Unidad 7 La empresa y sus clientes
7.6 Determinación del precio y la cantidad para maximizar el beneficio
Como el fabricante de Cheerios, la empresa Belautos escogerá el precio \(P\) y la cantidad \(Q\) teniendo en cuenta su curva de demanda y sus costes de producción. La curva de demanda determina el conjunto factible de combinaciones de \(P\) y \(Q\). Para hallar el punto en que el beneficio es máximo, podemos dibujar las curvas de isobeneficio y hallar el punto de tangencia como hicimos antes.
El beneficio de la empresa es la diferencia entre sus ingresos (precio multiplicado por cantidad vendida) y sus costes totales, \(C(Q)\):
\[\begin{align*} \text{beneficio} &= \text{ingresos totales} - \text{costes totales} \\ &= PQ - C(Q) \end{align*}\]- beneficio, beneficio económico
- El beneficio de una empresa es la diferencia entre sus ingresos y sus costes totales. A menudo se utiliza la expresión «beneficio económico» para destacar que se tiene en cuenta el coste de oportunidad del capital (el cual no se incluye en el beneficio contable).
- beneficio normal
- Es la rentabilidad que la empresa debe pagar a sus accionistas para inducirlos a que conserven las acciones. La tasa de beneficio normal es igual al coste de oportunidad del capital y se incluye en los costes de la empresa. Cualquier beneficio adicional (ingresos mayores que los costes) se denomina beneficio económico. Una empresa que tenga solo un beneficio normal tiene cero beneficio económico.
Este cálculo nos da lo que se conoce como beneficio económico. Como recordarás, la rentabilidad que, por cada dólar invertido, la empresa debe pagar a sus accionistas para que quieran conservar las acciones (que es igual al coste de oportunidad del capital) está incluida en la función de coste de la empresa. Estos pagos que deben hacerse a los accionistas se denominan beneficio normal. El beneficio económico es el beneficio adicional por encima del rendimiento mínimo exigido por los accionistas.
De igual manera, el beneficio (o, más en concreto, el beneficio económico) es el número de unidades producidas multiplicado por el beneficio por unidad, que es la diferencia entre el precio y el coste medio:
\[\begin{align*} \text{beneficio} &= Q(P-\frac{C(Q)}{Q}) \\ &= Q(P- \text{CMe}) \end{align*}\]En general, la forma de las curvas de isobeneficio dependerá de la que tenga la curva de coste medio. En el caso de Belautos, que tiene la función de coste \(C(Q) = F + cQ\), podemos expresar el beneficio así:
\[\text{beneficio} = Q(P-c)-F\]La ecuación muestra que las curvas de isobeneficio de Belautos tendrán la misma forma que las dibujadas en la figura 7.2b para Apple Cinnamon Cheerios. Ambas empresas tienen costes marginales constantes (aunque diferentes): 2 dólares para una libra de Cheerios, 14 400 dólares para un automóvil. La principal diferencia es que Belautos también tiene costes fijos, que afectan al beneficio en cada curva de isobeneficio.
La figura 7.14 muestra las curvas de isobeneficio de Belautos. La curva más baja mostrada es la recta horizontal en la que el precio es igual al coste marginal, \(P\) = 14 400 dólares. A ese precio, la empresa obtiene una pérdida igual al coste fijo, 80 000 dólares. La siguiente curva es la curva de beneficio económico cero, que también es la del coste medio: las combinaciones de precio y cantidad para las que el beneficio económico es igual a cero, porque el precio es exactamente igual al coste medio en cada cantidad. En las curvas más altas, el beneficio económico es positivo.
Figura 7.14 Curvas de isobeneficio de Belautos.
