Unidad 5 Las reglas del juego: ¿Quién obtiene qué y por qué?

Ampliación 5.9 La curva de eficiencia de Pareto

De la interacción entre Ángela y Bruno resultan muchas asignaciones posibles; por ejemplo, nosotros hemos considerado la asignación que impondría Bruno si pudiera usar la fuerza, así como la asignación que elige cuando puede ofertar un contrato de «o lo tomas o lo dejas» que permite a Ángela cultivar sus tierras si le paga parte del trigo que produzca en concepto de alquiler. En esta ampliación, calculamos matemáticamente el conjunto de asignaciones que son paretoeficientes: es decir, la curva de eficiencia de Pareto.

eficiencia de Pareto, paretoeficiente

Una asignación es paretoeficiente si no existe ninguna otra asignación posible en la que al menos una persona salga mejor parada y nadie empeore su situación.

Una asignación es paretoeficiente si no existe ninguna otra asignación que sea paretodominante sobre ella: es decir, si ninguna persona puede mejorar sin que empeore la situación de otra. Para determinar una asignación con eficiencia de Pareto entre Bruno y Ángela, empezamos planteándonos sus preferencias, es decir, qué mejoraría su situación.

Igual que en las ampliaciones anteriores, las preferencias de Ángela se representan mediante una función con una utilidad cuasilineal, \(u(t,\ c) = v(t) + c\), donde \(t\) se corresponde con sus horas de tiempo libre al día, \(c\) es su consumo de trigo, y la función, \(v\), es creciente y cóncava. La frontera factible para producir trigo es \(y=g(24-t)\), donde \(y\) es la cantidad producida y \(g\) es una función de producción creciente y cóncava.

Las preferencias de Bruno son muy simples. Solo le importa la cantidad de trigo que recibe, la cual llamamos \(b\). Valores más elevados de \(b\) suponen una mejora para Bruno.

El resultado posible de una interacción entre Ángela y Bruno es una asignación de \(b\) fanegas de trigo para Bruno, y \(c\) fanegas de trigo y \(t\) horas de tiempo libre para Ángela. Dada la tecnología de producción, todas las asignaciones posibles \((b, c, t)\) tienen que cumplir:

\[c+b \leq g(24-t)\]

Estas son las asignaciones en las que la cantidad total consumida de trigo es menor o igual que la producida. También suponemos que \(c\geq 0\) y \(b\geq 0\).

Una forma de hallar las asignaciones con eficiencia de Pareto consiste en plantearse: «supongamos que tomamos una asignación en la que Bruno recibe una cantidad de trigo, \(b\geq 0\). Entonces esta será paretoeficiente si y solo si ofrece la mejor situación posible para Ángela de acuerdo con la cantidad concreta de trigo que tiene Bruno».

Para que Ángela esté lo mejor posible cuando Bruno recibe \(b\), ella tiene que consumir todo el resto del trigo producido: \(c+b = g(24-t)\). Así que podemos hallar las asignaciones paretoeficientes resolviendo un problema de elección restringida.

Resolveremos el problema por el método de sustitución. Si sustituimos \(c=g(24-t)-b\) en la función objetivo \(u(t,\ c)= v(t) +c\), lo único que hay que hacer es:

\[\text{Elegir }t \text{ para maximizar }v(t) + g(24-t) -b\]

Si entonces derivamos con respecto a \(t\) e igualamos a cero la derivada, obtenemos la condición de primer orden:

\[v'(t) =g'(24-t)\]

La condición de primer orden es la que explicamos en la ampliación 5.5, donde señalamos que el supuesto de que \(v\) y \(g\) son funciones cóncavas implica que tiene una solución como máximo. Suponemos que existe una, de modo que el consumo viene dado por

\[c=g(24-t)-b\]

Recuerda que \(v'(t)=\text{RMS}\) y \(\text{RMT} = g'(t)\); la condición de primer orden es la ecuación ya conocida \(\text{RMT} = \text{RMS}\).

El problema que hemos resuelto es el que resolvería Ángela si Bruno exigiera una cantidad de renta (b) y ella pudiera elegir \(c\) y \(t\) para sí. Aquí hemos mostrado que la resolución de este problema para todos los valores posibles de \(b\) nos da un conjunto de asignaciones paretoeficientes.

En resumen, una asignación \((b, c, t)\) tiene eficiencia de Pareto si y solo si \(RMS = RMT\), y \(c+b=g(24-t)\).

Trazar la curva de eficiencia de Pareto

El análisis anterior evidencia que a cada valor posible de \(b\) (trigo para Bruno) le corresponde un resultado \((c,t)\) para Ángela tal que la asignación \((b,c,t)\) es paretoeficiente. Podemos trazar la curva de eficiencia de Pareto que muestra el conjunto completo de asignaciones con eficiencia de Pareto marcando esos puntos \((c,t)\) para cada valor de \(b\) entre 0 y \(g(24-t)\).

La figura A5.6 muestra la frontera factible para la producción y las curvas de indiferencia de Ángela para el ejemplo de las ampliaciones 5.5 y 5.7, donde \(u(t,\ c) =4\sqrt{t} + c\) y \(g(24-t)=2\sqrt{2(24-t)}\).

La función de utilidad es cuasilineal, de modo que sabemos que todas las curvas de indiferencia tienen la misma derivada para un valor dado de \(t\). Y esto significa (tal como se vio en las ampliaciones previas) que la solución de la condición de primer orden es \(t=16\), con independencia de cuáles sean los valores de \(c\) y \(b\). Por tanto, todos los puntos paretoeficientes caen sobre la línea vertical situada en \(t=16\), y la cantidad total producida es ocho fanegas de trigo.

