Unidad 7 La empresa y sus clientes

7.5 Demanda, elasticidad e ingresos

producto diferenciado: Producto fabricado por una sola empresa y que posee algunas características únicas comparado con productos similares de otras empresas.

Belautos es un ejemplo de una empresa que fabrica un producto diferenciado. No todos los automóviles son iguales. Cada modelo de cada marca lo produce una única empresa y tiene características exclusivas de diseño y prestaciones que lo diferencian de los fabricados por otras empresas.

Cuando una empresa vende un producto diferenciado, se enfrenta a una curva de demanda con pendiente negativa. La sección 7.2 incluye un ejemplo empírico de una curva de demanda, la de Apple Cinnamon Cheerios (otro producto diferenciado). Si el precio de un modelo de Belautos es alto, la demanda será baja porque solo lo comprarán quienes tengan una fuerte preferencia por esa marca por encima de las demás. A medida que baje el precio, habrá más personas a las que atraiga comprar un Belauto y que, sin esa bajada, habrían comprado un Ford o un Volvo.

La curva de demanda

Para cualquier producto que se pueda querer comprar, su curva de demanda es una relación que indica el número de artículos (la cantidad) que las personas comprarán a cada precio posible. Como modelo simple de la demanda de Belautos, imagina que hay 100 personas que comprarían un vehículo de esta marca si el precio fuera suficientemente bajo.

disposición a pagar: Indicador del valor que una persona atribuye a un bien, expresado mediante la cantidad máxima que pagaría para adquirir una unidad del bien. Véase también: disposición a aceptar.

Each consumer has a disposición a pagar (DAP) por un Belauto, la cual depende de cuánto lo valora personalmente (por supuesto, si tuviera los recursos para comprarlo). Un consumidor comprará un automóvil si el precio es menor o igual a su disposición a pagar. Imagina que ponemos en fila a los consumidores por orden de DAP, de mayor a menor, y dibujamos un gráfico para mostrar cómo va variando la DAP a lo largo de la fila (figura 7.9). Para cualquier precio dado, digamos $P$ = 32 800 dólares, el gráfico muestra el número de consumidores cuya disposición a pagar es igual o mayor que $P$. En este caso, hay 18 consumidores dispuestos a pagar 32 800 dólares o más, así que la demanda de automóviles al precio de 32 800 dólares es 18.

En este gráfico, el eje horizontal muestra la cantidad de automóviles y va de 0 a 100. El eje vertical muestra el precio expresado en dólares y va de 0 a 45 000. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una recta con pendiente negativa pasa por los puntos (0 , 40 000), (18 , 32 800) y (100 , 0).

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Figura 7.9 Demanda de automóviles (por día).

La ley de la demanda data del siglo XVII y se atribuye a Gregory King (1648–1712) y Charles Davenant (1656–1714). King fue heraldo en el Colegio de Armas de Londres y elaboró estimaciones detalladas de la población y la riqueza de Inglaterra. Davenant fue político y publicó la ley de la demanda de Davenant–King en 1699 tomando datos de King. Con ella describió que el precio del trigo cambiaba dependiendo del tamaño de la cosecha. Por ejemplo, calculó que un «defecto», o disminución, de una décima (10 %) de la cosecha aumentaba el precio un 30 %.

Si $P$ baja, existe un número mayor de consumidores dispuestos a comprar, por lo que la demanda aumenta. Las curvas de demanda se suelen dibujar en forma de líneas rectas, como en este ejemplo, aunque en realidad no hay razón para esperar que sean rectas: la de Apple Cinnamon Cheerios no era recta. Ahora bien, lo que sí cabe esperar es que tengan pendiente negativa: a medida que aumenta el precio, disminuye la cantidad demandada por los consumidores. A la inversa, si la cantidad disponible es baja, puede venderse a un precio alto. Esta relación entre precio y cantidad suele denominarse ley de la demanda.

Pregunta 7.6 Elige las respuestas que sean correctas

El gráfico muestra dos curvas de demanda alternativas, D y D′, de un producto. Teniendo en cuenta este gráfico, lee los siguientes enunciados y elige los que sean correctos.

En este gráfico, el eje horizontal muestra la cantidad de consumidores, que va de 0 a 100, y el eje vertical muestra el precio en libras, entre 0 y 12 000. Hay dos líneas paralelas con pendiente negativa. La línea inferior aparece etiquetada como D y conecta los puntos (0 , 6000) y (60 , 0). La superior está etiquetada como D prima y conecta los puntos (0 , 10 000) y (100 , 0).

