizar en qué medida el beneficio depende de \(N\) y de \(w\).
Curvas de beneficio e isobeneficio
Los beneficios de una empresa equivalen a los ingresos obtenidos de las ventas menos los costes de los factores de producción.
Imagina que cada docente genera unos ingresos de \(y = 800\) euros a la semana para la academia a través de las cuotas del alumnado. Para no complicar el modelo, vamos a suponer que los salarios son el único factor de producción que representa un coste para la academia. Así, si \(N\) docentes trabajan por un salario \(w\), el beneficio neto de emplear a cada docente es de \(800 \ – \ w\), y el beneficio total de la academia es:
\[\begin{align*} \text{beneficio por semana}&=(y-w) \times N\\ &=(800-w)N \end{align*}\]Siempre que el salario sea inferior a 800 euros, va a tener beneficios. Cuanto menor sea el salario, \(w\), y mayor el número, \(N\), de docentes empleados, más alto será el beneficio obtenido.
- curva de isobeneficio
- Curva que relaciona las combinaciones de precios y cantidades de un bien que a una empresa le generan los mismos beneficios.
Podemos representar los beneficios en un gráfico hallando diferentes combinaciones de \(w\) y \(N\) que produzcan el mismo beneficio. Por ejemplo, con \(N = 10\) y \(w = 650\) €, el beneficio = 1500 €. Otras formas de obtener el beneficio de 1500 € serían \(N = 40\) y \(w = 762{,}50\) € o \(N = 75\) y \(w = 780\) €. En la figura 6.13, hemos trazado una curva que une esos tres puntos con las demás combinaciones de \(N\) y \(w\) que dan un beneficio de 1500 euros. Es lo que llamamos una curva de isobeneficio (el prefijo iso significa ‘igual’ en griego). Sigue los pasos de la figura 6.13 para comprender cómo se pueden trazar otras curvas de isobeneficio.
Figura 6.13 Curvas de isobeneficio cuando beneficio = \((800 \ – \ w)\) × \(N\).
Diferentes formas de obtener 1500 euros de beneficio
Línea de beneficio cero
Otra curva de isobeneficio
Curvas de mayores isobeneficios
- curva de indiferencia
- Curva que une todas las combinaciones de bienes que proporcionan un nivel determinado de utilidad al individuo.
Podríamos describir las curvas de isobeneficio diciendo que son las curvas de indiferencia de la empresa, es decir, a la empresa le resulta indiferente cualquier combinación de \(w\) y \(N\) que le genere el mismo nivel de beneficio. Las curvas de isobeneficio tienen las siguientes características:
- Su pendiente es positiva: si se empieza en el punto A, por ejemplo, y luego se aumenta el número de trabajadores, no hace falta tanto beneficio por docente para que el beneficio total se mantenga constante. Por lo tanto, se puede subir el salario.
- El nivel de beneficio es más elevado al acercarse al extremo inferior derecho del gráfico, donde \(N\) es alto y \(w\) es bajo.
- Todas tienen una forma curva parecida: su pendiente es pronunciada cuando tanto \(N\) como \(w\) son bajos y se aplana cuando se van incrementando al mismo tiempo.
Para entender la última propiedad, vamos a examinar lo que sucede cuando se aumenta en uno el número de trabajadores, \(N\). ¿Cuánto hay que variar el salario para seguir en la misma curva de isobeneficio, es decir, para que el beneficio no cambie? La figura 6.14 muestra este cálculo para dos puntos situados en la curva de isobeneficio 1500. Cuando \(w\) y \(N\) tienen valores bajos, se obtiene mucho beneficio por un trabajador adicional, y hay que incrementar \(w\) mucho para compensar el aumento del beneficio: la pendiente de la curva es grande. Cuando \(w\) y \(N\) tienen valores altos, el beneficio por el trabajador adicional es escaso y no hay que ajustar el salario tanto.
| Compara dos puntos de la curva de isobeneficio de 1500 | Si aumentas N en 1, ¿cuánto tienes que subir el salario para seguir en la misma curva? | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| N | w | Beneficio | Beneficio por trabajador | N + 1 | El beneficio aumenta: | Para mantener constante el beneficio, sube el salario: | Pendiente | |
| w y N bajos | 5 | 500 | 1500 | 300 | 6 | 300 | 300/6 = 50 | Alta |
| w y N altos | 75 | 780 | 1500 | 20 | 76 | 20 | 20/76 = 0,26 | Baja |
Figura 6.14 Cálculo de la pendiente en dos puntos situados en una curva de isobeneficio.
