Unidad 8 Oferta y demanda: mercados con muchos compradores y vendedores

Ampliación 8.6 Variaciones en la oferta y la demanda

Si conocemos la curva de demanda y de oferta de un mercado, podemos hallar el precio y la cantidad de equilibrio competitivo resolviendo de forma simultánea las ecuaciones de \(P\) y \(Q\). Con una curva de demanda, \(Q=D(P)\), y una curva de oferta, \(Q=S(P)\), el precio de equilibrio iguala la demanda y la oferta:

\[D(P)=S(P)\]

Si podemos resolver esta ecuación para hallar \(P\), a continuación podemos hallar la cantidad de equilibrio correspondiente sustituyendo de nuevo su valor en la curva de oferta o de demanda. Pero ¿qué ocurre cuando cambia una de esas funciones?

Para modelizar en términos matemáticos un choque en la demanda o en la oferta introducimos parámetros en la curva de oferta y de demanda que representan elementos distintos al precio que afectan al mercado de un bien. El análisis de cómo cambia un equilibrio cuando varía un parámetro se conoce en economía como estática comparativa.

Oferta y demanda lineales

Considera en primer lugar el caso que analizaste en el ejercicio A8.2 de un mercado con funciones lineales de oferta y demanda:

\[D(P)=a-bP, \quad S(P)=c+dP\]

donde \(a,\ b,\ c,\ d\) son constantes. Supón que todas ellas son positivas y que \(a>c\). Esto garantiza que hay un solo equilibrio con un precio positivo, \(P^*\), y una cantidad positiva, \(Q^*\):

\[P^*=\frac{a-c}{b+d} \quad Q^*= a-bP^* = \frac{ad+bc}{b+d}\]

Un shock en la demanda

Supón que en este mercado hay un shock positivo en la demanda, es decir, la cantidad demandada es mayor ahora a cualquier precio dado. Podemos modelizar un shock en la demanda como un incremento del parámetro \(a\); si lo piensas en forma de gráfico, esto representa un desplazamiento paralelo hacia la derecha de la curva de demanda. Es algo similar al shock de demanda que vimos en el mercado de los sombreros en la figura 8.14 de la parte principal de esta sección, con la salvedad de que la derivada de la curva no cambia.

Un método para calcular el efecto consiste en hallar el nuevo equilibrio cuando la curva de demanda es \(D(P)=a+\Delta a - bP\) y la curva de oferta se mantiene igual; \(\Delta a > 0\) representa el aumento de \(a\). Esto permite comparar el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio con sus valores originales.

Pero una manera más fácil de calcular lo que ocurre con el precio y la cantidad cuando cambia un parámetro consiste en pensar en \(P^*\) y la cantidad \(Q^*\) como funciones de parámetros, y en hallar la derivada parcial con respecto al parámetro que cambia. De modo que para un aumento de \(a\):

\[P^*=\frac{a-c}{b+d} \Rightarrow \frac{\partial P^*}{\partial a}= \frac{1}{b+d}\]

La derivada es positiva; por tanto, un aumento de \(a\) da como resultado un aumento de \(P^*\). De forma análoga, \(\frac{\partial Q^*}{\partial a}= \frac{d}{b+d}>0\), así que \(Q^*\) también aumenta.

Por supuesto, las derivadas muestran los efectos de un incremento muy pequeño de \(a\). Pero como son positivas siempre que hay equilibrio, podemos deducir que un aumento de \(a\), ya sea grande o pequeño, siempre elevará el precio y la cantidad de equilibrio.

Además, \(\frac{\partial Q^*}{\partial a}\) es menor que 1. De modo que el aumento de la cantidad de equilibrio es menor que el aumento de \(a\). El aumento de \(a\) nos dice cuánto crecería la cantidad demandada si el precio se mantuviera igual. Pero \(P^*\) aumenta, así que los consumidores compran menos de lo que habrían comprado sin esa variación del precio.

En este caso es fácil llegar a los mismos resultados con un gráfico dibujando un desplazamiento hacia fuera de la curva de demanda. Pero en otros modelos económicos puede resultar difícil tener la seguridad de que el gráfico capta todas las posibilidades, mientras que el empleo del método algebraico permite considerar todos los casos posibles de un modo sistemático.

El caso no lineal

Si las curvas de demanda y oferta no son lineales, puede resultar difícil obtener una solución explícita para el precio y la cantidad de equilibrio. Pero sigue siendo posible modelizar el efecto de un shock que desplace una de las curvas y calcular sus efectos sobre el equilibrio. Lo hicimos de forma gráfica con el ejemplo del mercado del pan. Aquí haremos lo mismo en términos algebraicos.

Expresaremos la curva de demanda del pan como \(Q=D(P,a)\), y la curva de oferta como \(Q=S(P,c)\). La introducción de dos parámetros, \(a\) y \(c\), nos permite modelizar desplazamientos de las curvas, es decir choques en la demanda y la oferta.