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En la curva de demanda D, cuando el precio es de 5000 libras esterlinas, la empresa puede vender 15 unidades del producto.
En la curva de demanda D′, puede vender 70 unidades a un precio de 3000 libras.
A un precio de 1000 libras, la empresa puede vender 40 unidades más del producto en D′ que en D.
Con una producción de 30 unidades, la empresa puede cobrar 2000 libras más en D′ que en D.

En la curva de demanda D, cuando el precio es de 5000 libras, la empresa puede vender 10 unidades.
Cuando $Q$ = 70, el precio correspondiente en D′ es de 3000 libras.
D′ es paralela a D y está desplazada 40 unidades hacia la derecha. Por tanto, para cualquier precio, la empresa puede vender 40 unidades más en D′ que en D.
Con una producción de 30 unidades, la empresa puede cobrar 4000 £ más en D′ que en D.

La elasticidad de la demanda

La curva de demanda representa el compromiso que la empresa tiene que aceptar entre precio y cantidad. Para maximizar el beneficio, desearía que ambos elementos tuvieran el máximo nivel posible, pero, si sube el precio, menos consumidores querrán comprar. Por lo tanto, el precio que puede elegir la empresa depende de la pendiente de la curva de demanda, es decir, de cuánto cambiará la demanda si varía el precio. Si la curva de demanda tiene mucha pendiente, la empresa puede subir el precio sin que las ventas disminuyan mucho.

elasticidad de la demanda al precio: Variación porcentual de la cantidad demandada que se produciría en respuesta a un incremento del 1 % en el precio. Se expresa con un número positivo. Si es mayor que 1, la demanda es elástica; en caso de estar entre 0 y 1, es inelástica.

La elasticidad precio de la demanda es una medida de la sensibilidad de los consumidores a la variación del precio. Se define como la variación porcentual de la cantidad demandada que se produciría en respuesta a un incremento del 1 % en el precio. Por ejemplo, supón que el precio de un producto se incrementa un 10 % y observamos una bajada del 5 % en la cantidad vendida. Calculamos la elasticidad, ε, de la siguiente forma:

\[\varepsilon = -\frac{\% \text{ de variación de la demanda}}{\% \text{ de variación del precio}}\]

ε es la letra griega épsilon y se utiliza habitualmente para representar la elasticidad. En el caso de una curva de demanda, la cantidad baja cuando sube el precio. Por lo tanto, la variación de la demanda es negativa si la del precio es positiva, y viceversa. El signo menos en la fórmula de la elasticidad asegura que obtengamos un número positivo como nuestra medida de reactividad. Así, en este ejemplo, el resultado es:

\[\begin{align*} \varepsilon &= -\frac{-5}{10} \\ &= 0,5 \end{align*}\]

Si la curva de demanda es casi plana, la cantidad varía mucho en respuesta a una variación del precio, por lo que la elasticidad es alta. A la inversa, una curva de demanda con más pendiente corresponde a una elasticidad menor. Ahora bien, son conceptos diferentes. Vamos a explicar por qué la elasticidad cambia a lo largo de la curva de demanda, aunque la pendiente sea la misma.

Supón que Belautos fabrica 18 vehículos al día y los vende a un precio de 32 800 dólares (punto K de la figura 7.9). Para calcular la elasticidad de la demanda en ese punto, vamos a hallar cómo cambiarían $Q$ y $P$ si hubiese un pequeño desplazamiento a lo largo de la curva de demanda, por ejemplo, a otro punto, L, donde $Q$ = 19. La curva de demanda tiene una pendiente constante de –400 (puedes confirmarlo en los puntos de intersección con los ejes), así que, con ese desplazamiento de K a L, el precio baja a 32 400 dólares.

La tabla de la figura 7.10 muestra el cálculo. El desplazamiento por la curva de demanda representa un incremento del 5,56 % en $Q$ y una disminución del 1,22 % en $P$. El cociente de las variaciones porcentuales nos da una elasticidad de 4,56.

	Punto K	Punto L	Variación	% de variación	Elasticidad
Q P	18 32 800	19 32 400	∆Q = 1 ∆P = −400	$$ \frac{100×\Delta Q}{18} = 5,56 \, \% $$ $$ \frac{100× \Delta P}{32 \, 800} = −1,22 \, \% $$	$$ \varepsilon = \frac{5,56}{1,22} = 4,56 $$

Figura 7.10 Cálculo de la elasticidad en un punto de la curva de demanda.

