Unidad 7 La empresa y sus clientes

7.4 Producción y costes: la función de costes de Belautos

Cuando analizamos la decisión de una empresa de cuánto producir y qué precio poner, tenemos que conocer cómo varían los costes en función del nivel de la producción, es decir, la función de costes. En el ejemplo de Apple Cinnamon Cheerios de la sección 7.2, tomamos el supuesto de partida más simple posible: el coste unitario de una libra de Cheerios es el mismo, sea cual sea la escala de la producción. Dicho de otro modo, la empresa tiene rendimientos constantes a escala.

Pero, como se explica en la sección 7.3, el coste por unidad de producción puede variar con la cantidad producida. ¿Cómo afecta esto a la decisión de la empresa en cuanto al precio y la cantidad?

Imagina una empresa que produce automóviles. Esta empresa es bastante pequeña y fabrica vehículos especiales, nada que ver con Volkswagen, que produce más de 9 millones de automóviles al año. La vamos a llamar Belautos.

Piensa en los costes de producir y vender automóviles. La empresa necesita unas instalaciones (una fábrica) equipadas con máquinas para fundición, mecanizado, prensado, montaje y soldadura de las piezas de la carrocería. Podría alquilárselas a otra empresa o reunir capital para invertir en sus propias instalaciones y maquinaria. También debe adquirir la materia prima y los componentes, así como pagar al personal que manejará las máquinas. Además, necesitará a otros trabajadores que gestionen el proceso de producción y a otros más que comercialicen y vendan los automóviles terminados.

función de costes

Relación entre los costes totales de una empresa y su cantidad de producción. La función de costes \(C(Q)\) indica el coste total de producir \(Q\) unidades de producción (incluido el coste de oportunidad del capital).

coste de oportunidad

Lo que se pierde al elegir una acción y no la siguiente mejor alternativa, es decir, a lo que renunciamos por obtener algo. Ejemplo: «He decidido irme de vacaciones en lugar de trabajar durante el verano. El trabajo es aburrido y pagan poco, por lo que el coste de oportunidad de irme de vacaciones ha sido bajo».

Normalmente, los propietarios de la empresa (los accionistas) no querrán invertir en ella si pueden dar un uso mejor a su dinero invirtiendo y generando beneficios en otro sitio. La rentabilidad que podrían obtener de alguna otra inversión por cada dólar invertido es un ejemplo de coste de oportunidad, en este caso llamado coste de oportunidad del capital. Parte del coste de producir automóviles es lo que debe pagarse a los accionistas para cubrir el coste de oportunidad del capital, es decir, para inducirlos a seguir invirtiendo en los activos que la empresa necesita para fabricar automóviles.

coste de oportunidad del capital

Renta que un inversor podría haber recibido, por unidad de gasto en inversión, invirtiendo en otra cosa.

costes variables

Costes de producción que varían con el número de unidades producidas.

coste medio

Coste total de producción de una empresa dividido entre el número total de unidades producidas.

coste marginal

Aumento del coste total cuando se produce una unidad adicional. Corresponde a la pendiente de la función de coste total en cada punto.

Los distintos costes de producción a los que debe hacer frente la empresa pueden clasificarse como costes fijos o costes variables. Son fijos los que la empresa tiene que pagar independientemente del número de automóviles que fabrique y venda. En el caso de Belautos, supondremos que el tamaño de la fábrica es fijo, por lo que también lo son los costes asociados, ya sean por el pago del alquiler a otra empresa mediante un contrato a largo plazo o por el coste de oportunidad del capital invertido en la fábrica. Estos costes serán los mismos tanto si fabrica muchos coches como si no produce ninguno. De igual modo, también son fijos los costes de la investigación y desarrollo en los modelos del futuro. Suponemos que otros costes, como salarios, materias primas y gastos en maquinaria, son variables y aumentan con la producción: si la empresa decide incrementar el número de coches que fabrica al día, tendrá que aumentar todos estos factores de producción variables, lo que elevará los costes variables totales (incluidos la masa salarial y el coste de oportunidad de invertir en equipamiento).

