Unidad 8 Oferta y demanda: mercados con muchos compradores y vendedores
8.5 Ganancias del comercio en equilibrio competitivo: asignación y distribución
- ganancias del comercio, ganancias del intercambio
- Aquellos beneficios que cada parte obtiene de una transacción en comparación con la situación en la que se encontrarían sin esa transacción.
Compradores y vendedores de pan comercian de forma voluntaria entre sí porque ambos se benefician. Las ganancias del comercio se pueden medir de la misma manera que en la unidad 7 a través de los excedentes que obtienen compradores y vendedores. Siempre que un comprador paga más por una barra de pan que el coste marginal de producirla hay un excedente potencial.
La figura 8.12 muestra las curvas de oferta y de demanda del mercado del pan. Recuerda que las panaderías difieren en cuanto a costes marginales en la producción de pan, y que la curva de oferta nos dice el coste marginal de cada barra que se elabora. La curva de demanda muestra la disposición a pagar de los consumidores. Para cada barra de pan producida hasta la número 5000 hay un consumidor dispuesto a pagar por ella un precio más elevado que el coste marginal de producirla.
En el equilibrio competitivo del punto A se venden 5000 barras de pan a 2 euros la unidad. Todos los consumidores hasta el número 5000 reciben un excedente monetario igual a su disposición a pagar (DAP) menos el precio; y los productores de todas las barras de pan hasta llegar a la número 5000 reciben un excedente igual al precio de cada unidad menos el coste marginal de fabricarla.
Figura 8.12 Equilibrio en el mercado del pan: ganancias del comercio.
Excedente del consumidor
Excedente total del consumidor
Excedente del productor
Excedente total del productor
El excedente total en el mercado del pan
El conjunto completo del área sombreada en la figura 8.12 (la suma del excedente del consumidor y del productor) es el excedente total derivado del comercio en el mercado del pan. En un equilibrio competitivo se realizan todas las ganancias potenciales derivadas del comercio, en otras palabras, el excedente total se maximiza.
El economista Joel Waldfogel le hizo un flaco favor a su disciplina al sugerir que hacer regalos en navidad puede suponer una pérdida de eficiencia.1 Si recibimos un regalo que vale menos para nosotros de lo que le costó a quien nos lo da, podríamos afirmar que el excedente derivado de la transacción es negativo. ¿Estás de acuerdo?2
- Si se fabricaran menos barras de pan, habría ganancias del comercio sin explotar: algunos consumidores sin pan estarían dispuestos a pagar por él más de lo que cuesta producir una unidad adicional.
- Si se fabricaran más de 5000 barras de pan, el excedente total disminuiría porque el excedente de las unidades adicionales sería negativo: elaborarlas costaría más de lo que estarían dispuestos a pagar los consumidores.
- En una situación de equilibrio, el coste marginal de la última barra producida (la número 5000) es igual a la disposición a pagar del último consumidor que compra, de modo que se aprovechan todas las ganancias potenciales del comercio.
Esta propiedad se da en términos generales: una asignación de equilibrio competitivo maximiza el excedente total disponible en el mercado. Esto contrasta con la asignación de un bien diferenciado (figura 7.20), donde se da una pérdida de eficiencia porque el productor pone un precio por encima del coste marginal de la última unidad producida.
Eficiencia de Pareto
Pieza clave
Para consultar una introducción a la eficiencia de Pareto lee la sección 4.5.
Puesto que en un equilibrio competitivo se obtienen todas las ganancias potenciales del comercio, sabemos que no es posible cambiar la asignación (la cantidad de pan que se produce y las personas que lo compran y lo venden) para que un consumidor o una empresa mejore su situación sin que eso implique empeorar la situación de alguno de los demás.
- eficiencia de Pareto, paretoeficiente
- Una asignación es paretoeficiente si no existe ninguna otra asignación posible en la que al menos una persona salga mejor parada y nadie empeore su situación.
- externalidad, efecto externo
- Un efecto externo se da cuando la actuación de una persona aporta un beneficio o supone un coste a otras, y ese coste o beneficio no fue tenido en cuenta por quien realizó la acción. Las externalidades también se denominan efectos externos.
- contrato completo
- Un contrato es completo si a) cubre todos los aspectos del intercambio en los que tiene interés cualquiera de las partes, y b) se puede obligar a su cumplimiento (por vía judicial) con un coste casi nulo para las partes.