La elasticidad nos dice que, cuando Belautos opera en el punto K, subir (o bajar) el precio un 1 % provocaría una bajada (o subida) del 4,56 % en la cantidad de autos vendidos.

En la tabla de la figura 7.11 resumimos otras formas de calcular la elasticidad según las variaciones en $P$ y $Q$. Todas son equivalentes; puedes usar la que prefieras.

Supón que, si el precio varía ΔP, la demanda cambia ΔQ. Entonces, la elasticidad de la demanda se puede escribir de cuatro formas:
$$ − \frac{\% \text{ de variación de } Q}{\% \text{ de variación de } P} $$	$$ \varepsilon = − \frac{100 \Delta Q}{Q} / \frac{100 \Delta P}{P} $$
$$ − \frac{\text{ variación proporcional de } Q}{\text{ variación proporcional de } P} $$	$$ \varepsilon = − \frac{\Delta Q}{Q} / \frac{\Delta P}{P} $$
La fracción se puede simplificar para obtener:	$$ \varepsilon = − \frac{P}{Q} \frac{\Delta Q}{\Delta P} $$
Y como $ \dfrac{\Delta P}{\Delta Q} $ es la pendiente de la curva de demanda:	$$ \varepsilon = − \frac{P}{Q} \frac{1}{\text{ pendiente}} $$

Figura 7.11 Fórmulas para calcular la elasticidad.

La figura 7.12 utiliza la cuarta expresión para calcular la elasticidad en otros puntos de la curva de demanda de Belautos. Esta curva de demanda tiene una pendiente constante; al seguir su trayectoria, $P$ baja y $Q$ sube, por lo que la elasticidad disminuye. Cuando los precios son bajos, la demanda es menos elástica.

Elasticidad de la demanda de automóviles.

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$$ \varepsilon = − \frac{P}{Q} \frac{1}{\text{ pendiente}} $$
	A	B	C
Q	20	40	70
P	32 000 $	24 000 $	12 000 $
Pendiente	−400	−400	−400
Elasticidad	4,00	1,50	0,43

Figura 7.12 Elasticidad de la demanda de automóviles.

Decimos que la demanda es elástica si la elasticidad de los precios es mayor que 1, es decir, un incremento del precio del 1 % provocaría una disminución de la cantidad vendida de más de un 1 %. Si la elasticidad es menor que 1, decimos que la demanda es inelástica. En el caso de Belautos, la demanda es elástica en A y B, pero inelástica en C.

¿Por qué la elasticidad precio de la demanda es importante para la empresa?

La elasticidad precio de la demanda que tenga una empresa dependerá de si se enfrenta a mucha competencia de otras empresas. De haber numerosos automóviles parecidos que puedan considerarse posibles alternativas, la demanda de Belautos será más elástica. Por lo tanto, si sube el precio, los consumidores buscarán otros proveedores y es posible que muchos de ellos compren a otra empresa. En esta situación, la competencia de productos rivales con características parecidas limitará que la empresa pueda subir el precio.

Pero si el producto de Belautos tiene cualidades exclusivas que atraen a los consumidores y no están disponibles en otras marcas, su elasticidad precio de la demanda será menor (la demanda será menos elástica). Por lo tanto, puede beneficiarse de subir el precio. Las ventas seguirán siendo altas y obtendrá un beneficio mayor de cada unidad que venda.

ingresos, ingresos totales: Número de unidades que vende una empresa multiplicado por el precio de cada unidad.

Existe una relación directa entre la elasticidad de la demanda y el efecto que el aumento de la cantidad tiene en la variación de los ingresos. La figura 7.13 muestra una empresa en un punto de su curva de demanda donde $Q$ = 5 y $P$ = 20. Sus ingresos (precio × cantidad) están representados por el área del rectángulo que hay bajo la curva de demanda. Sigue los pasos de la figura para comprender que, si aumenta la cantidad, los ingresos subirán o bajarán dependiendo de si la demanda es elástica o inelástica.