Cuando el precio es igual al coste marginal
Cuando el precio es igual al coste medio
Forma de la curva de beneficio económico cero
Curva de isobeneficio más alta
Beneficio = (Q(P − CMe))
A precios más altos, mayores beneficios
Las curvas de isobeneficio tienen más pendiente cuando el precio es alto y menos pendiente cuando se aproxima al coste marginal. En cualquier punto de una curva de isobeneficio, la pendiente viene dada por:
\[\text{pendiente de la curva de isobeneficio} = -\frac{(P- \text{CMe})}{Q}\]Para entender el porqué, piensa de nuevo en el punto G de la figura 7.14, donde \(Q\) = 11 y el precio es mucho más alto que el coste marginal. Si:
- \(Q\) aumenta 1 unidad
- \(P\) disminuye \((P − c)/Q\)
entonces el beneficio se mantendrá igual, porque el beneficio adicional de \((P \ − \ c)\) para el duodécimo automóvil se compensará con una disminución de los ingresos de \((P \ − \ c)\) en los otros once vehículos.
La figura 7.15 muestra la combinación de precio y cantidad con la que el beneficio de Belautos es máximo. Su conjunto factible son todos los puntos que están en la curva de demanda o por debajo de ella. El mayor beneficio se obtiene en el punto E, donde la curva de demanda es tangente a una curva de isobeneficio.
Figura 7.15 Maximización del beneficio para Belautos.
El precio y la cantidad que maximizan el beneficio son \(P^*\) = 27 200 dólares y \(Q^*\) = 32. Así, cada automóvil tiene un coste medio de 16 900 dólares y procura un beneficio de 10 300 dólares. El beneficio total es de 32 × 10 300 dólares = 329 600 dólares, que es igual al área del rectángulo sombreado.
La empresa maximiza su beneficio en el punto de tangencia, donde la pendiente de la curva de demanda es igual a la de la curva de isobeneficio, de modo que los dos factores que determinan el beneficio estén en equilibrio.
- relación marginal de sustitución (RMS)
- Cantidad máxima de un bien a la que una persona está dispuesta a renunciar para tener una unidad adicional de otro. En cualquier momento, la RMS es el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia. Véase también: relación marginal de transformación.
- relación marginal de transformación (RMT)
- Cantidad de un bien a la que se debe renunciar para adquirir una unidad adicional de otro bien. En cualquier momento, corresponde al valor absoluto de la pendiente de la frontera factible. Véase también: relación marginal de sustitución.
- margen comercial
- El precio menos el coste marginal dividido por el precio. Dicho de otro modo, el margen de beneficio expresado como proporción del precio. Si la empresa fija el precio con el fin de maximizar sus beneficios, el margen comercial es inversamente proporcional a la elasticidad de la demanda del bien a ese precio.
- La curva de isobeneficio es la curva de indiferencia y su pendiente representa la relación marginal de sustitución (RMS) en la creación de beneficio, entre vender más y cobrar más.
- La curva de demanda es la frontera factible y su pendiente representa la relación marginal de transformación (RMT) de precios más bajos en más cantidad vendida.
En E, que es el punto de máximo beneficio, RMS = RMT.
- margen de beneficio
- Diferencia entre el precio de un producto y su coste marginal de producción.
Recuerda que la pendiente de la curva de isobeneficio depende de \((P − c)\), que es la diferencia entre el precio y el coste marginal, o sea, lo que llamamos margen de beneficio. En el punto E, el margen de beneficio es el beneficio adicional que obtiene la empresa de fabricar y vender el trigésimo segundo automóvil. Recuerda también que la pendiente de la curva de demanda está relacionada con la elasticidad de la demanda al precio, \(\varepsilon\): \(\varepsilon=-\frac{P}{Q } \times \text{pendiente}\) o, lo que es equivalente, \(\text{pendiente}=-\frac{P}{\varepsilon Q}\).
