Unidad 5 Las reglas del juego: ¿Quién obtiene qué y por qué?
5.7 Caso 2: un contrato de «o lo tomas o lo dejas»
Consideremos una situación diferente para Ángela y Bruno. Igual que en el caso 1, él es dueño de la tierra que trabaja ella para producir trigo, pero en el caso 2 la autoridad gubernamental (a través de leyes que administran los tribunales e impone la policía) protege a Ángela para que no sufra trabajo forzoso y también protege los derechos de propiedad de Bruno como terrateniente. Además, el sistema legal velará por el cumplimiento de los contratos existentes entre Bruno y Ángela. Los derechos de Ángela mejoran sus opciones alternativas: tiene más poder estructural en la relación que mantiene con Bruno.
Consideraremos aquí dos tipos de contratos que Bruno puede ofrecer a Ángela: un contrato de trabajo y un contrato de arrendamiento. En ambos casos se trata de una oferta de «o lo tomas o lo dejas»: Ángela puede aceptarla o rechazarla. Ella tiene derecho a negarse y Bruno sería castigado por el gobierno si recurriera a la violencia o si amenazara con usarla para que Ángela aceptara la oferta. Se encuentran en una situación similar a la de los participantes que actúan por puro egoísmo en el juego del ultimátum: aquí Bruno es el proponente y Ángela es la receptora.
Contratos e instituciones relacionadas
Los contratos son acuerdos por escrito o de palabra destinados a tener validez legal. Para que un contrato sea válido, ambas partes tienen que estar de acuerdo de forma voluntaria y ambas están obligadas a aportar algo. Por ejemplo, si el propietario de una vivienda contrata a un pintor, este último deberá pintar la casa y el dueño deberá pagarle el precio estipulado dentro de un periodo de tiempo razonable (que estará especificado en el contrato).
Los contratos son cruciales dentro de la economía. Uno de los factores clave que explican diferencias históricas en cuanto a crecimiento económico entre países es la disparidad en la capacidad de sus instituciones para garantizar derechos de propiedad y hacer cumplir contratos a bajo coste. La exigencia efectiva del cumplimiento de los contratos requiere un buen funcionamiento del sistema judicial (es decir, un sistema de tribunales) capaz de resolver casos dentro de un tiempo razonable y que sea predecible y accesible a la población general.
Las unidades 6 y 9 abordan con más detalle los contratos de trabajo y los contratos entre prestamistas y prestatarios. Analizan los casos importantes en que los contratos están incompletos, es decir, cuando un contrato no cubre todo lo relevante para las partes implicadas, como, por ejemplo, cuánto trabaja una persona empleada o los riesgos que asume el prestatario con los fondos que pide prestados. Aquí simplificaremos suponiendo que Ángela no puede variar cuánto trabajo realiza en una hora.
Un contrato de trabajo
En un contrato de trabajo, Bruno puede especificar las horas de trabajo de Ángela y el salario (en fanegas de trigo) que recibirá como pago. Esta es una oferta de «o lo tomas o lo dejas», así que no tiene posibilidad de pedir unas condiciones laborales diferentes. Si ella rechazara la oferta, abandonaría la finca de Bruno y buscaría otro trabajo. Su opción de reserva es la utilidad que obtendría con esta alternativa. La opción de reserva de Ángela en el caso 2 es mucho mejor que la que tenía en el caso 1: la utilidad que le ofrece encontrar trabajo en otro lugar es mayor que la utilidad que podría esperar si intentara rebelarse o escapar.
La figura 5.13 muestra la curva de indiferencia de reserva de Ángela en el caso 2. Esta es CI2, por encima de CI1, que representa su alternativa cuando estaba sometida a trabajo forzoso.
Las decisiones que debe tomar Bruno se parecen a las del caso 1: cuántas horas deberá trabajar Ángela y cuánto trigo recibirá (esta vez como salario). La diferencia es que la opción alternativa para ella es mejor ahora. Si él no ofrece un contrato que, como mínimo, otorgue a Ángela la misma utilidad que la indicada por CI2, ella no lo aceptará.
