Unidad 5 Las reglas del juego: ¿Quién obtiene qué y por qué?
5.5 Instituciones y el caso de la agricultora independiente
Como punto de referencia (o caso de partida) es útil pensar qué elegiría Ángela si ella misma fuera la dueña de la explotación. ¿Cuántas horas trabajaría y cuánto trigo consumiría? A continuación consideraremos tres situaciones institucionales diferentes en las que la tierra pertenece a Bruno. Para cada caso identificaremos la cantidad de trigo producido, las horas trabajadas por Ángela y la cantidad de trigo que obtiene cada uno de ellos, es decir, Ángela y Bruno. Después analizaremos cómo varían los resultados dependiendo de las reglas del juego.
La figura 5.6 sintetiza en qué difieren las reglas del juego entre los distintos casos:
- derechos de propiedad
- Protección legal de la propiedad, incluido el derecho a excluir a otros y a beneficiarse de la cosa poseída o venderla. Los derechos de propiedad pueden abarcar bienes con una definición amplia, como agua limpia, seguridad o educación, si están protegidos por el sistema legal.
- dependiendo de cómo se establezcan las horas de trabajo de Ángela: si dependen de ella, de Bruno o de una negociación entre ambos;
- dependiendo de las alternativas de Ángela (su siguiente mejor oportunidad): como intentar escapar de las imposiciones de Bruno o buscar un trabajo diferente;
- dependiendo del papel que desempeñe el gobierno: si vela por el cumplimiento de la coacción que ejerce Bruno sobre Ángela, si protege la autonomía personal de Ángela aunque haga valer los derechos de propiedad de Bruno, si facilita una negociación entre ambos sujeta a aprobación por parte de un gobierno electo.
| Una agricultora independiente Caso de partida: Ángela es dueña de la tierra |
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|---|---|---|
| Es la propia Ángela quien posee la tierra. El gobierno protege su derecho a excluir a otros de la tierra (o de sus productos). Ángela decide: cuántas horas trabajar y cuánto trigo producir y consumir. |
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| Un terrateniente y una agricultora Bruno es el propietario de la tierra y Ángela la cultiva Lo que suceda dependerá de la situación institucional |
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| Caso 1 Trabajo forzoso |
Caso 2 Contrato de «o lo tomas o lo dejas» |
Caso 3 Negociación en una democracia |
| Las reglas del juego | ||
| Bruno puede obligar a Ángela a trabajar para él para producir un trigo del que es dueño. Bruno decide: cuántas horas tiene que trabajar y cuánto trigo puede consumir Ángela. Ángela decide: obedecer, intentar huir o rebelarse junto a otros agricultores (en los dos últimos casos corre el riesgo de morir en el intento). |
Bruno ofrece a Ángela un contrato (o bien un contrato de trabajo o bien un arrendamiento rústico) que ella puede aceptar o rechazar. No hay margen para negociar los términos del contrato. Bruno no puede amenazar a Ángela con castigos físicos y ella puede rechazar la oferta y buscar trabajo en otra parte. Si fuera necesario, el Estado protegerá los derechos de propiedad de Bruno y velará por el cumplimiento del contrato. Bruno decide: qué contrato ofrece a Ángela. Angela decide: aceptar o rechazar el contrato de Bruno y también, si acepta un arrendamiento, cuántas horas trabajará. |
Bruno ofrece a Ángela un contrato. Ángela puede aceptarlo, rechazarlo o negociar unas condiciones contractuales alternativas. Ángela y otros agricultores tienen la posibilidad de votar, lo que les permite elegir un gobierno que apruebe una legislación para limitar el número máximo de horas de trabajo y estipular un salario mínimo igual al que Ángela habría ganado en el caso 2. Bruno y Ángela negocian: Ángela (junto con otras personas) vota para mejorar sus opciones. Después, ella y Bruno negocian un contrato. |
Figura 5.6 Las reglas del juego en distintas situaciones institucionales.
Caso de partida: propiedad privada de un productor independiente
Empezamos con el caso en el que Ángela posee la tierra que trabaja. Ella decide sus horas de trabajo y consume el trigo que produce. No interviene ningún otro participante, solo Ángela, de modo que no se trata de una interacción social y no surge la cuestión de la distribución de los ingresos.