Como se observa en la tabla de la figura 7.16, la condición de tangencia RMS = RMT nos informa de algo importante: cuando la empresa maximiza el beneficio, establece su precio de manera que el margen comercial (margen de beneficio en proporción al precio) sea igual a la inversa de la elasticidad de su curva de demanda.
| Pendiente de la curva de isobeneficio | Pendiente de la curva de demanda |
|---|---|
| RMS | RMT |
| $$ - \frac{(P-c)}{Q} $$ | $$ - \frac{P}{\varepsilon Q} $$ |
| RMS = RMT | |
| $$ \frac{(P-c)}{Q} = \frac{P}{\varepsilon Q} $$ | |
| $$ \frac{(P-c)}{P} = \frac{1}{\varepsilon} $$ | |
| El margen comercial es igual a la inversa de la elasticidad de la demanda | |
Figura 7.16 Interpretación de la condición de tangencia.
Cuando la intensidad de la competencia de otras empresas sea baja, \(\varepsilon\) también será baja. Este resultado nos dice que la empresa establecerá un margen comercial más alto que si se enfrentara a más competencia.
Maximización del beneficio y costes fijos
¿Cómo afectan los costes fijos de la empresa a la elección del precio y la cantidad? La respuesta puede sorprenderte: aunque cambien los costes fijos, la opción que maximiza el beneficio es la misma.
Supón que los costes fijos de Belautos aumentan 1000 dólares, mientras que el coste marginal no varía. No olvides que \(\text{beneficio} = (P - c)Q - F\). Por lo tanto, si antes había dos combinaciones \((P, Q)\) diferentes que daban el mismo beneficio, las dos siguen siendo igual de rentables, aunque el beneficio será 1000 dólares más bajo.
En consecuencia, todas las curvas de isobeneficio de la figura 7.15 se mantienen exactamente en los mismos lugares. La única diferencia es que debemos cambiar los rótulos para que el beneficio sea 1000 dólares menos en cada punto. La empresa escoge los mismos valores para \(P\) y \(Q\), pero consigue 1000 dólares menos de beneficio.
Uso de los ingresos marginales y del coste marginal para hallar la cantidad que maximiza el beneficio
En la figura 7.15 calculamos cómo la empresa maximizaría el beneficio hallando los valores de \(P\) y \(Q\) que producirían el beneficio más alto dentro del conjunto factible. Otro enfoque posible es averiguar cómo varía el beneficio con \(Q\), teniendo en cuenta el efecto de modificar \(Q\) sobre el precio al que se pueden vender los automóviles.
Recordemos que el beneficio es la diferencia entre los ingresos y los costes, así que, para cualquier valor de \(Q\), la variación del beneficio si \(Q\) se incrementa una unidad (es decir, el beneficio marginal) será la diferencia entre la variación de los ingresos (ingresos marginales o IMg) y la variación de los costes (coste marginal, CMg):
\[\begin{align*} \text{beneficio} &= \text{ingresos totales} - \text{costes totales} \\ \text{beneficio marginal} &= \text{IMg} - \text{CMg} \end{align*}\]- Si IMg > CMg, la empresa podría incrementar el beneficio aumentando \(Q\).
- Si IMg < CMg, el beneficio marginal es negativo. Le conviene disminuir \(Q\).
- Por lo tanto, para la \(Q\) que maximiza el beneficio, IMg = CMg.
La figura 7.17 muestra cómo calcular los ingresos marginales para cada valor de \(Q\) a lo largo de la curva de demanda y así hallar el punto de máximo beneficio para Belautos. Como Belautos tiene un coste marginal constante, la línea horizontal de 14 400 dólares representa el CMg.
Figura 7.17 Ingresos marginales y coste marginal.