Imagina que Belautos tiene unos costes fijos F y que sus costes variables son directamente proporcionales a la cantidad de automóviles que produce. Por lo tanto, su función de costes, que informa del coste total de producir Q automóviles, es:

siendo c el coste por automóvil.

El panel superior de la figura 7.7 representa de forma gráfica la función de coste total C(Q) de Belautos y muestra cómo los costes totales dependen de la cantidad de automóviles, Q, producidos al día, cuando F = 80 000 dólares al día y c = 14 400 dólares por vehículo. A partir de los costes totales, hemos calculado el coste medio por automóvil y cómo varía con Q; en el panel inferior se traza la función de coste medio (CMe).

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Figura 7.7 Coste total y coste medio de Belautos.

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Función de costes

El panel superior contiene la función de costes, C(Q), que muestra el coste total correspondiente a cada nivel de producción, Q.

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Costes fijos

Belautos tiene unos costes fijos de 80 000 dólares por día, con independencia de cual sea la producción diaria. Cuando Q = 0, los únicos costes son los fijos: C(0) = 80 000.

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Los costes totales son crecientes

A medida que aumenta Q, la empresa tiene que contratar a más trabajadores de producción y comprar más materias primas. Los costes totales suben 14 400 dólares por cada automóvil producido, por lo que la función de costes es una línea recta. En el punto A, se producen 10 coches con un coste de 224 000 dólares.

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Coste medio

El coste medio de un automóvil corresponde al coste total dividido por la cantidad de automóviles. Si la empresa produce 10 automóviles al día, el coste medio es CMe = 224 000 dólares/10 = 22 400 dólares. En el panel inferior, hemos representado el coste medio que se obtiene en el punto A.

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Coste medio decreciente

A medida que la producción se incrementa por encima de A, disminuye el coste medio. En el punto B, el coste total es de 512 000 dólares y el medio es de 17 067 dólares. En el punto D, el coste medio es aún menor: 16 000 dólares.

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Función de coste medio

Para dibujar la función de coste medio (CMe) en el panel inferior, podemos calcular el coste medio correspondiente a cada valor de Q.

La pendiente de la función de costes nos dice cuánto aumenta el coste total por cada vehículo adicional que se produzca. Se llama coste marginal (CMg) al incremento que experimentan los costes cuando la producción aumenta una unidad. En el caso de Belautos, la pendiente (y, por consiguiente, el coste marginal) es una constante, c. Cualquiera que sea el número de automóviles que se decida fabricar, el coste marginal de un automóvil (el coste de producir uno más) es c = 14 400 dólares.

Siempre que una empresa tiene una función de costes con costes fijos y un coste marginal constante, el coste medio de las unidades producidas disminuye a medida que aumenta la producción. La figura 7.7 lo ilustra para el caso de Belautos; también podemos deducirlo escribiendo lo siguiente:

Así, el coste medio de un automóvil es su coste marginal más una parte de los costes fijos. El coste medio siempre es mayor que el coste marginal, pero, a medida que se incrementa la producción, los costes fijos se reparten entre más y más automóviles y el coste medio disminuye. La figura 7.8 muestra tanto la función de coste medio como la de coste marginal (curvas CMe y CMg) de Belautos. En la figura, la pendiente del coste medio es negativa (descendente), por lo que se acerca cada vez más al coste marginal constante, 14 400 dólares.

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Figura 7.8 Coste medio y marginal de Belautos.

Costes a corto plazo y a largo plazo

corto plazo

Esta expresión no hace referencia a un periodo de tiempo específico, sino a lo que sucede mientras se mantienen constantes algunas cosas (como los precios, los salarios, las existencias de capital, la tecnología o las instituciones), porque supuestamente son fijas o exógenas en ese periodo de tiempo. Por ejemplo, las existencias de bienes de capital de una empresa pueden ser fijas en el corto plazo, pero a más largo plazo podrían variar (vendiendo algunas o comprando más).