Instituciones de tenencia de la tierra
La posesión de la tierra por parte de individuos o de familias es una forma de propiedad privada, lo que significa que quien la posee puede excluir a otras personas del uso de la tierra o del disfrute de sus productos y es libre de venderla o de cederla. La propiedad privada es una de las numerosas instituciones de tenencia de la tierra, es decir, normas (escritas o informales) que dictaminan quién puede usar y comprar o vender la tierra y las condiciones en las que se puede usar, vender y adquirir. Aparte de la propiedad privada, otras formas de tenencia de la tierra incluyen la propiedad comunal (por ejemplo, cuando los miembros de una comunidad tienen derecho a usar pastos comunales para el ganado); el acceso libre, donde no se atribuyen derechos específicos a nadie y nadie puede ser excluido (como los océanos y algunos bosques); y la propiedad pública, donde los derechos de propiedad se asignan a alguna autoridad del sector público, como un gobierno nacional o regional.
El hecho de que Ángela tenga la propiedad de la tierra significa que puede excluir a otras personas de su uso o de recibir cualquiera de sus productos. Si fuera necesario, el gobierno impondría el cumplimiento de este derecho penalizando a quienquiera que intentara quebrantarlo.
Decisiones de Ángela como productora independiente
Cuando Ángela puede elegir por sí misma cómo gestionar la explotación agraria consumiendo todo el trigo que ella produce, se enfrenta a un problema de elección restringida como el que analizamos para Karim en la unidad 3. Ella aspira a encontrar un punto dentro del conjunto factible de combinaciones de tiempo libre y consumo que le brinde la mayor utilidad posible.
Al igual que Karim, elegirá el punto en el que la frontera factible alcanza la curva de indiferencia más alta posible. Sigue cada paso de la figura 5.7 para averiguar cuánto trigo producirá y cuánto tiempo libre se tomará.
Figura 5.7 Combinación de tiempo libre y trigo que elige Ángela como agricultora independiente.
La frontera factible
Lo mejor que puede hacer Ángela
RMS = RMT para la utilidad máxima
El gráfico evidencia que Ángela elegirá el punto A, con 16 horas de tiempo libre y 46 fanegas de trigo, donde sus dos opciones se equilibran: la ratio a la que está dispuesta a llegar entre trigo y tiempo libre (su RMS) es igual a la ratio que le impone su tecnología (la RMT).
Pensar en ratios ofrece otra manera de entender por qué esto es lo mejor que puede hacer. Supón, por ejemplo, que eligiera tener más de 16 horas de tiempo libre. Entonces su frontera factible sería más pronunciada y sus curvas de indiferencia serían más planas que en A, así que RMT > RMS. Esto significa que podría transformar una hora de tiempo libre en más trigo que la cantidad más baja que estaría dispuesta a aceptar por la pérdida de tiempo libre. Por tanto, puede aumentar su utilidad reduciendo el tiempo libre. De manera análoga, si hubiera elegido tener menos tiempo libre, con lo que RMT < RMS, podría aumentar su utilidad tomándose más tiempo libre y teniendo menos trigo.
La combinación de tiempo libre y trigo en el punto A se puede contemplar como una medida del nivel de vida de Ángela. La figura 5.8 resume el resultado.
| Horas de tiempo libre de Ángela | 16 |
| Fanegas de trigo de Ángela | 46 |
| Fanegas de trigo de Bruno | n/a (Bruno no interviene en este escenario) |
Figura 5.8 Resultado en el caso de partida.
Esto es lo mejor que puede hacer Ángela como agricultora independiente. En las próximas secciones analizaremos cada uno de los tres casos adicionales en los que Bruno tiene la propiedad de la tierra. Como es de esperar, el nivel de vida de Ángela será más bajo cuando trabaje para Bruno.
Pregunta 5.2 Elige las respuestas que sean correctas
La siguiente figura ilustra la frontera factible de Ángela y algunas de sus curvas de indiferencia. Teniendo en cuenta esta información, lee los siguientes enunciados y elige las opciones que sean correctas.
- En el punto B, la derivada de la curva de indiferencia de Ángela (su RMS) es más pronunciada que en el punto A debido a la disminución de la utilidad marginal (del tiempo libre).