Curvas de demanda y de coste marginal
| Cálculo de IMg cuando Q = 20 | ||
|---|---|---|
| Ingresos, R = P × Q | ||
| Q = 20 | P = 32 000 $ | R = 640 000 $ |
| Q = 21 | P = 31 600 $ | R = 663 600 $ |
| ΔQ = 1 | ΔP = –400 $ | IMg = 23 600 $ |
Cálculo de los ingresos marginales (IMg)
Cuando Q = 20, IMg es positivo
Dibujo de IMg en el gráfico
IMg en otros puntos
Curva de ingresos marginales
Punto de máximo beneficio
La curva de ingresos marginales es, por lo general (aunque no necesariamente), una línea con pendiente negativa. La figura 7.17 demuestra que IMg = CMg en el punto E′, donde \(Q \ = \ 32\). El gráfico muestra lo siguiente:
- Cuando \(Q\) < 32, IMg > CMg, por lo que el beneficio marginal es positivo; el beneficio se incrementa con \(Q\).
- Cuando \(Q\) > 32, IMg < CMg, por lo que el beneficio marginal es negativo; el beneficio disminuye con \(Q\).
Así que la empresa no querría elegir ningún valor de \(Q\) por debajo de 32, porque el beneficio puede aumentarse eligiendo un valor más alto. Y no querría ningún \(Q\) por encima de 32, porque el beneficio disminuye: es preferible elegir un valor más bajo.
La cantidad que maximiza el beneficio es \(Q\) = 32. ¿Cuál debería ser el precio? Para maximizar el beneficio, la empresa debería marcar el precio más alto al que puede vender 32 automóviles, según la curva de demanda. Así que el beneficio se maximiza en el punto E: \(Q \ = \ 32\) y \(P\) = 27 200 dólares.
La figura 7.18 muestra que el punto E′, donde IMg = CMg, nos lleva al mismo punto de maximización del beneficio al que antes llegamos hallando un punto de tangencia.
Figura 7.18 El punto de maximización del beneficio puede hallarse a partir del IMg y CMg o de las curvas de isobeneficio.
Pregunta 7.9 Elige las respuestas que sean correctas
La figura 7.15 representa la curva de demanda de Belautos, junto con la curva de isobeneficio y la de coste marginal. En el punto E, la combinación de cantidad y precio es (\(Q^*\), \(P^*\)) = (32, 27 200) y el beneficio es de 329 600 dólares.
Supón que la empresa decide producir \(Q\) = 32 automóviles y establece el precio en \(P\) = 27 000 dólares. Partiendo de esta información, lee los siguientes enunciados y elige los que sean correctos.
- Como \(Q\) sigue siendo 32, los costes de producción se mantienen igual, pero los ingresos bajan y, en consecuencia, el beneficio también.
- Como \(Q\) sigue siendo 32, los costes de producción se mantienen igual. Los ingresos disminuyen 200 dólares por automóvil y 6400 dólares en total. Por lo tanto, el beneficio es 329 600 $ – 6400 $ = 323 200 $.
- En E, donde \(Q^*\) = 32 y \(P^*\) = 27 200 $, el beneficio es de 329 600 dólares. Por lo tanto, el beneficio por automóvil es de 329 600 $/32 = 10 300 $. Como 27 200 $ – CMe = 10 300 $, el CMe debe ser 16 900 $.
- Al precio más bajo, la demanda es superior a 32, por lo que la empresa no tendrá problemas para vender los 32 automóviles al nuevo precio.
Pregunta 7.10 Elige las respuestas que sean correctas
La figura 7.15 representa la curva de demanda de Belautos, junto con la curva de isobeneficio y la de coste marginal.
Supón que la empresa decide cambiar de \(P^*\) = 27 200 $ y \(Q^*\) = 32 a un precio más alto y elige el nivel de producción que optimiza el beneficio al nuevo precio. Partiendo de esta información, lee los siguientes enunciados y elige los que sean correctos.
- A un precio más alto que \(P^*\), el número máximo de automóviles que se pueden vender es inferior a 32 y la empresa no fabricará más automóviles de los que puede vender.
- El coste marginal de producción es constante sea cual sea el número de vehículos fabricados.
- La empresa producirá menos de 32 automóviles, por lo que sus costes totales serán menores.
- Cualquier punto factible que no sea E está en una curva de isobeneficio más baja.