Los costes marginales de las empresas no siempre son constantes, en particular si resulta difícil cambiar algunos de los factores de producción. Recuerda que el coste marginal es lo que cuesta obtener una unidad más de producción. En el caso de un fabricante de automóviles, podría llegar un momento en el que la única forma de aumentar la producción con el equipamiento de que dispone fuese la introducción de turnos de horas extraordinarias en la línea de montaje. Si la remuneración de las horas extras es más alta, el coste marginal de un automóvil también será mayor. Entonces, decimos que su coste marginal se incrementa con la producción en el corto plazo (es decir, mientras las existencias de equipamiento sean fijas) y, por lo tanto, es posible que sea más alto que el coste medio.

exógeno

En economía, este término significa ‘generado fuera del modelo’. En un modelo económico, una variable es exógena si su valor viene fijado por quien crea el modelo, en lugar de estar determinado por el funcionamiento del modelo en sí. Véase también: endógeno.

endógeno

En economía, este término significa ‘generado por el modelo’. En un modelo económico, una variable es endógena si su valor viene determinado por el funcionamiento del modelo (en lugar de estar fijado por quien crea el modelo). Véase también: exógeno.

largo plazo

Esta expresión no hace referencia a un periodo de tiempo específico, sino a lo que se mantiene constante y lo que puede variar dentro de un modelo. El corto plazo se refiere a lo que sucede mientras algunas variables (como los precios, los salarios o las existencias de capital) se mantienen constantes (se toman como exógenas). El largo plazo se aplica a lo que sucede cuando se permite que esas variables oscilen y sean determinadas por el modelo (se conviertan en endógenas). Por ejemplo, una curva de costes a largo plazo refleja los costes cuando la empresa puede ajustar todos los factores, incluso sus bienes de equipo.

economías de alcance

Ahorro de costes que se produce cuando dos o más productos son producidos por una sola empresa, en lugar de producirse en empresas separadas.

La que hemos descrito para Belautos es una función de costes a largo plazo, en el sentido de que hemos dado por sentado que la empresa puede aumentar la cantidad de equipamiento y el tamaño de la plantilla cuando desee incrementar la producción, de manera que el coste marginal se mantiene constante.

Pero también hemos supuesto que tiene costes fijos sustanciales, incluidos los costes de la fábrica. Podríamos analizar las decisiones de la empresa en lo que podríamos llamar el muy largo plazo, que sí le permitiría variar el tamaño de la fábrica también. Para empresas de fabricación como Belautos, una gran proporción de los costes totales serán variables en el muy largo plazo. Pero existen otros tipos de empresas que tienen costes fijos elevados a largo plazo: en la sección 7.11 veremos algunos ejemplos.

Ejemplo: la función de costes de una universidad

Los economistas Rajindar y Manjulika Koshal analizaron las funciones de costes de las universidades en Estados Unidos.² En su estudio, llevaron a cabo una estimación de los costes medios y marginales de la enseñanza en 171 universidades públicas en el curso 1990–91 (el ejercicio 7.2 te permitirá explorar cómo varían los costes medios y marginales con el número de estudiantes de grado y posgrado). Llegaron a la conclusión de que las universidades se beneficiaban de lo que se conocen como economías de alcance: la oferta conjunta de varios productos (enseñanzas de grado y posgrado, además de investigación) permite obtener ahorros en los costes.³

Ampliación 7.4 Funciones de costes para el caso de que los costes marginales aumenten

En la parte principal de esta sección, suponemos que Belautos tiene costes variables lineales: aumentan en proporción directa con la producción \(Q\). En esta ampliación, describimos funciones de costes para casos más generales, usando el análisis matemático (diferenciación) para estudiar cómo cambian los costes al aumentar la producción.

En la parte principal de la sección, Belautos tiene la función de coste total:

\[C(Q)=F+cQ\]

donde el parámetro \(F\) representa los costes fijos y \(c\) es el coste marginal constante. Pero, como hemos explicado, es posible que el coste marginal no siempre sea constante, en especial a corto plazo. Por ejemplo, si aumentar el número de unidades requiere una producción más intensiva, hay mayor riesgo de que las máquinas se averíen y de que los trabajadores se fatiguen; además, la remuneración de las horas extraordinarias suele ser más alta que las horas normales. Estos efectos aumentarían el coste marginal. En otras circunstancias, la producción a mayor escala podría ayudar a la empresa a usar sus factores con más eficiencia, en cuyo caso el coste marginal podría disminuir a medida que aumenta \(Q\).