¿Significa esto que la asignación de equilibrio es paretoeficiente? La respuesta es sí, siempre que el comercio en el mercado del pan no afecte a nadie más aparte de los consumidores y las panaderías. Pero si, por ejemplo, la producción de pan supusiera gran cantidad de ruido o de contaminación que afectara a las personas que residen en las proximidades, entonces para hallar una asignación con eficiencia de Pareto habría que tener en cuenta esos costes adicionales derivados de la producción de pan (conocidos como efectos externos).
La eficiencia de Pareto de una asignación de equilibrio competitivo suele interpretarse como un argumento de peso en favor de los mercados como un medio para asignar recursos. Pero deberíamos poner cuidado para no exagerar el valor de este resultado teórico. Solo se da con las siguientes condiciones estrictas:
- En un mercado con muchos compradores y vendedores de bienes idénticos.
- En una situación de equilibrio, cuando todos los participantes son precioaceptantes.
- Cuando el comercio en el mercado no tiene efectos externos.
- Allí donde existe un contrato completo entre cada comprador y vendedor.
Pieza clave
Encontrarás una introducción a los contratos incompletos en la sección 6.6, dedicada a contratos incompletos en el mercado de trabajo.
Podemos dar por supuesto que la cuarta condición se da en nuestro ejemplo: el intercambio de una barra de pan por dinero se rige por un contrato completo. Si al llegar a casa descubres que no hay ninguna barra de pan dentro de la bolsa etiquetada con la palabra «pan», puedes reclamar que te devuelvan el dinero. Pero hay casos en los que resulta imposible asegurarse de que todos los aspectos importantes del intercambio están cubiertos por un contrato vinculante en términos legales.
En la práctica:
- La mayoría de empresas vende bienes que de alguna manera se diferencian de los de otras empresas; incluso panaderías que venden barras de pan idénticas difieren entre sí en cuanto a localización, servicios y la variedad de artículos que ofrecen.
- Es difícil encontrar pruebas de que hay aceptación de precios (sección 8.10).
- Muchos bienes tienen efectos externos, como emisiones de carbono que contribuyen al cambio climático.
- Los contratos suelen ser incompletos: por ejemplo, es posible que quien compra un vehículo de segunda mano no sepa si es fiable o si está en buenas condiciones para circular con él.
Las implicaciones para la eficiencia de Pareto de los efectos externos y de los contratos incompletos se analizan en la unidad 10.
La distribución de las ganancias derivadas del comercio
Existen dos criterios para valorar una asignación: la eficiencia y la equidad (unidad 5). Incluso cuando nos parece que una asignación de mercado es paretoeficiente, no debemos concluir que sea necesariamente deseable. Tal como explicamos en la unidad 7, el excedente del consumidor y del productor no dicen nada sobre la equidad, puesto que la suma de las ganancias monetarias es una mala medida de los beneficios globales. Sin embargo, sí podemos valorar cómo se distribuyen esas ganancias monetarias entre productores y consumidores comparando el excedente del consumidor y del productor. En la figura 8.12, el excedente del consumidor es ligeramente mayor que el excedente del productor. Esto sucede porque la curva de demanda es bastante empinada (inelástica).
De la misma manera que medimos la sensibilidad de los consumidores a las variaciones de precios usando la elasticidad de la demanda, podemos emplear la elasticidad de la oferta para medir la sensibilidad de los productores. En la figura 8.12, la demanda es menos elástica que la oferta. En general, la distribución del excedente total entre consumidores y productores depende de la elasticidad relativa de la demanda y de la oferta.
Ejercicio 8.3 Maximizar el excedente
Considera un mercado de entradas para un partido de fútbol. Seis seguidores del equipo Azul querrían comprar; sus respectivas valoraciones (disposición a pagar) de una entrada son 8, 7, 6, 5, 4 y 3. El gráfico muestra la «curva» de demanda. Seis seguidores del equipo Rojo ya tienen entrada, por lo que sus respectivos precios de reserva (disposición a aceptar) son 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
Supón que todos los intercambios se realizan a un precio único igual que en un mercado competitivo en el que compradores y vendedores son precioaceptantes.
- Dibuja las «curvas» de oferta y de demanda en un solo gráfico. (Pista: la curva de oferta también es una función escalonada, igual que la curva de demanda).