- Si Ángela se moviera hacia la derecha a lo largo de la frontera factible, alejándose del punto B, aumentaría su utilidad hasta que alcanzara el punto A. Por ejemplo, en 12 horas de tiempo libre, la curva de indiferencia que cruza la frontera factible sería más alta que la curva de indiferencia que pasa por el punto B (esta curva de indiferencia no se muestra en el gráfico).
- El coste de oportunidad de la producción de trigo es la RMT. La cantidad de trigo a la que Ángela está dispuesta a renunciar para tener una hora adicional de tiempo libre viene dada por la RMS. En el punto B, la frontera factible es menos pronunciada que CI3, lo que indica que RMT < RMS.
- Ángela no elegiría el punto C porque está fuera de su alcance con la tecnología de la que dispone.
Ampliación 5.5 La elección de Ángela en cuanto a horas de trabajo
Como continuación de la ampliación 5.4, aplicaremos métodos de análisis matemático para resolver problemas de elección restringida y estudiar la elección que hace Ángela de sus horas de trabajo como agricultora independiente con preferencias cuasilineales. Estos métodos se explicaron en la ampliación 3.5, la cual es posible que necesites releer antes de trabajar esta ampliación. Consideramos tanto el caso general como un ejemplo particular.
Como agricultora independiente, Ángela divide sus días en tiempo de trabajo y tiempo libre. Su trabajo produce una cantidad determinada de trigo, \(y\), que ella también consume. Sus horas diarias de tiempo libre se indican con \(t\), y el número de fanegas de trigo que consume al día es \(c\).
En la ampliación 5.4 explicamos que:
- Ángela tiene preferencias convexas cuasilineales, de modo que su función de utilidad se puede expresar de esta forma:
donde la función \(v\) es creciente y cóncava, y su relación marginal de sustitución (MRS) es \(v'(t)\).
- Su frontera factible para la producción de trigo es:
donde \(g(24-t)\) es su función de producción, que también es creciente y cóncava, y su relación marginal de transformación (RMT) es \(g'(24-t)\).
Y, puesto que puede consumir todo el trigo que produce, \(c=y\). Así que su frontera factible para el consumo es \(y=g(24-t)\), una vez más con \(\text {RMT}=g'(24-t)\).
Al igual que Karim en la sección3.5 y que el estudiante de la sección 3.7, Ángela se enfrenta a un problema de elección restringida.
El problema de elección restringida de la agricultora independiente
Elige \(t\) y \(c\) para maximizar \(u(t,\ c)\) con la restricción \(c=g(24-t)\).
El problema se puede resolver con cualquiera de los dos métodos que explicamos en la ampliación 3.5: es decir, aplicando la condición \(\text{RMT}=\text{RMS}\) o empleando la restricción para sustituir \(c\) en la función objetivo \(u\) y derivando. En ambos casos, la condición de primer orden nos da la ecuació:
\[v'(t) = g'(24-t)\]La elección de \(t\) que maximiza la utilidad tiene que cumplir esta ecuación. Una vez que conocemos \(t\), podemos hallar el valor correspondiente de \(c\) a partir de la restricción:
\[c=g(24-t)\]Un ejemplo
Supongamos que en la función de utilidad cuasilineal de Ángela \(u(t,\ c) = v(t) + c\), la función \(v(t)\) viene dada por:
\[v(t) = 4\sqrt{t}\]Derivando se comprueba que esta función es creciente y cóncava, tal como exigen unas preferencias cuasilineales convexas.
En segundo lugar, supongamos que la función de producción de Ángela es \(y=2\sqrt{2h}\), donde \(h\) se corresponde con las horas de trabajo. Entonces la ecuación de su frontera factible es:
\[c = 2\sqrt{2(24-t)}\]Una vez más podemos hallar la derivada para comprobar que la frontera factible es decreciente y cóncava. Las relaciones marginales de transformación y de sustitución son:
\[\text{RMT} = -g'(t) = \frac{2}{\sqrt{48 -2t}}\ \text{ , } \quad \text{RMS} = v'(t) = \frac{2}{\sqrt{t}}\]La condición de primer orden, \(\text{RMT} = \text{RMS}\), es: \(\frac{2}{\sqrt{48-2t}}=\frac{2}{\sqrt{t}}\), lo que podemos resolver para obtener \(t=16\); el valor correspondiente de \(c\) es \(c=2\sqrt{48-32}=8\).