Pregunta 7.11 Elige las respuestas que sean correctas
La figura 7.17 muestra el coste marginal, la demanda y los ingresos marginales para Belautos. Partiendo de la figura, lee los siguientes enunciados y elige los que sean correctos.
- Cuando \(Q\) = 40, el coste marginal es mayor que los ingresos marginales, por lo que el beneficio marginal es negativo, pero el beneficio total (sumando el de todas las unidades vendidas) no es necesariamente negativo.
- Los ingresos marginales son mayores en \(Q\) = 10 que en \(Q\) = 20. Pero, como el valor de los ingresos marginales es positivo al aumentar la producción de 10 a 20, los ingresos aumentan: son mayores con \(Q\) = 20.
- El beneficio marginal es cero en el punto en el que se cortan la curva de ingresos marginales y la de coste marginal. Pero este es el punto de maximización del beneficio, por lo que la empresa lo elegirá (no olvides que la empresa sigue obteniendo un beneficio positivo de todas las unidades anteriores vendidas, por lo que el beneficio total es positivo).
- A todos los niveles de producción hasta el punto E, los ingresos marginales son mayores que el coste marginal. Por lo tanto, el beneficio aumenta al incrementarse la producción y es mayor en \(Q\) = 20 que en \(Q\) = 10.
Ampliación 7.6 Maximización del beneficio
En la parte principal de esta sección, hemos utilizado gráficos para mostrar cómo una empresa (Belautos) establecería el precio y la cantidad con los que obtener el máximo beneficio. Para ello adoptamos dos enfoques diferentes: uno con curvas de isobeneficio y otro con ingresos y costes marginales. En esta ampliación, mostramos cómo hacer lo mismo con la ayuda del análisis matemático (diferenciación). En concreto, aplicamos el método para resolver problemas de elección restringida que se explica en la ampliación 3.5; te puede venir bien repasarla antes de leer esta ampliación.
Mediante diagramas, hemos averiguado el precio y la cantidad que maximizan el beneficio de dos formas: en primer lugar, dibujando curvas de isobeneficio y hallando el punto de tangencia con la curva de demanda y, segundo, dibujando las curvas IMg y CMg. En esta ampliación, vamos a demostrar cómo hacer lo mismo sirviéndonos del análisis matemático (diferenciación).
La empresa Belautos tiene funciones lineales de demanda y coste, un coste marginal constante de 14 400 dólares y un coste fijo de 80 000 dólares. La figura A7.2 (tomada de la 7.15) muestra las curvas de isobeneficio y el punto de maximización del beneficio (E) para este caso.
Figura A7.2 Curvas de isobeneficio y maximización del beneficio para Belautos.
Como en las ampliaciones 7.4 y 7.5, vamos a examinar el caso más general de una empresa con la función de coste \(C(Q)\) y la inversa de la función de demanda, \(P=f(Q)\). Recordemos que las funciones de costes medio y marginal son estas:
\[\text{CMe}(Q)=\frac{C(Q)}{Q} \text{ y, por otro lado, } \text{CMg}(Q)=C'(Q)\]El símbolo Π es la letra griega pi mayúscula y, en economía, suele emplearse para representar el beneficio.
El beneficio de la empresa, al que llamamos \(\Pi\), es una función de \(P\) y \(Q\):
\[\Pi (P, Q) = PQ - C(Q)\]Dibujo de curvas de isobeneficio y cálculo de sus pendientes
Las curvas de isobeneficio son una familia de curvas en el plano \(Q–P\), cada una de las cuales se corresponde con un nivel concreto de beneficio. Esta es la ecuación de una curva de isobeneficio típica:
\[PQ - C(Q) = \Pi_0\]donde \(\Pi_0\) es una constante que representa el nivel de beneficio. Existe una curva diferente para cada valor de \(\Pi_0\).