Para hallar todos esos puntos, consideremos en primer lugar la asignación con eficiencia de Pareto cuando \(b=0\): esta cae sobre la línea vertical en el punto donde Ángela consume todo el trigo producido; es decir, el punto P₁, donde \(c=8\). Si Bruno obtiene una pequeña cantidad —por ejemplo, \(b=1\)— nos desplazamos hacia abajo por la línea vertical hasta el punto donde \(c=7\). A medida que aumenta su parte, descendemos más por esa línea y Ángela recibe menos cantidad. En P₂, la parte de Bruno es tres y la de Ángela es cinco. La curva de eficiencia de Pareto termina en P₀, donde \(b=8\) y \(c=0\) (el consumo de Ángela no puede ser negativo). La curva de eficiencia de Pareto pasa por todos los puntos entre P₁ y P₀.

Cuando las preferencias no son cuasilineales

Nuestro supuesto de cuasilinealidad simplifica todos los casos que hemos analizado en esta unidad. Pero podemos usar los mismos métodos para casos en los que la utilidad de Ángela no sea cuasilineal. Entonces vemos que la curva de eficiencia de Pareto sí es una verdadera curva y no una línea vertical.

Para ilustrarlo, determinamos la curva de eficiencia de Pareto para el caso en el que su función de utilidad tiene la forma de la de Cobb–Douglas:

\[u(t,\ c) = t^{\alpha} c^{1- \alpha}\]

y la función de producción es la función cóncava y creciente, \(f(h)=(48h-h^2)/40\), donde \(h\) equivale a horas de trabajo, de modo que la frontera factible de la producción es \(y=g(24-t)\), que es:

\[y=\frac{(576-t^2)}{40}\]

La figura A5.7 muestra algunas de las curvas de indiferencia, así como la frontera factible para este ejemplo. Para seguir teniendo números simples en los cálculos que haremos a continuación, hemos elegido \(\alpha = \frac{8}{13}\).

Hemos señalado los puntos sobre estas tres curvas de indiferencia cuya derivada es igual que la de la frontera factible. Estos se dan con distintos valores de \(t\) en cada curva, mientras que en el caso cuasilineal de la figura A5.6, todos se dan con el mismo valor de \(t\).

Para calcular la RMS, usamos la fórmula de la ampliación 3.3:

\[\text{RMS} = \frac{\partial u}{\partial t} \left/ \frac{\partial u}{\partial c} \right. = \frac{\alpha c}{(1-\alpha)t}\]

La RMT entre el tiempo libre de Ángela y su producción de trigo es, como de costumbre, el valor absoluto de la derivada de la frontera factible (que es negativa):

\[\text{RMT} = -\frac{dy}{dt} = \frac{t}{20}\]

El conjunto de asignaciones paretoeficientes \((b, c, t)\) se halla, igual que antes, resolviendo el problema:

\[\text{elige } t \text{ y } c \text{ para maximizar } u(t,\ c) \text{ con la restricción } c+b=g(24-t)\]

y la solución cumple las mismas dos condiciones (la condición de primer orden y la restricción):

\[RMT=RMS \text{ y } c+b=g(24-t)\]

Con las funciones específicas de este ejemplo, las dos ecuaciones son:

\[\frac{t}{20} = \frac{\alpha c}{(1-\alpha)t} \text{ y } c+b=\frac{576-t^2}{40}\]

Si asumimos que \(\alpha = \frac{8}{13}\), igual que antes, la condición de primer orden se puede reordenar para obtener:

\[c=\frac{t^2}{32}\]

Esta es la ecuación de la curva de eficiencia de Pareto, es decir, el conjunto de puntos paretoeficientes. Esta nos dice que \(c\) es una función cuadrática de \(t\) que pasa por el origen y crece cuando \(t > 0\).

Para entender qué ocurre aquí resulta útil trazar esta curva (la línea creciente de la figura A5.8) junto con la frontera factible (la línea decreciente). Para simplificar la figura no hemos señalado las curvas de indiferencia de Ángela. Pero si lo hiciéramos, veríamos que para cada valor de \(t\) a lo largo de la línea creciente, la derivada de la curva de indiferencia (RMS) es igual que la de la frontera factible (RMT).

El punto P₁, donde se cruzan las dos líneas, es la solución de las dos ecuaciones para el caso \(b=0\). Puedes comprobar que aquí \(t=16\) y \(c=8\). Ángela tiene ocho horas de tiempo libre y produce y consume ocho fanegas de trigo; Bruno no obtiene nada. Cada punto de la curva de eficiencia de Pareto que se encuentra por debajo de la frontera factible es una solución para la condición de primer orden cuando la cantidad de trigo producido (sobre la frontera factible) se reparte entre ambos. Por ejemplo, en el punto P₂, Ángela tiene diez horas de tiempo libre y produce 11,9 fanegas de trigo; ella obtiene 3,13 y Bruno recibe 8,78 (con dos cifras decimales).

En P₀ (el origen), Ángela no tiene nada de tiempo libre; produce gran cantidad de trigo y no consume ninguno. Por supuesto, este resultado extremo no podría darse, puesto que no le permitiría vivir. Pero si Ángela pudiera vivir en esta situación, sería un resultado paretoeficiente.