Maximización del beneficio
El beneficio es elevado cuando \(N\) es alto y \(w\) es bajo. Pero no todas las combinaciones de \(N\) y \(w\) son factibles. Lo mejor que la academia puede hacer es encontrar la combinación más rentable que haya en el conjunto factible. Para hallar cómo obtener el máximo beneficio, la figura 6.15 reúne las curvas de isobeneficio y el conjunto factible de combinaciones \((N, w)\), que son los puntos situados en la curva de salario de no escaqueo o por encima de ella.
Figura 6.15 ¿Dónde es mayor el beneficio en el conjunto factible?
No hay puntos factibles con un beneficio que llegue a 5000 €: la empresa no puede alcanzar la curva de isobeneficio de 5000 €. Pero hay puntos factibles con un beneficio de 3000 € y otros con un beneficio más elevado.
El beneficio siempre es más alto en un punto situado en la curva de salario de no escaqueo que en ningún otro punto situado más arriba. Por lo tanto, la academia siempre escogerá un punto que esté en esa curva: ese será el salario que establecerá para cualquier nivel dado de empleo.
En la figura 6.16, hemos representado la curva de isobeneficio más alta que la empresa puede alcanzar: aquella donde el beneficio es de 3610 euros y roza la curva de salario de no escaqueo.
Figura 6.16 El beneficio máximo de 3610 euros se alcanza en el punto E, donde \(w = 705\) euros y \(N = 38\).
La empresa obtiene la cantidad máxima factible de beneficio en el punto E, dando empleo a 38 docentes con un salario de 705 euros.
El beneficio se maximiza en el punto de tangencia de la curva de reserva con las curvas de isobeneficio, de la misma manera que, en la unidad 3, la utilidad se maximiza donde la restricción presupuestaria es tangente a una curva de indiferencia.
Para entender el porqué, imagina que te mueves siguiendo la curva del salario de no escaqueo. Empiezas donde \(N\) es pequeño, cerca del eje vertical: el beneficio ahí será escaso. Al avanzar por la línea, cruzas la curva de isobeneficio de 1500 euros y luego la de 3000 euros, y el beneficio sigue aumentando hasta que llegas al punto E, donde asciende a 3610 euros. Pero, si continúas avanzando, el beneficio empieza a disminuir; vuelves a cruzar la curva de 3000 euros y, más adelante, también la de 1500 euros. El punto E es lo mejor que vas a conseguir.
Nuestro modelo de fijación del salario nos dice lo siguiente:
- El número de trabajadores que una empresa puede emplear depende del salario que paga y de los salarios de reserva de los posibles empleados (la curva del salario de reserva). Para aumentar la plantilla contratando a personas que tienen salarios de reserva más altos, debe subir el salario.
- La empresa escoge un salario que se encuentra en la curva del salario de no escaqueo, situada por encima de la curva del salario de reserva. La diferencia entre las dos radica en el coste del esfuerzo y también en la renta del empleo requerida para desalentar el escaqueo.
- La empresa escoge el punto donde la curva del salario de no escaqueo toca la curva de isobeneficio más alta posible.
- poder de mercado de trabajo
- Una empresa tiene poder de mercado de trabajo (a veces llamado poder monopsónico) si puede reducir el salario que paga disminuyendo el número de trabajadores que emplea. Véase también: poder monopsónico.
En este modelo, la empresa se enfrenta a un dilema: para emplear a más trabajadores, tiene que subir los salarios. Mientras el salario se quede por debajo de 800 euros, la academia obtendrá beneficio por cada docente que emplee, por lo que debería dar trabajo a más. Pero entonces tendría que subir el salario, reduciendo así el beneficio que obtiene por cada profesor. Restringir el tamaño de la plantilla mantiene bajo el salario y le permite sacar un beneficio elevado por cada empleado. La capacidad de la empresa para controlar los salarios de esa forma se denomina poder de mercado de trabajo.