Podemos hallar la forma de las curvas de isobeneficio examinando las propiedades algebraicas de esta ecuación. Para representarlas en un gráfico con \(P\) en el eje vertical, resulta conveniente reescribir la ecuación para que exprese \(P\) como función de \(Q\):
\[P = \frac{C(Q)+\Pi_0}{Q}\]Esta ecuación implica que, si \(\Pi_0\) aumenta, \(P\) también se incrementa para cualquier \(Q\). Por lo tanto, en un gráfico que describa la familia de curvas de isobeneficio, las más altas corresponden a mayores niveles de beneficio. Además, la curva de beneficio cero \((\Pi_0=0)\) corresponde a la de coste medio, \(C(Q)/Q\): la empresa obtiene un beneficio cero cuando el precio es igual al coste medio de una unidad de producto.
Para hallar la pendiente de una curva de isobeneficio en cualquier punto, podemos derivar usando la regla del cociente:
\[\frac{dP}{dQ}= -\frac{QC'(Q)-(C(Q)+\Pi_0)}{Q^2}\]Y, como \(C(Q)+\Pi_0=PQ\), tenemos:
\[\frac{dP}{dQ} = \frac{C'(Q)-P}{Q}=\frac{\text{CMg}-P}{Q}\]Este es el resultado que obtuvimos para Belautos en la parte principal de esta sección. En ese caso, \(\text{CMg}=c\), que es una constante. La figura A7.2 muestra que la curva de isobeneficio en que \(P=c\) es plana y que todas las situadas por encima de ella, donde \(P>c\), tienen una pendiente negativa.
Para las funciones de coste en que CMg no sea constante, las curvas de isobeneficio pueden tener pendiente positiva para algunos valores de \(P\) y \(Q\) y negativa para otros, como ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo
La figura A7.3 muestra las curvas de isobeneficio correspondientes a una curva de coste cuadrática, \(C(Q)=320+2Q+0,2Q^2\). Las ecuaciones del coste marginal y las curvas de isobeneficio son las siguientes:
- Coste marginal: \(\text{CMg}(Q)=C'(Q)=2+0,4Q\)
- Curva de isobeneficio: \(P=\frac{320+\Pi_0}{Q}+2+0,2Q\)
Esta empresa tiene unos costes fijos de 320, y su coste marginal aumenta con la producción: el CMg es una recta con pendiente positiva. Hemos trazado el CMg, junto con la curva de isobeneficio de \(\Pi_0=0\) (curva de CMe) y las curvas de \(\Pi_0=310\) y \(640\).
Figura A7.3 CMg, CMe y curvas de isobeneficio correspondientes a \(C(Q)=320+2Q+0,2Q^2\).
Toma de nuevo la expresión que obtuvimos para la pendiente de una curva de isobeneficio:
\[\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{CMg}-P}{Q}\]La figura A7.3 muestra que las curvas de isobeneficio tienen pendiente negativa en las áreas del gráfico en que \(P > \text{CMg}\) y positiva cuando \(P < \text{CMg}\). Ya hemos mostrado en la ampliación 7.4 que, si la curva del CMe tiene forma de U, la curva del CMg la corta en el punto en que se minimiza el CMe. Ahora sabemos que el CMg corta cualquier curva de isobeneficio en el punto que alcanza el valor más bajo de \(P\).
Maximización del beneficio
Los propietarios de la empresa quieren elegir, dentro del conjunto factible, el precio y la cantidad que produzcan el mayor beneficio posible, \(\Pi=PQ-C(Q)\). Las combinaciones factibles de \(P\) y \(Q\) se encuentran por debajo de la curva de demanda, \(P=f(Q)\). Un punto situado por encima de la curva de demanda no sería factible porque el precio sería demasiado alto para que se vendiese la cantidad correspondiente de producción. En otras palabras, al elegir \(P\) y \(Q\), la empresa se enfrenta a una restricción \(P\leq f(Q)\).