Figura 5.13 Oferta de contrato de trabajo de Bruno.
Curvas de indiferencia de reserva de Ángela
Cómo elige Bruno el salario
Bruno elegirá una asignación en CI2
Bruno obtiene el mejor resultado allí donde RMS = RMT
Una vez más, Bruno elegirá una asignación situada sobre la curva de indiferencia de reserva de Angela en la que la RMS de la reserva de Ángela sea igual a la RMT para la producción de trigo. Así que él ofrece un contrato para pagarle 23 fanegas por ocho horas de trabajo. Como ella produce 46 fanegas de trigo, Bruno también obtiene 23 fanegas, que es una cantidad inferior a la del caso 1 porque ahora Ángela tiene una opción alternativa mejor que antes.
La elección de horas de Bruno es la misma en el caso 1 y en el caso 2, y la misma que la elección de Ángela como agricultora independiente. Esto ocurre porque, en nuestro modelo, la RMS de Ángela con un nivel determinado de horas es la misma en todas las curvas de indiferencia. Esto no sucedería si ella tuviera preferencias diferentes. Pero siempre ocurre que, sea Ángela o sea Bruno quien elija las horas, el mejor resultado para ambos se da en el punto donde RMS = RMT.
La ganancia conjunta
- ganancias del comercio, ganancias del intercambio
- Aquellos beneficios que cada parte obtiene de una transacción en comparación con la situación en la que se encontrarían sin esa transacción.
- ganancia conjunta
- Suma de las rentas económicas de todos los intervinientes en una interacción económica.
Las personas entablan de manera voluntaria interacciones económicas cuando implican posibles beneficios para ambas partes en comparación con sus opciones de reserva: en otras palabras, cuando hay rentas económicas o ganancias del comercio o del intercambio. Una interacción entre Ángela y Bruno ofrece rentas posibles: la opción de reserva de él es cero fanegas de trigo, mientras que la cantidad de cereal que puede producir ella cultivando la tierra de Bruno es mayor que la cantidad que le brindaría su utilidad de reserva. La cantidad total de renta disponible en la figura 5.13 es la distancia vertical entre la frontera factible y la curva de indiferencia de reserva de Ángela. Esta cantidad adicional de trigo es la ganancia conjunta potencial de esta interacción.
Cuando Bruno ofrece a Ángela un contrato de trabajo, él fija las horas de la jornada laboral de ella de manera que RMS = RMT. Ahí es donde se maximiza la ganancia conjunta: que se corresponde con 23 fanegas.
Al fijar el salario, él elige cómo se repartirá la ganancia conjunta entre ambos: es decir, cuánta renta obtendrá cada uno. Por ejemplo, él podría optar por una división a partes iguales, de manera que se quedara 11,5 fanegas para sí y le diera a ella un salario de 34,5 fanegas (23 de su utilidad de reserva más una renta de 11,5).
Como la renta de Ángela vale cero, tal vez te preguntes si ella querría participar después de todo. Pero sabemos que participaría si obtuviera una cantidad algo mayor. En lugar de repetir sin cesar que «el salario de Ángela asciende a 23 fanegas de trigo y un poco más», daremos por hecho que querrá participar si obtiene su utilidad de reserva. Esta es una suposición común en modelos económicos.
Pero Bruno actúa de manera egoísta y quiere maximizar su propia renta económica. Y puede lanzar una oferta de «o lo tomas o lo dejas», así que tiene todo el poder de negociación. Él establece el salario más bajo posible, en la asignación L, donde Ángela obtiene tan solo su utilidad de reserva. La renta de ella es cero y él se queda toda la ganancia conjunta: una renta para sí de 23 fanegas.
Un contrato de arrendamiento
¿Qué sucede si, en lugar de emplear a Ángela, Bruno le ofrece un alquiler, de tal manera que él establece cuánto deberá pagar ella por usar la tierra y permite que ella decida cómo explotarla?