Hay dos gráficos. En el gráfico 1, el eje horizontal muestra la cantidad y va de 0 a 10. El eje vertical muestra el precio y va de 0 a 40. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una línea recta con pendiente negativa pasa por el punto E (5 , 20) y por (7 , 0). El área delimitada por los puntos (0 , 0), (0 , 10), (6 , 10) y (6 , 0) corresponde a los ingresos. El área delimitada por los puntos (0 , 10), (0 , 20), (5 , 20) y (5 , 10) corresponde a la pérdida de ingresos. El área delimitada por los puntos (5 , 0), (5 , 10), (6 , 10) y (6 , 0) corresponde a la ganancia de ingresos. La pérdida de ingresos es mayor que la ganancia de ingresos. En el gráfico 2, el eje horizontal muestra la cantidad y va de 0 a 10. El eje vertical muestra el precio y va de 0 a 40. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una línea recta con pendiente negativa pasa por el punto E (0 , 30) y por (5 , 20). El área delimitada por los puntos (0 , 0), (0 , 18), (6 , 18) y (6 , 0) corresponde a los ingresos. El área delimitada por los puntos (0 , 18), (0 , 20), (5 , 20) y (5 , 18) corresponde a la pérdida de ingresos. El área delimitada por los puntos (5 , 0), (5 , 18), (6 , 18) y (6 , 0) corresponde a la ganancia de ingresos. La pérdida de ingresos es menor que la ganancia de ingresos.

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Figura 7.13 Competencia, elasticidad e ingresos.

Competencia y elasticidad: Hay dos gráficos. En el gráfico 1, el eje horizontal muestra la cantidad y va de 0 a 10. El eje vertical muestra el precio y va de 0 a 40. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una línea recta con pendiente negativa pasa por el punto E (5 , 20) y por (7 , 0). En el gráfico 2, el eje horizontal muestra la cantidad y va de 0 a 10. El eje vertical muestra el precio y va de 0 a 40. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una línea recta con pendiente negativa pasa por el punto E (0 , 30) y por (5 , 20).

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Competencia y elasticidad

En el panel A, la firma se enfrenta a poca competencia, por lo que su curva de demanda tiene mucha pendiente. Si el precio sube, muchos consumidores seguirán comprando. En el punto E, la demanda es inelástica (elasticidad = 0,4). En el panel B, la firma tiene más competencia: la curva de demanda es más llana. La demanda en E es elástica (elasticidad = 2).

Ingresos de la empresa: Hay dos gráficos. En el gráfico 1, el eje horizontal muestra la cantidad y va de 0 a 10. El eje vertical muestra el precio y va de 0 a 40. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una línea recta con pendiente negativa pasa por el punto E (5 , 20) y por (7 , 0). El área delimitada por la línea horizontal del precio 20, la línea vertical de la cantidad 5 y los dos ejes determina los ingresos. En el gráfico 2, el eje horizontal muestra la cantidad y va de 0 a 10. El eje vertical muestra el precio y va de 0 a 40. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una línea recta con pendiente negativa pasa por los puntos (0 , 30), E (5 , 20) y (6 , 18). El área delimitada por la línea horizontal del precio 20, la línea vertical de la cantidad 5 y los dos ejes determina los ingresos.

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Ingresos de la empresa

Si la empresa opera en el punto E, donde $P$ = 20 y $Q$ = 5, sus ingresos son iguales al área del rectángulo bajo la curva: ingresos = $P$ × $Q$ = 100, en ambos casos.

$Si la producción aumenta a $Q$ = 6: Hay dos gráficos. En el gráfico 1, el eje horizontal muestra la cantidad y va de 0 a 10. El eje vertical muestra el precio y va de 0 a 40. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una línea recta con pendiente negativa pasa por el punto E (5 , 20) y por (7 , 0). El área delimitada por los puntos (0 , 0), (0 , 10), (6 , 10) y (6 , 0) corresponde a los ingresos. El área delimitada por los puntos (0 , 10), (0 , 20), (5 , 20) y (5, 10) corresponde a la pérdida de ingresos. El área delimitada por los puntos (5 , 0), (5 , 10), (6 , 10) y (6 , 0) corresponde a la ganancia de ingresos. En el gráfico 2, el eje horizontal muestra la cantidad y va de 0 a 10. El eje vertical muestra el precio y va de 0 a 40. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una línea recta con pendiente negativa pasa por el punto E (0 , 30) y por (5 , 20). El área delimitada por los puntos (0 , 0), (0 , 18), (6 , 18) y (6 , 0) corresponde a los ingresos. El área delimitada por los puntos (0 , 18), (0 , 20), (5 , 20) y (5 , 18) corresponde a la pérdida de ingresos. El área delimitada por los puntos (5 , 0), (5 , 18), (6 , 18) y (6 , 0) corresponde a la ganancia de ingresos.$

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Si la producción aumenta a (Q) = 6

En ambos casos, la empresa incrementa sus ingresos por la unidad adicional. Pero el precio baja, por lo que también bajarán sus ingresos con respecto a las cinco unidades iniciales. El incremento de una unidad en la producción corresponde a una reducción del precio mayor con demanda inelástica (panel A) que con demanda elástica (panel B).