Como se ha explicado en la ampliación 3.3, utilizamos derivadas para medir los cambios marginales en todas las ampliaciones de índole matemática.

En la parte principal de esta sección, hemos definido el coste marginal como lo que aumenta el coste total por producir una unidad más. Para describir más en general las funciones de costes, vamos a tratar \(Q\) como una variable continua para que podamos diferenciar la función de costes \(C(Q)\). Así pues, el coste marginal corresponde a la derivada de la función de costes: el grado de variación de los costes en respuesta a un aumento infinitesimal de \(Q\). En general, los costes totales deben aumentar con la cantidad producida, por lo que el coste marginal es positivo:

\[\text{CMg}=C'(Q) > 0\]

El panel superior de la figura A7.1 muestra una función de costes alternativa no lineal para Belautos. Este panel muestra lo siguiente:

• La empresa tiene costes fijos, representados por el punto en el que la función de costes corta el eje vertical: si no se producen automóviles, el coste es \(C(0) = F > 0\).
• Para \(Q > 0\), \(C\) aumenta y además es convexa: la pendiente de la curva de costes aumenta mientras lo hace \(Q\).

La convexidad de la curva de costes implica que el coste marginal es una función creciente de la producción:

\[\text{CMg} =C'(Q) \Rightarrow \frac{d\text{CMg}}{dQ}=C''(Q)>0\]

El panel inferior muestra la función de coste marginal con pendiente positiva correspondiente a la función de coste total del panel superior. Los costes marginales de la empresa aumentan rápidamente con la cantidad de automóviles producidos.

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Figura A7.1 Otra función de costes para Belautos.

El coste medio (CMe) se define como el coste total dividido por el número de automóviles producidos. Por lo tanto, si se producen \(Q\) automóviles:

\[\text{CMe} = \frac{C(Q)}{Q}\]

En el panel superior, el coste medio de producir \(Q\) vehículos es la pendiente de la recta que va desde el origen al punto \((Q, C(Q))\). El gráfico muestra que esta pendiente varía con \(Q\): CMe es en sí misma una función de \(Q\). En el panel inferior, hemos representado el coste medio que corresponde a cada punto de la función de coste, es decir, el gráfico de la función \(CMe(Q)\).

La función de costes mostrada en la figura A7.1 es: \(C=118 \, 750 + 1500Q + 190Q^2\). Si lo deseas, puedes comprobar las propiedades descritas más arriba para este caso concreto. Como es cuadrática, tiene una propiedad que no es válida en términos más generales. La función de coste marginal es:

\[\text{CMg}=C'(Q)= 1500+ 380Q\]

que no solo tiene pendiente positiva, sino que también es una línea recta.

La figura A7.1 representa un caso en el que los costes marginales suben cuando aumenta la producción. Pero podemos usar el mismo planteamiento para dibujar las curvas de costes de una empresa con costes marginales decrecientes, como en el ejercicio 7.2.

La forma de la función de coste medio y la relación entre CMg y CMe

Recuerda que, en general, en cualquier punto \(Q\):

• el coste marginal corresponde a la pendiente de la función de costes \(C(Q)\), y
• el coste medio corresponde a la pendiente de la recta que va desde el origen hasta \(C(Q)\).

El panel superior de la figura A7.1 muestra que el coste medio es alto cuando \(Q\) es bajo; luego, disminuye gradualmente hasta el punto B, donde \(Q=25\), antes de aumentar de nuevo. Esto se refleja en el panel inferior mediante la curva en forma de U que representa el coste medio, con un valor mínimo en \(Q=25\).

Ahora compara los costes medios y marginales del panel inferior.

• \(\text{CMg} < \text{CMe}\) si \(Q < 25\)

• \(\text{CMg} > \text{CMe}\) si \(Q > 25\)

• \(\text{CMg} = \text{CMe}\) si \(Q = 25\)

Este ejemplo ilustra una propiedad general de las funciones de costes: la diferencia \(\text{CMg} - \text{CMe}\) siempre tiene el mismo signo que la pendiente de la curva de CMe. En el caso de la función lineal de costes de la figura 7.8, la curva de coste medio tiene pendiente negativa para todos los valores de \(Q\). Igualmente, el coste marginal, que en este caso es una recta horizontal, queda por debajo de la curva de coste medio: \(\text{CMg} < \text{CMe}\) para todo \(Q\).