- Demuestra que cuatro intercambios se producen en equilibrio.
- ¿Cuál es el precio de equilibrio?
- Calcula los siguientes valores sumando los excedentes de cada intercambio individual: excedente del consumidor (comprador), excedente del productor (vendedor), excedente total en equilibrio.
Supón ahora que el mercado opera a través de negociaciones individuales entre compradores y vendedores.
- Halla una manera de emparejar compradores y vendedores de forma que haya más de cuatro intercambios. (Pista: supón que el comprador con la disposición a pagar más alta le compra al vendedor con la disposición a aceptar más alta).
- A partir de la situación planteada en el punto 5, halla el excedente derivado de cada intercambio y compáralo con el excedente de equilibrio del punto 4.
- A partir de la asignación de entradas que obtuviste con la negociación, donde al menos cinco entradas pertenecen a los seguidores del equipo Azul, ¿hay alguna manera de conseguir con más intercambios que uno de los seguidores salga beneficiado sin perjudicar a ningún otro?
Ejercicio 8.4 Ganancias del comercio, pérdida de eficiencia y elasticidad de la oferta
- Considera el mercado del pan de la figura 8.12, donde el precio de equilibrio es 2,00 euros y se venden 5000 barras. Supón que las panaderías se unen para formar un cártel (un grupo de empresas que se alían para aumentar sus beneficios conjuntos). Acuerdan subir el precio a 2,70 euros, y todas ellas reducen la producción para ofertar el número de barras que los consumidores demandan a ese precio. Traza un gráfico que ilustre el resultado del mercado con ese cártel. Sombrea en el gráfico las áreas del excedente del consumidor, del excedente del productor y de la pérdida de eficiencia causada por el cártel.
- Describe algunas características de bienes con probabilidad de tener curvas de oferta muy elásticas y menciona algunos ejemplos.
- Traza dos gráficos, uno en el que la curva de oferta sea muy elástica y otro en el que la curva de oferta sea muy inelástica. Usa ambos gráficos para explicar que la parte de las ganancias derivadas del comercio que obtienen los productores depende de la elasticidad de la curva de oferta.
Pregunta 8.6 Elige las respuestas que sean correctas
En la figura 8.12 se ve que la producción y el precio cuando hay equilibrio de mercado en el negocio del pan se sitúan en \((Q^*, P^*)\) = (5000, 2 €). Supón que el alcalde de la ciudad impone que las panaderías vendan cada unidad a un precio de 1,50 euros. A partir de esta información, lee los siguientes enunciados y elige las opciones que sean correctas.
- El excedente del productor es más bajo porque los productores que habrían vendido cada barra a precios entre 1,50 y 2 euros ya no venden su pan.
- El excedente del productor es más bajo porque los productores que habrían vendido cada barra a precios entre 1,50 y 2 euros ya no venden su pan.
- El excedente del consumidor es más bajo porque se producen menos intercambios (los consumidores ya no pueden comprar pan a los productores que habrían vendido la barra a precios entre 1,50 y 2 euros).
- Hay una pérdida de eficiencia igual al área del triángulo situado entre las curvas de oferta y de demanda que quedan a la izquierda del equilibrio.
Pregunta 8.7 Elige las respuestas que sean correctas
Lee los siguientes enunciados sobre una asignación en equilibrio competitivo y elige las opciones que sean correctas.
- La asignación maximiza el excedente total, pero eso no significa que sea la mejor para todo el mundo en el mercado, por ejemplo, puede parecernos injusta.
- Esto tiene que ser cierto puesto que la asignación maximiza el excedente total.
- Es posible que la asignación de equilibrio no sea paretoeficiente si afecta a alguien más aparte de los compradores y los vendedores.
- Esta es una característica general del equilibrio competitivo.
Ampliación 8.5 Ganancias del comercio
En la parte principal de esta sección describimos las ganancias del comercio en el mercado del pan en forma de gráficos, y afirmamos que el excedente total se maximizaría en una situación de equilibrio competitivo. Ahora explicamos cómo calcular el excedente del consumidor y del productor usando el análisis matemático (integración) y demostrando el resultado de la maximización en términos algebraicos.