Nuestro modelo de fijación de los salarios demuestra cómo las empresas pueden establecer salarios tanto para contratar y retener a los trabajadores como para incentivarlos a trabajar duro. En la siguiente sección, vamos a examinar las implicaciones: cómo se ven afectados los salarios y el empleo cuando cambian las condiciones económicas.
Pregunta 6.11 Elige las respuestas que sean correctas
Lee los siguientes enunciados sobre la figura 6.16 y elige los que sean correctos.
- (30, 700 €) está por encima de la curva del salario de no escaqueo, por lo que es una elección factible para la empresa (aunque los beneficios de 3000 € son más bajos).
- (19, 610 €) se encuentra en la misma curva de isobeneficio (3610 €) que el punto E, pero (16, 550 €) da un beneficio mayor (800 – 550) × 16 = 4000 €.
- El beneficio de la empresa siempre es máximo en el punto de tangencia de la curva de salario de no escaqueo con las curvas de isobeneficio. Las curvas de isobeneficio tienen pendientes más pronunciadas con niveles de empleo más bajos, por lo que el punto de tangencia estaría en un nivel de empleo más bajo que en el punto E.
- El beneficio de la empresa siempre es máximo en el punto de tangencia de la curva de salario de no escaqueo con las curvas de isobeneficio, por lo que el punto de maximización del beneficio estará situado en la curva del salario de no escaqueo aunque la empresa tenga poder de mercado de trabajo.
Ejercicio 6.9 Competencia y beneficio
Supón que la academia de idiomas de la figura 6.16 se enfrenta ahora a más competencia de otros centros. Explica, por medio de un gráfico como el de la figura 6.16, cómo afectaría la mayor competencia a los siguientes parámetros:
- Curva del salario de no escaqueo.
- Elección que maximiza el beneficio de la empresa.
- Beneficio de la empresa.
Ampliación 6.10 Fijación del salario para maximizar el beneficio
En la parte principal de esta sección, hemos utilizado gráficos para mostrar cómo una empresa (la academia de idiomas) establecería su salario, \(w\), y el nivel correspondiente de empleo, \(N\). Para que maximice el beneficio, su combinación de \(w\) y \(N\) se encuentra en el punto donde la curva del salario de no escaqueo es tangente a una curva de isobeneficio. En esta ampliación, mostramos cómo hacer lo mismo usando el análisis matemático para resolver un problema de elección restringida u optimización. El método que usamos se explica en la ampliación 3.5, que te puede venir bien repasar antes de leer esta ampliación.
El símbolo Π es la letra pi griega mayúscula y suele emplearse en economía para representar el beneficio.
El beneficio total de la empresa es igual al número total de trabajadores, \(N\), multiplicado por el beneficio neto por cada trabajador, \((y \ – \ w)\), siendo \(y\) los ingresos de la empresa por cada trabajador empleado. Escribimos el beneficio como una función, a la que llamamos Π, de los salarios y el empleo:
\[\Pi(w, N) = (y - w)N\]La figura 6.13, reproducida aquí como A6.3, muestra las curvas de isobeneficio, es decir, las curvas que unen combinaciones de \(w\) y \(N\) que dan cantidades iguales de beneficio para el caso de que \(y = 800\).
Figura A6.3 Curvas de isobeneficio cuando \(\text{beneficio} = (800 \ – \ w) × N\).
Propiedades de las curvas de isobeneficio
La ecuación de la curva de isobeneficio correspondiente a cierto nivel de beneficio, \(Π_0\), es:
\[(y - w)N = \Pi_0\]Podemos hallar la forma de las curvas de isobeneficio examinando las propiedades algebraicas de esta ecuación. Como el gráfico se dibuja con \(w\) en el eje vertical, resulta conveniente despejar la ecuación para obtener:
\[w = y - \frac{\Pi_0}{N}\]Esta ecuación muestra que \(w\) se incrementa con \(N\) (porque \(Π_0/N\) se hace más pequeño). Podemos verificarlo derivando:
\[\frac{dw}{dN} = \frac{\Pi_0}{N^2} > 0\]Esto nos informa de que las curvas de isobeneficio tienen pendiente positiva. Conviene destacar que la pendiente puede expresarse en función de \(w\) y de \(N\) solo si se vuelve a sustituir el beneficio por su forma original, \(Π_0 = (y-w)N\):
\[\frac{dw}{dN} = \frac{(y - w)N}{N^2} = \frac{(y - w)}{N}\]Esta segunda forma de expresar la pendiente nos muestra cómo varía en diferentes partes del gráfico sin tener que hallar el nivel de beneficio en diferentes puntos: las curvas son más planas hacia la parte superior derecha, donde tanto \(N\) como \(w\) tienen valores altos.