Ahora vamos a demostrar esta propiedad general: para todas las funciones de costes, sea cual sea su forma, \(\text{CMg} - \text{CMe}\) tiene el mismo signo que la pendiente de la curva de coste medio. Usando la definición del coste medio como coste total dividido entre la cantidad producida y aplicando la regla para derivar un cociente, la pendiente de la curva de coste medio es:

\[\frac{d}{dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) = \frac{QC'(Q)- C(Q)}{Q^2}\]

Ahora sustituimos \(C'(Q)= \text{CMg}\) y \(C(Q) = Q \times \text{CMe}\). Entonces:

\[\begin{align*} \frac{d}{dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) &= \frac{\text{CMg}}{Q} - \frac{C(Q)}{Q^2} \\ &= \frac{\text{CMg}}{Q} - \frac{Q(\text{CMe})}{Q^2} \end{align*}\] \[\Rightarrow \frac{d}{dQ} (\text{CMe} ) = \frac{\text{CMg}-\text{CMe}}{Q}\]

Como \(Q>0\), se deduce que la pendiente de la curva de coste medio para cada valor de \(Q\) tiene el mismo signo que \(\text{CMg} - \text{CMe}\).

Una consecuencia de este resultado es que, si la curva de coste medio de una empresa tiene forma de U, como la mostrada en la figura A7.1, la curva de coste marginal corta la de coste medio (\(\text{CMg} = \text{CMe}\)) en el punto donde el coste medio es más bajo.

Pregunta A7.1 Elige las respuestas que sean correctas

Piensa en una empresa cuya producción tiene costes fijos. Teniendo en cuenta esta información, lee los siguientes enunciados sobre el coste medio (CMe) y el coste marginal (CMg) de la empresa y elige los que sean correctos.

• Cuando \(\text{CMe} = \text{CMg}\), la curva CMe tiene pendiente cero.
• Cuando \(\text{CMe} > \text{CMg}\), la curva CMg tiene pendiente negativa.
• Cuando \(\text{CMe} < \text{CMg}\), la curva CMe tiene pendiente negativa.
• La curva CMg no puede ser horizontal.

• Cuando \(\text{CMe} = \text{CMg}\), el coste de una unidad adicional es igual al coste medio de todas las unidades existentes. Por lo tanto, el nuevo CMe no varía y la pendiente es cero.
• La curva CMg puede ser ascendente, horizontal o descendente, con independencia del valor relativo de CMe y CMg.
• Cuando \(\text{CMe} < \text{CMg}\), el coste de una unidad adicional es mayor que el coste medio de la producción existente. Así pues, el nuevo CMe será mayor y la curva CMe tendrá pendiente ascendente.
• Si CMg es constante, entonces la curva CMg es horizontal.

Ejercicio A7.1 Trazado de funciones de costes no lineales

Tienes las dos funciones de costes siguientes:

• Función de costes n.º 1: \(C(Q) = 5Q^2 + 3Q + 3600\)
• Función de costes n.º 2: \(C(Q) = -2Q^2 + 4Q + 19 \ 600\)

Haz las siguientes operaciones para cada función de coste total:

1. Deriva una expresión para i) la curva de coste marginal y ii) la curva de coste medio (ambas definidas para \(Q \geq 0\)).
2. Con la ayuda de tus respuestas a la pregunta 1, dibuja dos gráficos como los de la figura A7.1: uno que muestre la curva de coste total y otro con las curvas de coste marginal y coste medio. No olvides dibujar las curvas para \(Q \geq 0\) (sin valores negativos de \(Q\)).
3. Describe la relación entre la forma de la curva de coste total y la de las curvas de coste marginal y coste medio.

Más información: Secciones 7.1 (para la regla del cociente) y 8.1, 8.2 y 8.4 (que tratan el trazado de curvas y la convexidad) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4.ª ed., 2015 o 5.ª ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.