En esta situación parece que Bruno tiene menos poder sobre Ángela. El contrato no le permite fijar cuántas horas trabajará ella. Pero aún puede lanzar una oferta de «o lo tomas o lo dejas» y, como antes, lo mejor que puede hacer es asegurarse de que Ángela no obtenga nada más que su utilidad de reserva.
A partir de la figura 5.13 sabemos que, de todas las asignaciones situadas sobre la curva de indiferencia de reserva, Bruno obtiene la mayor cantidad de trigo cuando Ángela trabaja ocho horas. Por tanto, querría que la asignación fuera el punto L, donde con un contrato de trabajo podría recibir 23 fanegas de trigo.
Tal vez sorprenda que pueda obtener el mismo resultado con un contrato de arrendamiento si fija el precio del alquiler de la tierra en 23 fanegas. La figura 5.14 muestra la situación en la que se encuentra Ángela en ese caso. Tiene libertad para elegir sus horas de trabajo. La línea discontinua muestra cuánto trigo puede consumir (23 fanegas menos de las que produce) dependiendo de las horas que elija trabajar. La curva de indiferencia más alta que puede alcanzar es CI2, que justo toca su frontera para el consumo de trigo en el punto L.
Figura 5.14 Horas de trabajo que elige Ángela cuando tiene un contrato de arrendamiento.
Lo mejor que puede hacer Ángela si tiene que pagar un alquiler de 23 fanegas de trigo por el uso de la tierra es trabajar ocho horas y consumir 23 fanegas de trigo (el punto L). Esto le brinda el nivel de utilidad de reserva, así que estará dispuesta a aceptar la oferta de Bruno (cualquier otra elección de horas le reportaría menos que la utilidad de reserva). Bruno ha conseguido exactamente el mismo resultado para sí y para Ángela que ofreciendo un contrato de trabajo.
Rentas y eficiencia en el caso 2
La asignación resultante de un contrato de «o lo tomas o lo dejas» es L, donde Ángela disfruta de 16 horas de tiempo libre, y tanto ella como Bruno obtienen 23 fanegas de trigo. Ángela tiene ahora mejores opciones alternativas que en el caso 1 y consigue un resultado mejor: trabaja las mismas horas, pero obtiene una renta más alta.
La renta de Bruno es más baja que en el caso 1, donde las reglas del juego le permiten recurrir a la fuerza. Aunque el resultado es mejor para Ángela porque ahora tiene más poder estructural, su renta económica sigue siendo cero porque la capacidad para lanzar una oferta de «o lo tomas o lo dejas» otorga a Bruno todo el poder de negociación.
El criterio de Pareto no clasifica los resultados obtenidos en cada caso: Ángela está mejor con la asignación L, mientras que a Bruno le va mejor en el punto D del caso 1. Ambas asignaciones son paretoeficientes. En la asignación L, no hay ningún cambio que pueda mejorar la situación de Bruno o de Ángela sin empeorar la del otro. Para entender por qué podemos usar exactamente el mismo razonamiento que empleamos en la sección anterior con la asignación D.
Pero si te pareció que el resultado en D es injusto, tal vez consideres que es preferible la asignación L, la cual ofrece un reparto equitativo del trigo entre ambos.
Dadas las instituciones que rigen esta interacción y la eficiencia de Pareto del resultado obtenido, Ángela no puede negociar para mejorar su situación más allá de la asignación L. Cualquier contrato alternativo que ella propusiera empeoraría la situación de Bruno.
| Horas de tiempo libre de Ángela | 16 | |
| Fanegas de trigo de Ángela | 23 | |
| Fanegas de trigo de Bruno | 23 | |
| Renta económica de Ángela (en fanegas) | 0 | Ella obtiene el mismo nivel de utilidad que con su mejor alternativa, que es realizar otro trabajo |
| Renta económica de Bruno (en fanegas) | 23 | Su mejor alternativa es 0 (si ella rechaza su oferta) |
Figura 5.15 El resultado en el caso 2.