La figura A5.4 muestra la solución para este ejemplo. Ángela elige tener 16 horas de tiempo libre y trabajar ocho horas al día. Consume ocho fanegas de trigo.
Figura A5.4 La solución del problema de elección restringida con utilidad \(u=4\sqrt{t}+c\) y frontera factible \(c = 2\sqrt{2(24-t)}\).
El gráfico muestra con claridad que este es un punto máximo, pero se puede calcular la condición de segundo orden para comprobarlo de forma matemática.
Más sobre el caso general
En el ejemplo anterior hay una única solución para la condición de primer orden, y esta es un punto máximo. ¿Ocurrirá siempre así con independencia de cuáles sean las funciones \(v\) y \(g\)? Consideremos tres preguntas:
1. ¿Podría haber más de una solución?
La condición de primer orden para el caso general es:
\[v'(t) = g'(24-t)\]Como \(v(t)\) es cóncava, el primer miembro de la ecuación, \(v'(t)\), es una función decreciente de \(t\) (es una línea descendente). Y como \(g\) es cóncava, el segundo miembro de la ecuación es una función creciente de \(t\) (es una línea ascendente). Si las dos líneas se cruzan, solo pueden cruzarse una vez, y el punto en el que se juntan nos da la solución. Esto nos dice que si podemos hallar una solución, será solo una: es única.
2. Podemos saber con seguridad si hay una solución para la condición de primer orden?
Es posible que las funciones \(g\) y \(v\) sean tales que dos líneas no se crucen para valores posibles de \(t\), es decir, entre \(t=0\) y \(t=24\). En este caso, no habrá una solución posible para la condición de primer orden, y la mejor opción de Ángela sería o \(t=0\) o \(t=24\), dependiendo de qué le ofrezca más utilidad (esto se conoce como «solución de esquina»).
Aunque las soluciones de esquina pueden aparecer en problemas matemáticos, no suelen ser muy interesantes en términos económicos. Si llegamos a la conclusión de que Ángela, como agricultora independiente, decide no trabajar nada o trabajar a todas horas, esto indicaría que las funciones elegidas para \(v\) o \(g\) no eran representaciones muy realistas de su utilidad o su tecnología.
3. Si existe una solución para la condición de primer orden, ¿es siempre un punto máximo?
Podemos hallar la condición de segundo orden con más facilidad mediante el método de sustitución. La segunda derivada del objetivo es:
\[\frac{d^2u}{dt^2}= g''(24-t)+v''(t)\]Puesto que tanto \(v\) como \(g\) son funciones cóncavas, \(g''\) y \(v''\) son negativas, y esta expresión es negativa para todos los valores de \(t\). Así que una solución para la condición de primer orden tiene que ser un máximo.
El hecho de que \(v\) y \(g\) sean cóncavas es lo que nos permite responder de manera afirmativa tanto la primera como la tercera de estas preguntas. Cuando modelizamos problemas económicos en términos matemáticos solemos emplear funciones generales (en lugar de problemas específicos, como el del ejemplo) y partir de suposiciones sobre la concavidad y la convexidad para simplificar las matemáticas. Pero debemos asegurarnos de que esas suposiciones son justificadas reflexionando sobre su interpretación económica.
Ejercicio A5.2 Otro ejemplo
Supongamos que Ángela tiene una amiga que también es agricultora con una función de producción \(c(t) = 100 \text{ ln } (25-t)\) y una función de utilidad \(u(t,c)= c + 75 \text{ ln } (t)\), donde \(t\) es las horas de tiempo libre al día y \(c\) representa las fanegas de trigo.
- Usa los dos métodos (el de sustitución y el de RMS = RMT) para hallar la cantidad de tiempo libre y de fanegas de trigo que elegirá la amiga de Ángela. (Deberías obtener la misma respuesta en ambos casos).
- Elabora y etiqueta un gráfico como el de la figura A5.3 para ilustrar tu respuesta para la pregunta 1 (con \(t\) = 1,…,24).
Más información: Apartados 17.1 a 17.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4ª ed., 2015 o 5ª ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