La figura 8.12a, reproducida a continuación como figura A8.4, muestra las ganancias del comercio en una situación de equilibrio en el mercado del pan en una ciudad. El excedente que obtienen los consumidores está representado por el área situada debajo de la curva de demanda y encima de la línea horizontal que marca el nivel del precio de mercado. El excedente del productor se corresponde con el área situada por encima de la curva de oferta y por debajo de la línea horizontal del precio. La suma de esas dos áreas equivale a la ganancia total derivada del comercio en este mercado en relación con la opción externa de no producir pan.
Figura A8.4 Equilibrio en el mercado del pan: ganancias del comercio.
Las funciones de demanda y de oferta
Para hallar las ganancias del comercio en términos matemáticos, hay que especificar las ecuaciones de las curvas de demanda y de oferta. Al igual que en otras ampliaciones, tratamos \(Q\) como una variable continua para poder usar el análisis matemático, en lugar de considerar \(Q\) como una representación de cantidades discretas de barras de pan.
Supón que la demanda de pan se describe mediante la inversa de la función de la demanda, \(P=f(Q)\), donde \(P\) es el precio y \(Q\) es la cantidad de pan. Bajo el supuesto habitual de que las curvas de demanda son decrecientes (la ley de la demanda), \(f\) es una función decreciente: \(f'(Q)<0\).
Por la ampliación 8.4 sabemos que la inversa de la curva de oferta es la curva de coste marginal para la producción de pan en este mercado. Si aceptamos que \(C(Q)\) sea el coste total (para todo el conjunto de las panaderías) de producir una cantidad total, \(Q\), entonces el coste marginal es \(C'(Q)\), y \(P=C'(Q)\) es la ecuación de la inversa de la función de la oferta del mercado. Suponemos que \(C'(Q)\) tiene un valor positivo y que aumenta con \(Q\), de modo que la curva de oferta es creciente, lo que significa que \(C(Q)\) es una función convexa creciente.
El coste marginal es la derivada de los costes totales. Por tanto, podemos hallar el coste total con la cantidad \(Q\) integrando la función de coste marginal. Al integrar entre las cantidades 0 y \(Q\) obtenemos:
\[C(Q) = C(0)+ \int_0^Q C'(q) \, dq\]donde \(C(0)\) es el coste total con una cantidad de cero, es decir, los costes fijos. Esta ecuación nos dice que el coste total, \(C(Q)\), equivale a los costes fijos de todas las empresas más el área situada debajo de la curva de coste marginal con cantidades inferiores o iguales a \(Q\), que son los costes variables totales.
Cálculo del excedente del consumidor y del productor
Recuerda que la función de la demanda nos dice la disposición a pagar (DAP) por el pan. Si los consumidores se colocaran en fila ordenados de acuerdo con lo que están dispuestos a pagar por una barra de pan, entonces el consumidor \(q^{\text{ésimo}}\) estará dispuesto a pagar \(P = f(q)\). Cualquier comprador cuya disposición a pagar por un bien es superior al precio que paga por él obtiene un excedente. Supón que el consumidor \(q^{\text{ésimo}}\) paga \(P_0\) por una barra de pan. Entonces el excedente de este consumidor será \(f(q) - P_0\). En la figura A8.4, donde todos los consumidores pagan un precio de 2 euros, esto se corresponde con la distancia vertical de la cantidad, \(q\), entre la curva de demanda y la línea horizontal, \(P=2\).
- excedente del consumidor
- Cada consumidor que compra un bien obtiene un excedente igual a la diferencia entre el precio que está dispuesto a pagar y el precio pagado. La expresión «excedente del consumidor» se refiere, por lo común, a la suma de los excedentes de todos los consumidores.
Hemos definido el excedente del consumidor como la suma de los excedentes (en términos monetarios) de todos los consumidores que compran pan; cuando la cantidad \(Q\) es una variable continua, se corresponde con la integral de los excedentes de todos esos consumidores.
Supón que el precio es \(P_0\) y que la cantidad total vendida es \(Q_0\). La figura A8.5 ilustra esta situación para el caso \(P_0=2,5, Q_0=3000\). Entonces, el excedente del consumidor se corresponde con el área sombreada entre la curva de demanda y \(P=P_0\). Estamos suponiendo que todas las barras de pan se venden al mismo precio, pero no que el mercado esté en equilibrio.