Pregunta 5.4 Elige las respuestas que sean correctas
La figura 5.13 muestra los resultados cuando Ángela está obligada a trabajar para Bruno (caso 1) y cuando tiene posibilidad de elegir si acepta o rechaza el contrato que le ofrece Bruno (caso 2). Basándote en esta información, lee los siguientes enunciados y elige las opciones que sean correctas.
- La opción de reserva de Bruno es no recibir nada. Cuando hay un contrato, Bruno recibe la totalidad de la ganancia: la cantidad que sobrepasa aquella que necesita Ángela para estar dispuesta a trabajar. Así que esta es la renta económica de Bruno.
- Bruno está mejor en el caso 1, mientras que Ángela está mejor en el caso 2.
- Cuando hay un contrato, Bruno ofrece a Ángela la asignación justa para que acepte. Ella es indiferente a D y su opción de reserva, así que su renta económica es cero.
- Las horas que trabaja Ángela siguen siendo las mismas en ambos casos.
Las reglas del juego ilustradas en el caso 2 mejoran la situación de Ángela pero empeoran la de Bruno comparadas con las reglas del trabajo forzoso del caso 1. Por supuesto, Ángela estaba mejor en el caso de partida que en el caso 1 o el 2, porque entonces era dueña de la tierra y podía consumir todo el trigo que producía.
Ampliación 5.7 El resultado con un contrato de arrendamiento
En la parte principal de esta sección hemos mostrado que el resultado más preferible para Bruno en caso de ofrecerle a Ángela un contrato de trabajo también se puede obtener ofreciéndole un contrato de arrendamiento. Continuando con el análisis de las ampliaciones 5.4 y 5.5, ahora analizaremos de forma directa el contrato de arrendamiento como un problema de elección restringida para Ángela, pero también para Bruno, y una vez más lo resolveremos recurriendo al análisis matemático. Consideraremos tanto el caso general como el ejemplo que expusimos en la ampliación 5.5.
Bruno, que es el terrateniente, quiere maximizar la cantidad de trigo que recibe, y tanto las preferencias como la tecnología de Ángela son idénticas a las que tenía en la ampliación 5.5 (el caso en el que era una agricultora independiente). Bruno ofrece a Ángela un contrato de arrendamiento que exigirá el pago de una cantidad en concepto de alquiler, \(c_0\), a cambio del derecho a cultivar la tierra.
Las preferencias de Ángela están representadas por una función de utilidad cuasilineal \(u(t,\ c) = v(t) + c\), donde \(t\) se corresponde con las horas que trabaja al día, \(c\) es la cantidad de fanegas de trigo que consume al día, y la función \(v\) es creciente y cóncava. Ella aceptará el contrato de arrendamiento únicamente si le ofrece como mínimo su nivel de utilidad de reserva, el cual indicamos mediante \(u_0\).
La frontera factible para producir trigo, \(y=g(24-t)\), nos dice cuántas fanegas de trigo es capaz de cultivar, \((y)\), de acuerdo con la cantidad de tiempo libre que se tome. Igual que antes, la función de producción \(g(24-t)\) es creciente y cóncava. Pero, como tiene que pagar un alquiler, esta ya no es su frontera factible para el consumo.
Para analizar lo que sucederá, hallaremos en primer lugar cuántas horas elegirá trabajar Ángela si acepta un contrato de arrendamiento, \(c_0\). A continuación consideraremos si el contrato que le ofrece Bruno le brinda suficiente utilidad para que le resulte aceptable. Por último determinaremos qué alquiler establecerá Bruno en el contrato que ofrezca a Ángela.