Consideremos en primer lugar la curva de demanda. La cantidad demandada disminuye con el precio, \(P\), igual que antes; pero también depende de un parámetro, \(a\), que capta los gustos de los consumidores. Un valor elevado de \(a\) representa una situación en la que el pan gusta mucho a los consumidores, de modo que comprarán mucha cantidad a cualquier precio. Cuando \(a\) tiene un valor bajo, se demanda menos pan a cada precio. La dependencia de la demanda tanto por parte de \(P\) como por parte de \(a\) se puede describir usando derivadas parciales:

\[\frac{\partial D}{\partial P} < 0; \quad \frac{\partial D}{\partial a} > 0\]

Entonces, un choque positivo en la demanda se puede representar como un aumento de \(a\). Esto tiene el efecto de incrementar la cantidad demandada a cada precio. Cuando la curva de demanda se dibuja dentro del espacio \((Q,P)\), como es habitual, se traza para un valor fijo de \(a\). Un aumento de \(a\) desplaza la curva de demanda hacia la derecha. De forma análoga, una caída de \(a\) representa un choque negativo en la demanda y desplaza la curva hacia la izquierda.

De igual manera, un cambio en el parámetro \(c\) desplaza la curva de oferta. Podemos pensar que \(c\) representa la tecnología. Un aumento de \(c\) equivale a una mejora tecnológica, lo que reduce el coste marginal de la producción de pan y, por tanto, implica que las panaderías ofertarán más pan a cualquier precio dado. Por tanto, ambas derivadas parciales son positivas:

\[\frac{\partial S}{\partial P} > 0; \quad \frac{\partial S}{\partial c} > 0\]

Un aumento de \(c\) desplaza la curva de oferta hacia la derecha.

Para cualquier valor dado de \(a\) y \(c\), la curva de demanda es decreciente y la curva de oferta es creciente en el espacio \((Q,P)\). Por tanto, como mucho, hay un precio de equilibrio \(P^*\) y una cantidad de equilibrio correspondiente \(Q^*\).

En el ejemplo de la oferta y la demanda lineales, conocíamos la forma exacta de las funciones de oferta y de demanda, y pudimos resolver las ecuaciones de manera explícita para el precio y la cantidad de equilibrio en términos de los parámetros. Aquí eso no es posible. Pero sabemos que el precio de equilibrio \(P^*\) (si es que lo hay) cumple:

\[D(P^*, a)=S(P^*, c)\]

Y que la cantidad, \(Q^*\), viene dada entonces por:

\[Q^*= S(P^*, c)\]

Estas dos ecuaciones determinan de forma implícita \(P^*\) y \(Q^*\). Dependerán de esos dos parámetros; podemos concebirlas como funciones de \(a\) y \(c\):

\[P^* = P^*(a, c), \quad Q^* = Q^*(a, c)\]

Ya podemos usar lo que sabemos sobre \(P^*\) y \(Q^*\) para calcular cómo cambian cuando varían \(a\) o \(c\). En concreto, podemos usar la derivada implícita para hallar expresiones para sus derivadas parciales respecto de \(a\) y \(c\).

Consideremos en primer lugar un cambio en el parámetro \(a\) (un choque en la demanda). Derivamos la ecuación del equilibrio con respecto a \(a\), sin olvidar que \(P^*\) depende de \(a\):

\[\begin{align*} D(P^*, a)&=S(P^*, c) \\ \Rightarrow \frac{\partial D}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a}+ \frac{\partial D}{\partial a}&=\frac{\partial S}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a} \end{align*}\]

Esta ecuación se puede reordenar para escribir \(\partial P^*/\partial a\) en función de las otras derivadas parciales:

\[\frac{\partial P^*}{\partial a} =\frac{\frac{\partial D}{\partial a}} {\frac{\partial S}{\partial P}-\frac {\partial D}{\partial P} }.\]

El denominador de esta fracción es positivo, puesto que sabemos que \(\partial S/\partial P \gt 0\) y \(\partial D/\partial P \lt 0\). El numerador también es positivo debido a la forma en que hemos especificado arriba la función de la demanda. Por tanto, podemos concluir que \(\partial P^*/\partial a \gt 0\). De modo que un shock positivo en la demanda (un aumento de \(a\)) conduce a un incremento del precio de equilibrio.

Para hallar \(\partial Q^*/\partial a\), podemos emplear la ecuación:

\[Q^*=S(P^*, c)\]

recordando una vez más que \(P^*\) es una función de \(a\). Derivamos respecto de \(a\):

\[\frac{\partial Q^*}{\partial a} =\frac{\partial S}{\partial P^*} \frac{\partial P^*}{\partial a}\]

A partir de esta expresión, puesto que \(\partial S/\partial P^*\gt 0\) y que acabamos de demostrar que \(\partial P^*/\partial a\gt0\), deducimos que \(\partial Q^*/\partial a\gt0\) también. Por tanto, un choque positivo en la demanda (un aumento de \(a\)) depara un incremento tanto del precio como de la cantidad de equilibrio, mientras que un choque negativo en la demanda tiene efectos opuestos.

Este resultado es muy general. Hemos demostrado que los efectos cualitativos de un choque en la demanda (cualquier choque que aumente la demanda a cada precio) sobre el precio y la cantidad de equilibrio son iguales a los que obtuvimos de forma gráfica en el mercado de los sombreros, con independencia de cuál sea la forma precisa de las funciones de la oferta y la demanda, siempre que tengan unas propiedades estándar. Es decir, la curva de demanda es decreciente y la curva de oferta es creciente.

Realiza el ejercicio A8.5 para efectuar el mismo análisis para un choque en la oferta.

Bibliografía: Apartado 15.1 (sobre derivación implícita) y apartado 15.2, así como los dos epígrafes del apartado 15.3 (sobre estática comparativa), de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4ª ed., 2015 o 5ª ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.