Figura A8.5 Excedente del consumidor y del productor cuando \(Q=Q_0\) y \(P=P_0\).
Para hallar el área sombreada que representa el excedente del consumidor hay que integrar los excedentes, \((f(q)-P_0)\), para todos los valores de \(q\) entre \(q=0\) y \(q=Q_0\):
\[\mbox{excedente del consumidor} = \int_0^{Q_0} (f(q) - P_0) \, dq = \int_0^{Q_0} f(q) \, dq - P_0Q_0 = F(Q_0) - P_0Q_0\]En esta expresión hemos introducido la notación \(F(Q)\) para indicar la integral de la función, \(f\). Es decir, el área situada bajo la curva de demanda para cantidades entre 0 y \(Q\). En virtud del teorema fundamental del cálculo:
\[F'(Q) = f(Q)\]Hemos especificado que \(f(Q)\) es una función decreciente, de lo que se deriva que la función \(F\) es cóncava.
De igual manera, como la curva de oferta del mercado se corresponde con los costes marginales de las barras de pan por orden de coste marginal creciente, producir la barra de pan \(q^{\text{ésimo}}\) cuesta \(C'(q)\). Si a la empresa se le paga \(P_0\) por esa pieza de pan, esta recibe un excedente igual a \(P_0 - C'(q)\). En el gráfico, esta es la distancia vertical de la cantidad, \(q\), entre la curva de oferta y la línea horizontal, \(P=P_0\).
- excedente del productor
- El productor de un bien recibe, por cada unidad, una ganancia que es igual al precio menos el coste marginal de producirlo. La expresión «excedente del productor» hace referencia normalmente a la suma de esas ganancias obtenidas de todas las unidades vendidas.
Cuando el precio es \(P_0\) y la cantidad vendida es \(Q_0\), hallamos el excedente total del productor (el área sombreada entre la curva de oferta y \(P=P_0\) de la figura A8.5) integrando los excedentes, \(P_0 - C'(q)\), que reciben los productores de cada barra de pan vendida:
\[\mbox{excedente del productor} = \int_0^{Q_0} (P_0 - C'(q)) \, dq = P_0Q - \int_0^{Q_0} C'(q) \, dq = P_0Q_0 - C(Q_0)+C(0)\]Tal como explicamos en la sección 7.7, el excedente del productor es la renta económica de la empresa en relación con la opción externa de no producir nada, pero soportando los costes fijos. El beneficio es la renta de la empresa en relación con la opción externa de abandonar el mercado por completo.
Esta expresión muestra que el excedente del productor es igual a los beneficios de las empresas más sus costes fijos. De forma equivalente, el beneficio es igual al excedente del productor menos los costes fijos.
Maximizar el excedente del consumidor y del productor
Las expresiones que hemos obtenido para el excedente del consumidor, \(F(Q_0)-P_0Q_0\), y el excedente del productor, \(P_0Q_0 - C(Q_0)+C(0)\), dan el valor del excedente del consumidor para cualquier precio, \(P_0\), y para cualquier cantidad, \(Q_0\); son válidas tanto si el precio está en el nivel de equilibrio del mercado como si no.
Puesto que miden las ganancias del comercio, es útil saber en qué condiciones adoptan los valores más altos posibles. Continuando con el supuesto de que el precio se fija en \(P=P_0\), consideraremos cómo varía el excedente del consumidor (EC) con la cantidad, \(Q\):
\[\text{EC}(Q) = F(Q) - P_0Q\]El valor de \(Q\) que maximiza el excedente del consumidor se puede hallar igualando a cero la derivada de EC:
\[F'(Q) = P_0\]Nótese que, como \(F(Q)\) es cóncava, la derivada segunda de EC es negativa, lo que confirma que esta condición nos da un punto máximo.
Esta ecuación nos dice que si el precio es \(P_0\), entonces EC se maximiza cuando la cantidad vendida se sitúa en el punto \(P_0\) de la curva de demanda, es decir, cuando participan en el mercado todos los consumidores con una disposición a pagar superior o igual a \(P_0\). Si compran menos consumidores (como en \(Q_0\) de la figura A8.5), hay ganancias desaprovechadas. Y si otros consumidores compraran pan, obtendrían un excedente negativo, lo que reduciría la suma del excedente total del consumidor.