Si Ángela acepta el contrato ofertado, la cantidad de trigo que le queda para consumo después de pagar el alquiler, \(c_0\), al terrateniente Bruno será \(y-c_0\). ¿Cuántas horas decidirá trabajar? Su problema de elección restringida es casi el mismo que en el caso en el que era una agricultura independiente, con la salvedad de que su frontera factible para el consumo es ahora la siguiente:
\[c= g(24-t) -c_0\]El problema de elección restringida de la arrendataria
Elige \(t\) y \(c\) para maximizar \(u(t,\ c)\) con la restricción \(c=g(24-t)-c_0\).
Resolveremos este problema hallando RMS y RMT. Puesto que \(c_0\) es una constante (Ángela tiene que pagar la misma cantidad de alquiler con independencia de cuál sea su elección), la derivada de la frontera factible es la misma que antes:
\[RMT=g'(24-t)\]Sus preferencias no han cambiado y, como son cuasilineales, no dependen de su consumo, \(c\). La derivada de sus curvas de indiferencia viene dada de nuevo por:
\[RMS=v'(t)\]Por tanto, la condición de primer orden sigue siendo la misma que cuando era una agricultora independiente:
\[v'(t) = g'(24-t)\]Ella elegirá exactamente la misma cantidad de tiempo libre que antes y producirá la misma cantidad de trigo. Su elección de \(t\) no depende del alquiler, \(c_0\). Pero su consumo, que viene dado por
\[c= g(24-t) -c_0\]será menor.
Esto es así porque el pago de un alquiler y la obtención de un consumo menor no afecta a su relación marginal de sustitución entre consumo y tiempo libre debido a que sus preferencias son cuasilineales.
La cuasilinealidad facilita bastante el análisis del caso con un contrato de arrendamiento. Pero podríamos usar el planteamiento que hemos presentado en esta ampliación para resolver el problema para otras funciones de utilidad. En la ampliación 5.9 calculamos la RMS y la RMT en el caso de una función de utilidad Cobb–Douglas. La RMS depende tanto de \(c\) como de \(t\). Así que, en este caso, pagar un alquiler a Bruno afectaría tanto al tiempo libre de Ángela como a su consumo.
Si ella tuviera preferencias diferentes, el pago de un alquiler podría favorecer que estuviera más dispuesta a renunciar a algo de tiempo libre para incrementar su consumo. En ese caso, su elección de tiempo libre como arrendataria diferiría de la elección que haría como agricultora independiente.
Usaremos \(t^*\) y \(c^*\) para los valores particulares de \(t\) y \(c\) que tendría Ángela con un contrato de alquiler, es decir, la solución de las dos ecuaciones anteriores. Entonces aceptará el contrato si y solo si le brinda al menos su utilidad de reserva, \(u_0\), es decir:
\[u(t^*, \ c^*)\geq u_0, \text{o lo que es equivalente } u(t^*, \ g(24-t^*)-c_0)\geq u_0\]¿Qué nivel de alquiler \((c_0)\) fijará Bruno al ofrecer el contrato de arrendamiento? A él solo le importa la cantidad de trigo que reciba para sí de Ángela; quiere maximizar su renta propia, pero también asegurarse de que ella aceptará el contrato. Así que él también tiene que resolver un problema de elección restringida.
El problema de elección restringida del terrateniente
Elige \(c_0\) para maximizar \(c_0\) con la restricción \(u(t^*,\ g(24-t^*)-c_0)\geq u_0\), donde \(t^*\) es el nivel de tiempo libre que elegirá Ángela.
Para decidir el importe del alquiler, Bruno debe sopesar y resolver de antemano qué hará Ángela y qué nivel de utilidad recibirá ella con el contrato que él le ofrezca. Pero esto es bastante sencillo porque Ángela tiene preferencias cuasilineales, por lo que \(t^*\) no depende del alquiler, \(c_0\).