Volviendo a la expresión anterior, podemos determinar la derivada segunda, que muestra que, al avanzar a lo largo de una curva de isobeneficio, la pendiente, \(dw/dN\) disminuye (la curva se hace más plana) a medida que aumenta \(N\):
\[\frac{d^2 w}{d N^2} = -\frac{\Pi_0}{N^3} < 0\]En resumen, estas curvas de isobeneficio son crecientes y cóncavas, en contraste con las curvas de indiferencia, que suelen ser decrecientes y convexas (como se explica en la ampliación 5.4).
Por último, la ecuación de la curva de isobeneficio nos dice que, si trazamos un conjunto de curvas de isobeneficio para diferentes valores de \(Π_0\), a valores más altos de beneficio corresponden niveles más bajos de salario para cada valor de \(N\). Dicho de otro modo, las curvas que aparecen más abajo en la figura tienen un beneficio más elevado. Para comprobarlo de forma algebraica, podemos derivar parcialmente \(w\) con respecto a \(Π_0\), manteniendo \(N\) constante:
\[w = y - \frac{\Pi_0}{N} \Rightarrow \frac{\partial w}{\partial \Pi_0} = -\frac{1}{N} < 0\]Es decir, un mayor beneficio requiere un menor salario en cada nivel de empleo.
Solución del problema de elección restringida de la empresa
Los propietarios de la empresa quieren elegir \(w\) y \(N\) de entre su conjunto factible para obtener el máximo beneficio posible. El conjunto factible incluye las combinaciones de \(w\) y \(N\) que se encuentran en la curva del salario de no escaqueo o por encima de ella.
En el modelo que hemos desarrollado en esta unidad, el salario de no escaqueo es mayor que el salario de reserva del trabajador porque el salario tiene que contemplar el coste del esfuerzo y dar al trabajador suficiente renta para garantizar que le interese más trabajar que escaquearse. Por lo tanto, la curva del salario de no escaqueo se encuentra por encima y en paralelo a la curva del salario de reserva, que es una relación con pendiente positiva entre \(w\) y \(N\). Para que el análisis de la maximización del beneficio sea más general que en la sección principal anterior, no supondremos que se trata de una línea recta. Simplemente asumiremos que \(w\) es una función creciente de \(N\):
\[w = W(N) \text{, donde } W'(N) > 0\]Los parámetros son: \(m\) y \(q\), que determinan la contratación y la retención de la empresa (ampliación 6.5), y \(b\), \(ν\) y \(\tau\), que determinan los salarios de reserva de los trabajadores (sección 6.8). La ampliación 6.8 explica cómo se encajan todos esos parámetros para formar la curva del salario de reserva. El salario de no escaqueo también depende de \(c\), \(h\) y \(s\), que afectan a los incentivos para fomentar el esfuerzo (sección 6.9).
Sabemos que la posición y la pendiente de la curva del salario de no escaqueo dependen de diferentes parámetros del mercado de trabajo. Pero, en esta ampliación, vamos a simplificar excluyendo explícitamente estos parámetros cuando escribimos la función \(W\)(\(N\)); nos centramos solo en la relación entre \(w\) y \(N\).
La empresa se enfrenta a un problema de elección restringida que tiene una forma parecida al problema de un trabajador que elige consumo y tiempo libre para maximizar la utilidad (ampliaciones 3.5 y 5.5). Existe una diferencia, no obstante: tanto el consumo como el tiempo libre son «bienes» para los trabajadores, por lo que quieren que sean lo más grandes posibles, y las curvas de indiferencia tienen pendientes positivas. Pero la empresa maximiza el beneficio cuando \(N\) es lo más grande posible y \(w\) es lo más pequeño posible, por lo que sus curvas de isobeneficio tienen pendiente negativa.