Elasticidad e ingresos: Hay dos gráficos. En el gráfico 1, el eje horizontal muestra la cantidad y va de 0 a 10. El eje vertical muestra el precio y va de 0 a 40. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una línea recta con pendiente negativa pasa por el punto E (5 , 20) y por (7 , 0). El área delimitada por los puntos (0 , 0), (0 , 10), (6 , 10) y (6 , 0) corresponde a los ingresos. El área delimitada por los puntos (0 , 10), (0 , 20), (5 , 20) y (5 , 10) corresponde a la pérdida de ingresos. El área delimitada por los puntos (5 , 0), (5 , 10), (6 , 10) y (6 , 0) corresponde a la ganancia de ingresos. La pérdida de ingresos es mayor que la ganancia de ingresos. En el gráfico 2, el eje horizontal muestra la cantidad y va de 0 a 10. El eje vertical muestra el precio y va de 0 a 40. Las coordenadas son (cantidad, precio). Una línea recta con pendiente negativa pasa por el punto E (0 , 30) y por (5 , 20). El área delimitada por los puntos (0 , 0), (0 , 18), (6 , 18) y (6 , 0) corresponde a los ingresos. El área delimitada por los puntos (0 , 18), (0 , 20), (5 , 20) y (5 , 18) corresponde a la pérdida de ingresos. El área delimitada por los puntos (5 , 0), (5 , 18), (6 , 18) y (6 , 0) corresponde a la ganancia de ingresos. La pérdida de ingresos es menor que la ganancia de ingresos.

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Elasticidad e ingresos

Si la demanda es inelástica, la pérdida es mayor que la ganancia: los ingresos disminuyen. Si la demanda es elástica, la ganancia es mayor que la pérdida y los ingresos aumentan.

ingresos marginales: Variación que se produce en los ingresos al aumentar en una unidad la cantidad vendida.

Se conoce como ingresos marginales la variación que experimentan los ingresos cuando la producción aumenta una unidad. En la figura 7.13:

Los ingresos marginales son positivos cuando la demanda es elástica $(\varepsilon>1)$: la empresa puede aumentar los ingresos subiendo la producción porque los precios bajan un poco solamente.
Los ingresos marginales son negativos cuando la demanda es inelástica: es posible aumentar los ingresos disminuyendo la producción porque los precios suben mucho.

En la ampliación incluida al final de esta sección demostramos que esto se cumple para todas las curvas de demanda. En secciones posteriores, mostraremos que las empresas que tienen poca competencia y curvas de demanda menos elásticas pondrán precios más altos.

Pregunta 7.7 Elige las respuestas que sean correctas

Una tienda vende 20 sombreros a la semana a 10 dólares cada uno. Cuando sube el precio a 12 dólares, la cantidad de sombreros que vende baja a 15 a la semana. Teniendo en cuenta esta información, lee los siguientes enunciados y elige los que sean correctos.

Cuando el precio aumenta de 10 a 12 dólares, la demanda disminuye un 25 %.
Un aumento del 20 % en el precio causa que la demanda baje un 25 %.
La demanda de sombreros es inelástica.
A partir de esas cifras, podemos estimar que la elasticidad de la demanda es 1,25.

Cuando el precio aumenta de 10 a 12 dólares, la demanda disminuye 100 × (20 –15)/20 = 25 %.
El aumento porcentual del precio es 100 × 2/10 = 20 %. Y genera una disminución porcentual de la demanda de 100 × 5/20 = 25 %.
Usando esas cifras para estimar la elasticidad precio de la demanda, obtenemos un valor mayor de 1, por lo que la demanda es elástica.
El aumento porcentual del precio es 100 × 2/10 = 20 %; la disminución porcentual de la demanda es de 100 × 5/20 = 25 %. Por lo tanto, la elasticidad se puede estimar como 25/20 = 1,25.

Pregunta 7.8 Elige las respuestas que sean correctas

La figura representa dos curvas de demanda, D₁ y D₂.