Se trata de un problema de elección restringida, como el que afronta un trabajador que quiere maximizar la utilidad (ampliaciones 3.5 y 5.5). Hemos expresado la restricción como una desigualdad, pero para cualquier valor dado de \(Q\) la empresa obtiene el mayor beneficio si opta por el precio factible más alto. Así que sabemos que se decidirá por una combinación de \(P\) y \(Q\) que se encuentre en la curva de demanda, y podemos escribir la restricción como \(P=f(Q)\). Entonces, el problema de elección restringida es como el problema del trabajador y también el del empleador que estudiamos en la ampliación 6.10.
Problema de elección restringida de la empresa
Elige \(P\) y \(Q\) para maximizar \(\Pi(P,\ Q)\), sujeto a la restricción \(P=f(Q)\).
El método de sustitución es el enfoque matemático más sencillo para resolver este problema. Usamos la restricción para sustituir \(P\), lo que nos da el beneficio en función solo de \(Q\):
\[\Pi= Qf(Q) - C(Q)\]Esta es la función de beneficio que dibujamos para el ejemplo de Cheerios en la figura 7.4b, reproducida a continuación como figura A7.4, y nos informa de la cantidad de beneficio en cada punto de la función de demanda.
Figura A7.4 Beneficio en cada punto de la función de demanda.
Para hallar el valor de \(Q\) que maximiza esta función, derivamos con respecto a \(Q\) usando la regla del producto:
\[\frac{d\Pi}{dQ} = f(Q) + Qf'(Q) - C'(Q)\]La cantidad que maximiza el beneficio, \(Q^*\), satisface la condición de primer orden \(d\Pi/dQ = 0\) (donde la pendiente de la función de beneficio de la figura A7.4 es cero):
\[f(Q)+Qf'(Q)= C'(Q)\]Si conociéramos la forma específica de las funciones \(f(Q)\) y \(C(Q)\), podríamos intentar resolver la ecuación para hallar \(Q^*\) explícitamente. Entonces, el precio que maximiza el beneficio podría calcularse como: \(P^*=f(Q^*)\).
Ahora bien, incluso sin conocer las funciones, se puede analizar lo que nos dice la condición de primer orden. Como el valor de \(Q\) que maximiza el beneficio está en la curva de demanda, \(f(Q) = P\) y la condición de primer orden pueden expresarse así:
\[f'(Q)= \frac{C'(Q) - P}{Q}\]El lado izquierdo de esta ecuación es la pendiente de la curva de demanda y, como vimos antes, el lado derecho es la pendiente de la curva de isobeneficio. Por lo tanto, la condición de primer orden nos dice justamente que la elección que maximiza el beneficio se encuentra en un punto de tangencia entre la curva de demanda y la de isobeneficio.
La condición de primer orden también nos informa de la relación existente entre el margen comercial y la elasticidad de la demanda en el punto de maximización del beneficio. Despejando la condición de primer orden:
\[P-C'(Q)=-Qf'(Q)\]y usando la fórmula de la elasticidad con respecto a la inversa de la función de demanda, \(\varepsilon=-\dfrac{f(Q)}{Qf'(Q)}=-\dfrac{P}{Qf'(Q)}\), obtenemos:
\[\frac{P-C'(Q)}{P}=\frac{1}{\varepsilon}\]Es decir, el margen comercial es igual a la inversa de la elasticidad precio de la demanda.
Ejemplo
Consideremos de nuevo que la curva de coste de la empresa es \(C(Q)=320+2Q+0,2Q^2\) y supongamos que la inversa de su función de demanda es \(P=44-0,5Q\). Sustituyendo \(P\), podemos expresar el beneficio en función solo de \(Q\) y derivar para obtener la condición de primer orden:
\[\begin{align*} \Pi&=Q(44-0,5Q)-(320+2Q+0,2Q^2)\\\frac{d\Pi}{dQ} &= 42-1,4Q=0 \\ \text{así pues } Q^*&=30 \end{align*}\]Por lo tanto, la cantidad que maximiza el beneficio es \(Q^*=30\) y el precio correspondiente en la curva de demanda es \(P^*= 44-0,5Q^*=29\). La figura A7.5 representa la solución por medio de un gráfico.