En el problema del terrateniente solo hay que considerar una variable: \(c_0\). Bruno quiere que \(c_0\) sea lo más alto posible. Si analizamos la restricción y recordamos que la utilidad de Ángela aumenta con el consumo, eso significa que la utilidad de ella tiene que ser lo más baja posible. Así que él elegirá \(c_0\) de tal manera que ella solo obtenga su utilidad de reserva. La mejor opción de Bruno es el valor de \(c_0\) que satisfaga:
\[u(t^*, \ g(24-t^*)-c_0)= u_0 \Rightarrow v(t^*)+g(24-t^*)-c_0=u_0 \Rightarrow c_0=g(24-t^*)-u_0\]Nuestro análisis utilizando funciones generales, \(v\) y \(g\), nos ha proporcionado un conjunto de ecuaciones para el tiempo libre y el consumo de Ángela y para los ingresos de Bruno cuando ambos hacen lo mejor para sí mismos. Ahora volveremos al ejemplo que empleamos en la ampliación 5.5, para el cual podemos resolver las ecuaciones por completo.
Un ejemplo
Supongamos, igual que antes (en el caso de la agricultura independiente), que Ángela tiene una función de utilidad cuasilineal, \(u(t,\ c) =4\sqrt{t} + c\), y una función de producción, \(y=2\sqrt{2h}\), donde \(y\) es la producción y \(h\) representa las horas de trabajo. Supongamos también que su nivel de utilidad de reserva, \(u_0\), es 21.
Cuando ella tiene que pagar un alquiler, la ecuación para su frontera factible es:
\[\begin{align*} c = 2\sqrt{2(24-t)} -c_0 \end{align*}\]A partir de nuestro análisis anterior (aunque, si quieres, puedes comprobarlo una vez más) sabemos que su RMS, su RMT y su elección de tiempo libre son iguales que antes:
\[RMS=RMT \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{48-2t}}=\frac{2}{\sqrt{t}} \Rightarrow t^*=16\]En cambio, el nivel correspondiente de consumo es:
\[\begin{align*} c^*=2\sqrt{2(24-t^*)} -c_0=8-c_0 \end{align*}\]y su utilidad es
\[\begin{align*} v(t^*)+c^*= 4\sqrt{16} + 8-c_0 = 24-c_0 \end{align*}\]La mejor opción de Bruno para elegir el alquiler es ofrecer a Ángela su utilidad de reserva. Por tanto, eso satisface:
\[24-c_0=21 \Rightarrow c_0=3\]La figura A5.5 muestra la solución para este ejemplo. Esta es equivalente a la figura 5.14 del texto principal de esta sección. A es el punto que elige Ángela como agricultora independiente, donde \(t=16\) y \(c=8\). Es el punto de la frontera factible para la producción donde RMS = RMT. Y se encuentra por encima de su curva de indiferencia de reserva.
Figura A5.5 El resultado con un contrato de arrendamiento.
Como arrendataria, la frontera factible de Ángela para el consumo se desplaza hacia abajo dependiendo del importe del alquiler. Ella elige un punto de su frontera factible donde RMS = RMT; como sus preferencias son cuasilineales, sigue eligiendo \(t=16\). Bruno maximiza su renta estableciendo aquella que brinda a Ángela su utilidad de reserva. Él elige un alquiler de tres fanegas de trigo, lo que desplaza la frontera factible de Ángela hacia abajo, de manera que lo mejor que pueda hacer ella sea elegir el punto L sobre su curva de indiferencia de reserva.
Ejercicio A5.3 El problema del terrateniente
(Nota: Este ejercicio es una continuación del ejemplo del ejercicio A5.2. Convendría que resolvieras el ejemplo del ejercicio A5.2 antes de empezar a hacer este).
Supongamos que la amiga de Ángela es ahora arrendataria y tiene una utilidad de reserva de 200 fanegas de trigo.
- Supón que el terrateniente quiere maximizar la cantidad de alquiler que puede imponerle. ¿Cuánto debería cobrarle de alquiler?
- Traza tu respuesta en un gráfico similar al de la figura A5.5 (con \(t = 1,…,24\)).
Más información: Apartados 17.1 a 17.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4ª ed., 2015 o 5ª ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