En este gráfico, el eje horizontal muestra la cantidad y el eje vertical contiene el precio. Hay dos líneas rectas con pendiente negativa. Una está etiquetada como D1 y tiene más inclinación que la otra, etiquetada como D2. Se cruzan en el punto E. El punto A está en D1 y se encuentra en una cantidad más pequeña y un precio más alto que E. El punto C está en D1 y se encuentra en una cantidad mayor y un precio más bajo que E. El punto B está en D2 y se encuentra en una cantidad mayor y un precio más alto que C.

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Teniendo en cuenta esta figura, lee los siguientes enunciados y elige los que sean correctos.

En E, la curva de demanda D₁ es menos elástica que D₂.
La elasticidad es igual en A y en C.
La empresa que tenga la curva de demanda D₁ es probable que se enfrente a más competencia que la de D₂.
La elasticidad es mayor en E que en B.

En E, el precio y la cantidad son iguales en ambas curvas de demanda, pero D₁ tiene más pendiente, por lo que es menos elástica que D₂.
La pendiente es la misma en A y en C, pero en A el precio es más alto y la cantidad, más baja, por lo que la elasticidad es mayor.
La curva de demanda D₁ es menos elástica que D₂, por lo que la empresa que tenga la curva de demanda D₁ es probable que se enfrente a menos competencia que la de D₂.
La pendiente es la misma en E y en B, pero en E el precio es más alto y la cantidad, más baja, por lo que la elasticidad es mayor.

Ampliación 7.5 Elasticidad de la demanda e ingresos marginales

En la parte principal de esta sección, hemos examinado la elasticidad de la demanda con una curva lineal; en ese caso, la elasticidad es fácil de calcular porque la pendiente de la curva de demanda es constante. Ahora, vamos a demostrar cómo medir la elasticidad cuando la curva de demanda no es una línea recta; nos serviremos del análisis matemático (diferenciación) para determinar la pendiente.

La elasticidad precio de la demanda mide la sensibilidad o reactividad de la demanda a las variaciones del precio. La hemos definido en función de las variaciones porcentuales de la cantidad y del precio a lo largo de la curva de demanda:

\[\varepsilon = \frac{\text{% de variación de } Q}{\text{% de variación de } P} = -\frac{P}{Q} \frac{\Delta Q}{\Delta P}\]

En el caso de una curva de demanda lineal, $\Delta Q/\Delta P$ es constante sin importar el valor que elijamos para $\Delta P$. Para otras curvas de demanda, es más fácil definir la elasticidad usando derivadas.

La función de la curva de demanda

Podemos pensar en la función de la curva de demanda de dos modos distintos. Antes, dibujamos la de Belautos con el precio en el eje vertical y la cantidad en el horizontal. Dicho de otra manera, hemos mostrado el precio como función de la cantidad:

\[P = f(Q)\]

Llamamos a $f(Q)$ la inversa de la función de demanda: es el precio más alto al que la empresa puede vender exactamente $Q$ vehículos. Para definir la elasticidad, conviene más escribir la función en su forma directa:

\[Q = g(P)\]

$g(P)$ es la cantidad de Belautos que se demandan si el precio es $P$. La función $g$ es la inversa de $f$; en términos matemáticos, podemos escribir $g(P)=f^{-1}(P)$.

Para definir la elasticidad usando análisis matemático, tratamos $Q$ como una variable continua, igual que hicimos en la ampliación 7.4 para calcular los costes marginales. A continuación, hallamos la elasticidad en un punto, $Q$, tomando el límite de la expresión, $-\frac{P}{Q} \frac{ \Delta Q}{ \Delta P}$, cuando $\Delta P$ tiende a 0:

\[\varepsilon = - \frac{P}{Q} \, \frac{ dQ}{dP}\]

Esto nos da la elasticidad expresada como derivada de la función de demanda: $dQ/dP =g'(P)$. El valor de la elasticidad normalmente es positivo porque, según la ley de la demanda, la derivada de la función de demanda será negativa.

Si calculas la elasticidad como hicimos antes, usando la variación entre dos puntos situados en la curva de demanda, lo habitual es que no obtengas el mismo resultado que con la derivada. En el caso de una curva de demanda lineal, el resultado es el mismo porque la pendiente es constante. Sin embargo, el método del análisis matemático corresponde al uso de dos puntos situados infinitésimamente cerca uno del otro; unos puntos más separados nos dan un resultado diferente, con una estimación menos precisa de la pendiente en cualquier punto dado.