Figura A7.5 Maximización del beneficio con el coste \(C(Q)=320+2Q+0,2Q^2\) y la inversa de la demanda \(P=44-0,5Q\).
La pendiente de la inversa de la función de demanda es −0,5 y podemos verificar que la pendiente de la curva de isobeneficio en \((Q^*, P^*)\) también es −0,5:
\[\begin {align*} \text{pendiente de isobeneficio} &= \frac{C'(Q)-P}{Q}\\&=\frac{2+0,4Q^* - P^*}{Q^*}\\&=\frac{2+0,4\times 30-29}{30}=-0,5 \end {align*}\]Como las curvas de demanda siempre tienen pendiente negativa, la maximización del beneficio siempre se producirá en un punto donde la curva de isobeneficio tenga pendiente negativa. De ahí que la empresa establezca un precio que supere el coste marginal.
La condición \(IMg = CMg\)
En la parte principal de la sección se muestra que gráficamente puede hallarse la cantidad que maximiza el beneficio en el punto donde los ingresos marginales son iguales al coste marginal.
Para obtener este resultado de forma algebraica, expresamos los ingresos de la empresa, \(I=PQ\), en función de \(Q\) solamente por medio de la inversa de la función de demanda, \(P=f(Q)\). La función de ingresos es:
\[I(Q)=Qf(Q)\]y los ingresos marginales, IMg, vienen dados por:
\[IMg=I'(Q)=f(Q)+Qf'(Q)\]Así, la condición de primer orden de la maximización del beneficio es exactamente equivalente a la condición IMg = CMg:
\[\begin{align*} f(Q)+Qf'(Q)&=C'(Q)\\ \text{IMg}&=\text{CMg} \end{align*}\]Como el beneficio es igual a los ingresos menos el coste (\(\Pi(Q)= I(Q)-C(Q)\)), podemos resolver un problema de maximización del beneficio o bien derivando la función de beneficio y resolviendo la ecuación \(\Pi'(Q)=0\), o bien hallando IMg y CMg mediante la derivación de las funciones de ingresos y coste y resolviendo la ecuación IMg = CMg. Los dos métodos dan la misma solución.
Ejercicio A7.4 Maximización del beneficio
Una empresa tiene la función de coste \(C(Q) = 50 + 4Q + Q^2\) y la inversa de la función de demanda \(P = 100-2Q\).
- Escribe la ecuación de la curva de isobeneficio correspondiente a una cifra de beneficio \(\Pi_0\).
- Dibuja un gráfico como el de la figura A7.3 que muestre la inversa de la función de demanda y los isobeneficios correspondientes a los beneficios de 200, 500 y 1000 (no dejes de identificar con un rótulo cada curva de isobeneficio).
- Escribe una expresión para el beneficio, \(\Pi\), y utiliza el método de elección restringida para hallar el valor de \(Q\) que maximiza el beneficio, junto con el precio \(P\) correspondiente. Identifica ese punto en el gráfico de la pregunta 2.
- Dibuja y rotula la curva de isobeneficio que pasa por el punto de maximización de beneficios. Verifica que las pendientes de esa curva de isobeneficio y de la función inversa de demanda son iguales en el punto de maximización de beneficios. ¿A qué nivel de beneficio corresponden los puntos de esa curva de isobeneficio?
- Escribe una expresión para el ingreso marginal y otra para el coste marginal. Traza estas dos funciones en el gráfico de la pregunta 2 y verifica que el punto de maximización del beneficio corresponde a la cantidad en que la curva del IMg corta la curva del CMg.
Más información: Capítulo 8 (sobre el trazado de curvas y la determinación de máximos y mínimos) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4.ª ed., 2015 o 5.ª ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.