Siguiendo exactamente el mismo procedimiento, podemos comprobar que el excedente del productor,
\[\text{PS}(Q) = P_0Q-C(Q)\]se maximiza cuando
\[P_0 =C'(Q)\]Por tanto, sea cual sea el precio, los productores maximizan su excedente si el coste marginal del pan es igual al precio.
Maximización del excedente total
La suma del excedente del productor y del consumidor es el excedente total. Cuando el precio es \(P_0\) y la cantidad vendida es \(Q\), el excedente total equivale a \(N(Q)\):
\[\begin{align} N(Q) &= F(Q) - P_0 Q + P_0 Q - C(Q)\\ \text{excedente total} &= \text{excedente del consumidor} +\text{excedente del productor} \end{align}\]lo que se puede simplificar como:
\[N(Q) = F(Q) - C(Q)\]Fíjate en que el excedente total depende tan solo de la cantidad vendida. Sea cual sea el precio, la cantidad que se paga por el pan supone una pérdida para los consumidores y una ganancia equivalente para las empresas, por lo que ambos valores se anulan cuando sumamos los excedentes de ambos para calcular el excedente total del mercado.
Para hallar la cantidad, \(Q^*\), que maximiza el excedente total, igualamos a cero la derivada de \(N(Q)\). Entonces, \(Q^*\) es la cantidad que satisface la ecuación:
\[F'(Q^*) =C'(Q^*)\]Para asegurarnos de que \(Q^*\) maximiza \(N\), debemos tener en cuenta la segunda derivada. Recuerda que \(F\) es cóncava y que \(C\) es convexa. De modo que la derivada segunda de \(F\) es negativa, y la derivada segunda de \(C\) es positiva. Esto permite deducir que la derivada segunda de \(N\) es negativa y, por tanto, que \(Q^*\) se corresponde con un punto máximo.
Puesto que \(F'(Q^*) =f(Q^*)\), esta ecuación nos dice que \(Q^*\) está en el punto donde la inversa de la curva de demanda, \(P=f(Q)\), se cruza con la inversa de la curva de oferta, \(P=C'(Q)\). \(Q^*\) es el nivel de producción en el que se cruzan las curvas de demanda y de oferta. Este es el nivel de producción que se alcanza cuando el mercado se encuentra en equilibrio competitivo. Por tanto, hemos demostrado que en la asignación de equilibrio competitivo, en la que el mercado se vacía al precio de equilibrio \(P^* = f(Q^*) =C'(Q^*)\), la cantidad vendida maximiza las ganancias totales del comercio.
Ejercicio A8.3 Calcula el excedente
Supón que la función (indirecta) de la oferta del mercado es \(P = 2 + 4Q\) y que la función (indirecta) de la demanda del mercado es \(P = 80 - 2Q\).
- Halla el precio y la cantidad de equilibrio, y calcula los excedentes correspondientes del productor y del consumidor. Dibuja un gráfico para ilustrar este resultado.
- Supón ahora que el precio de mercado se fija en \(P = 44\). Calcula el excedente del productor y del consumidor cuando (i) la cantidad de mercado está determinada por la oferta, y (ii) cuando la cantidad de mercado está determinada por la demanda. Usa un gráfico para mostrar las áreas del excedente en ambos casos.
Supón ahora que la función (indirecta) de la oferta del mercado es \(P = 0,4Q^2 + Q + 14,7\) y que la función (indirecta) de la demanda del mercado es \(P = 0,1Q^2 – 8Q + 120\).
- Halla el precio y la cantidad de equilibrio, y calcula los excedentes del productor y del consumidor correspondientes. (Pista: recurre a la integración). Dibuja un gráfico para ilustrar este resultado.
- Supón ahora que el precio de mercado se fija en \(P = 44,1\). Calcula el excedente del productor y del consumidor cuando (i) la cantidad de mercado está determinada por la oferta y (ii) cuando la cantidad de mercado está determinada por la demanda.
Bibliografía: Apartados 8.4 (sobre convexidad y concavidad) y 19.1 (sobre integración) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4ª ed., 2015 o 5ª ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
-
Joel Waldfogel. 1993. «The Deadweight Loss of Christmas». The American Economic Review 83 (5) (diciembre): pp. 1328–1336. ↩
-
The Economist. 2009. «Is Santa a Deadweight Loss?». Actualizado el 14 de diciembre de 2009. ↩