Tal vez te hayas preguntado por qué no usamos simplemente la pendiente de la función de demanda $dQ/dP$ para cuantificar la reactividad al precio. El problema que entraña $dQ/dP$ es que depende de las unidades en que se midan $P$ y $Q$: por ejemplo, el resultado obtenido sería diferente si midiéramos el precio en dólares o en euros. Definida en base a variaciones proporcionales, la elasticidad es independiente de la unidad de medida.

Dos formas de escribir la elasticidad

La elasticidad tal como se ha expresado más arriba depende tanto de $P$ como de $Q$. Pero, si sustituimos $Q$ por la función de demanda, $Q=g(P)$, podemos escribirla por completo atendiendo al precio:

\[\varepsilon = - \frac{P}{Q} \, \frac{ dQ}{dP} =-\frac{Pg'(P)}{g(P)}\]

Y, si usamos la inversa de la función de demanda, $P = f(Q)$, podemos expresarla en su totalidad en términos de cantidad. Para entender el porqué, conviene recordar la regla de la función inversa:

\[\frac{dP}{dQ} = 1 \left/ \frac{dQ}{dP} \right.\]

Entonces:

\[\varepsilon = - \frac{P}{Q} \left/ \frac{dP}{dQ} \right. = - \frac{f(Q)}{Qf'(Q)}\]

Ejemplo 1: elasticidad de una función de demanda lineal

La curva de demanda de Belautos mostrada en la figura 7.12 corresponde a la inversa de la función de demanda:

\[P= f(Q) \text{ donde } f(Q) = 400(100-Q)\] \[\Rightarrow P=400(100-Q)\]

Despejando $Q$ para expresarla con respecto a $P$, obtenemos la función de demanda:

\[Q=g(P) \text{ donde } g(P) = 100 - \frac{P}{400}\]

Usando la expresión de la elasticidad en función de $P$ obtenemos:

\[\varepsilon =-\frac{Pg'(P)}{g(P)} =-\frac{P \times \frac{-1}{400}}{100-\frac{P}{400}} =\frac{P}{40 \, 000 - P}\]

Usando la expresión de la elasticidad en función de $Q$ obtenemos:

\[\varepsilon =- \frac{f(Q)}{Qf'(Q)} =-\frac{400(100-Q)}{Q\times -400} =\frac{100-Q}{Q}\]

Cada una de las dos expresiones de $\varepsilon$ muestra que la elasticidad disminuye a medida que nos movemos hacia la derecha a lo largo de la curva de demanda, es decir, según aumenta $Q$ y se reduce $P$ (esto es cierto para todas las funciones de demanda lineales). Por ejemplo:

Si Belautos pone un precio tan elevado que solo vende cinco vehículos al día, entonces $\varepsilon=(100-5)/5 = 19$.
Si el precio es tan bajo que vende 95 vehículos al día, entonces $\varepsilon=(100-95)/95\approx 0,053$.

Ejemplo 2: función de demanda con elasticidad constante

Tomemos la función de demanda:

\[Q=100 P^{-0,8}\]

Aquí,

\[\varepsilon=-\frac{P}{Q}\,\frac{dQ}{dP} = -\frac{P}{100P^{-0,8}}\times -80P^{-1,8} = 0,8\]

En este caso especial, la elasticidad de la demanda es constante: es igual a 0,8 en todos los puntos de la curva de demanda.

Esta propiedad constante de la elasticidad es cierta para cualquier curva de demanda que tenga la forma $Q = aP^{-b}$, siendo $a$ y $b$ constantes positivas: puedes comprobar que la elasticidad de la demanda es igual a $b$. De las funciones de demanda, esta es la única clase en la que la elasticidad es constante.

Elasticidad e ingresos marginales

ingresos marginales: Variación que se produce en los ingresos al aumentar en una unidad la cantidad vendida.