Las combinaciones factibles de \(w\) y \(N\) satisfacen \(w ≥ W(N)\), pero, como la empresa quiere que \(w\) sea lo más pequeño posible, sabemos que elegirá una combinación donde \(w = W(N)\). Por lo tanto, al igual que hicimos para Karim en la ampliación 3.5, podemos escribir la restricción como una igualdad, y no como una desigualdad.
El problema de elección restringida del empleador
Elegir \(w\) y \(N\) para maximizar \(\Pi(w, N)\) siempre y cuando se cumpla la restricción \(w=W(N)\).
Como la función de beneficio tiene una forma especialmente simple, podemos resolver este problema con facilidad mediante el método de sustitución. El beneficio es:
\[\Pi = (y - w)N\]y, sustituyendo \(w\) por la restricción, obtenemos el beneficio como función de \(N\) solamente:
\[\Pi = (y - W(N))N\]Para hallar el valor de \(N\) que maximiza el beneficio, derivamos con respecto a \(N\) (usando la regla del producto) e igualamos la derivada a cero:
\[\frac{d \Pi}{dN} = (y - W(N)) - W'(N)N = 0\]Despejando esta ecuación, obtenemos la condición de primer orden:
\[W'(N) = \frac{y - W(N)}{N}\]que nos dice que el beneficio máximo se encuentra en el punto de la curva del salario de no escaqueo \(w = W(N)\) en el que su pendiente es igual a la pendiente de la curva de isobeneficio (ya mostramos más arriba que la pendiente de una curva de isobeneficio en cualquier punto viene dada por \((y \ – \ w)/N\)).
Si conocemos la ecuación explícita de la curva del salario de no escaqueo, podemos resolver el par de ecuaciones simultáneas (la condición de primer orden y la ecuación del salario de no escaqueo) para hallar los valores específicos de \(w\) y \(N\) que elegirá el empleador. En el ejercicio A6.3, puedes ponerla a prueba para el caso de una curva del salario de no escaqueo lineal.
La condición de segundo orden
Para asegurarnos de que la solución encontrada es, en efecto, un punto máximo, deberíamos comprobar la condición de segundo orden. La segunda derivada de la expresión del beneficio nos da:
\[\frac{d^2 \Pi}{dN^2} = -2W'(N) - W''(N)\]Para un punto máximo, la derivada segunda debe ser negativa. Sabemos que \(W\)(\(N\)) es una función creciente, por lo que no cabe duda de que el primer término es negativo. Sin embargo, si es muy cóncava (es decir, si \(W’’(N)\) es un número negativo grande), es posible que el segundo término sea suficientemente positivo como para que la derivada segunda sea positiva en general. En ese caso, habríamos encontrado un punto de beneficio mínimo. Por lo tanto, para resolver este problema de elección restringida para cualquier curva dada de salario de no escaqueo, deberíamos comprobar si la condición de segundo orden sigue siendo válida.
Si lo prefieres, puedes intentar dibujar un gráfico que muestre lo que sucede cuando la curva del salario de no escaqueo es muy cóncava. Si es suficientemente curva, la curva del salario de no escaqueo queda por debajo de la curva de isobeneficio a ambos lados del punto de tangencia (y no por encima, como sí ocurre en la figura 6.16). Entonces, imagínate aproximándote al punto de tangencia siguiendo la curva del salario de no escaqueo desde el lado izquierdo. A medida que cruzas las curvas de isobeneficio, el beneficio se va reduciendo cada vez más, hasta que pasas el punto de tangencia, en que vuelve a incrementarse. El punto de tangencia es un punto de beneficio mínimo.
Ejercicio A6.3 Salario de no escaqueo lineal
Piensa en el caso lineal, cuando la curva del salario de no escaqueo viene dada por la ecuación \(W = W_0 + W_1 N\) (siendo \(W_0 \text { y } W_1\) constantes positivas).
- Halla el salario y el empleo que maximizan beneficios con respecto a \(W_0\) y \(W_1\) (asegúrate de comprobar que se satisface la condición de segundo orden).
- Explica cómo varían el salario y el empleo que maximizan beneficios si la curva del salario de no escaqueo se desplaza hacia arriba.
- Explica lo que sucede si se incrementa la pendiente de la curva del salario de no escaqueo.
Más información: Capítulo 8 (sobre el trazado de curvas y la determinación de máximos y mínimos) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for economists: An introductory textbook (4.ª ed., 2015 o 5.ª ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