Los ingresos de una empresa vienen dados por $\text{precio} \times \text{cantidad}$, es decir, $I=PQ$. La inversa de la función de demanda, $P=f(Q)$, nos da el precio máximo, $P$, al que se pueden vender $Q$ automóviles, por lo que podemos expresar los ingresos como una función de $Q$ solamente. La llamamos función de ingresos y la designamos con $I(Q)$:

\[I(Q) = f(Q) \times Q\]

Antes hemos definido los ingresos marginales como la variación que experimentan los ingresos cuando la producción se incrementa una unidad: $\text{IMg}=\Delta I/\Delta Q$. Considerando $Q$ una variable continua y utilizando análisis matemático, escribimos:

\[\text{IMg}=\frac{dI}{dQ}\]

Es decir, los ingresos marginales son lo que aumentan los ingresos en respuesta a una variación pequeña (infinitesimal) de $Q$. Si utilizamos la regla de la derivada de un producto para derivar $I(Q) = Qf(Q)$, obtenemos:

\[\text{IMg} = \frac{d}{dQ} (Qf(Q)) = f(Q) + Qf'(Q) = P+Qf'(Q)\]

Si reescribimos esta expresión con la fórmula $\varepsilon=-\dfrac{f(Q)}{Qf'(Q)}$ y basándonos además en el hecho de que $P=f(Q)$, derivamos una relación entre los ingresos marginales y la elasticidad de la demanda:

\[\text{IMg} = f(Q) - \frac{f(Q)}{\varepsilon} = P\left(1 - \frac{1}{\varepsilon}\right)\]

Esto implica que los ingresos marginales serán positivos si $\varepsilon > 1$ y negativos si $\varepsilon < 1$.

Recuerda que se dice que la demanda es elástica si $\varepsilon > 1$ e inelástica si $\varepsilon < 1$ y que (excepto en el caso concreto del ejemplo 2 presentado más arriba) cambia a medida que nos movemos a lo largo de la curva de demanda. Lo que acabamos de demostrar es que los ingresos marginales son positivos si y solo si la empresa opera en la parte de la curva de demanda en que esta es elástica. Ese es el resultado que se ilustra para la curva de demanda lineal en la figura 7.13; escribir IMg como dependiente de la elasticidad, como hemos hecho aquí, muestra que es cierta para todas las curvas de demanda.

Ejercicio A7.2 Función de demanda lineal: elasticidad e ingresos marginales

Una empresa experimenta la función de demanda siguiente: $Q = 800 - 2P$.

Para esta función de demanda:

Halla la inversa de la función de demanda ($P$ con respecto a $Q$) y utilízala para derivar una expresión de la elasticidad de la demanda (como función de $Q$).
Utiliza la respuesta a la pregunta 1 para dibujar un gráfico que muestre cómo la elasticidad de la demanda varía con $Q$ (sitúa $Q$ en el eje horizontal y $\varepsilon$ en el vertical).
Describe la forma de la función de elasticidad. ¿Para qué cantidades es elástica la demanda?
Deriva una expresión de los ingresos marginales (como función de $Q$). Esboza la función de ingresos marginales y la de demanda sobre el mismo gráfico, con $Q$ en el eje horizontal y el precio y los ingresos marginales en el vertical.
Describe la forma de la curva de ingresos marginales y utiliza las respuestas a las preguntas 2 y 3 para verificar que los ingresos marginales son positivos si $\varepsilon > 1$ y negativos si $\varepsilon < 1$.

Ejercicio A7.3 Elasticidad constante de la demanda: elasticidad e ingresos marginales

Una empresa se enfrenta a la función de demanda: $Q = 5P^{-1,4}$.

Haz lo siguiente para esta función de demanda:

Halla la inversa de la función de demanda y utiliza un gráfico (precio en el eje vertical y cantidad en el horizontal) para dibujar su forma (pista: elige valores de $Q$ a intervalos regulares y dibuja las correspondientes coordenadas ($Q$, $P$) y une esos puntos para aproximar la función).
Utiliza la fórmula para hallar la elasticidad de la demanda (recuerda que, para este tipo de función, la elasticidad de la demanda será igual en todos los puntos de la curva). Explica por qué las curvas de demanda con elasticidad constante deben tener la misma forma general que la función dibujada en la pregunta 1 (pista: utiliza la fórmula de la elasticidad de la demanda en tu interpretación).
Deriva una expresión de los ingresos marginales (como función de $Q$) y esboza esta función en un nuevo gráfico, con $Q$ en el eje horizontal y los ingresos marginales en el vertical. Describe la forma de la curva de ingresos marginales y relaciónala con la elasticidad que has calculado en la pregunta 2.

Más información: Secciones 6.4 (sobre ingresos marginales y elasticidad) y 7.4 (sobre funciones inversas y la regla de la función inversa) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. Mathematics for Economists: An Introductory Textbook (4.ª ed., 2015 o 5.ª ed., 2023). Manchester: Manchester University Press.